Semigrupo con involución

En matemáticas , particularmente en álgebra abstracta , un semigrupo con involución o un *-semigrupo es un semigrupo equipado con un antiautomorfismo involutivo , que —en términos generales— lo acerca a un grupo porque esta involución, considerada como operador unario , exhibe ciertas propiedades fundamentales de la operación de tomar el inverso en un grupo:

• Unicidad
• La doble aplicación se "cancelaba a sí misma".
• La misma ley de interacción con la operación binaria que en el caso de la inversa de grupo.

Por lo tanto, no sorprende que cualquier grupo sea un semigrupo con involución. Sin embargo, existen ejemplos naturales significativos de semigrupos con involución que no son grupos.

Un ejemplo del álgebra lineal es un conjunto de matrices cuadradas n x n de valores reales con la transpuesta de la matriz como involución. El mapa que envía una matriz a su transpuesta es una involución porque la transpuesta está bien definida para cualquier matriz y obedece la ley ( AB ) ^T = B ^T A ^T , que tiene la misma forma de interacción con la multiplicación que la toma de inversas en el grupo lineal general (que es un subgrupo del monoide lineal completo). Sin embargo, para una matriz arbitraria, AA ^T no es igual al elemento identidad (es decir, la matriz diagonal ). Otro ejemplo, proveniente de la teoría del lenguaje formal , es el semigrupo libre generado por un conjunto no vacío (un alfabeto ), con la concatenación de cadenas como operación binaria, y la involución siendo el mapa que invierte el orden lineal de las letras en una cadena. Un tercer ejemplo, de la teoría básica de conjuntos , es el conjunto de todas las relaciones binarias entre un conjunto y sí mismo, con la involución siendo la relación inversa , y la multiplicación dada por la composición usual de relaciones .

Los semigrupos con involución aparecieron explícitamente nombrados en un artículo de 1953 de Viktor Wagner (en ruso) como resultado de su intento de conectar la teoría de los semigrupos con la de los semimontículos . ^{[ 1 ]}

Sea S un semigrupo con su operación binaria escrita multiplicativamente. Una involución en S es una operación unaria * sobre S (o una transformación *  : S → S , x ↦ x *) que satisface las siguientes condiciones:

1. Para todo x en S , ( x *)* = x .
2. Para todo x , y en S tenemos ( xy )* = y * x *.

El semigrupo S con la involución * se llama semigrupo con involución.

Los semigrupos que satisfacen solo el primero de estos axiomas pertenecen a la clase más amplia de semigrupos U.

En algunas aplicaciones, el segundo de estos axiomas se ha denominado antidistributivo . ^{[ 2 ]} Respecto a la filosofía natural de este axioma, HSM Coxeter comentó que «se hace evidente cuando pensamos en [x] e [y] como las operaciones de ponernos los calcetines y los zapatos, respectivamente». ^{[ 3 ]}

1. Si S es un semigrupo conmutativo , entonces la aplicación identidad de S es una involución.
2. Si S es un grupo , entonces la aplicación de inversión *  : S → S definida por x * = x ⁻¹ es una involución. Además, en un grupo abeliano , tanto esta aplicación como la del ejemplo anterior son involuciones que satisfacen los axiomas de semigrupo con involución. ^{[ 4 ]}
3. Si S es un semigrupo inverso , entonces la aplicación de inversión es una involución que deja invariantes a los idempotentes . Como se señaló en el ejemplo anterior, la aplicación de inversión no es necesariamente la única aplicación con esta propiedad en un semigrupo inverso. Bien puede haber otras involuciones que dejen invariantes a todos los idempotentes; por ejemplo, la aplicación identidad en un semigrupo regular conmutativo, y por lo tanto inverso, en particular, un grupo abeliano. Un semigrupo regular es un semigrupo inverso si y solo si admite una involución bajo la cual cada idempotente es invariante. ^{[ 5 ]}
4. Toda C*-álgebra se sustenta en un *-semigrupo. Un ejemplo importante es el álgebra M _n ( C ) de matrices n- × -n sobre C , con la transpuesta conjugada como involución.
5. Si X es un conjunto, el conjunto de todas las relaciones binarias en X es un *-semigrupo donde * viene dado por la relación inversa y la multiplicación viene dada por la composición usual de relaciones . Este es un ejemplo de un *-semigrupo que no es un semigrupo regular.
6. Si X es un conjunto, entonces el conjunto de todas las secuencias finitas (o cadenas ) de miembros de X forma un monoide libre bajo la operación de concatenación de secuencias, con la inversión de secuencia como una involución.
7. Una banda rectangular en un producto cartesiano de un conjunto A consigo mismo, es decir, con elementos de A × A , con el producto de semigrupo definido como ( a , b )( c , d ) = ( a , d ), donde la involución es la inversión del orden de los elementos de un par ( a , b )* = ( b , a ). Este semigrupo es también un semigrupo regular , como todas las bandas. ^{[ 6 ]}

Un elemento x de un semigrupo con involución se denomina a veces hermitiano (por analogía con una matriz hermitiana ) cuando permanece invariante bajo la involución, es decir, x * = x . Los elementos de la forma xx * o x * x son siempre hermitianos, al igual que todas las potencias de un elemento hermitiano. Como se indica en la sección de ejemplos, un semigrupo S es un semigrupo inverso si y solo si S es un semigrupo regular y admite una involución tal que todo idempotente es hermitiano. ^{[ 7 ]}

Ciertos conceptos básicos pueden definirse en *-semigrupos de manera paralela a las nociones derivadas de un elemento regular en un semigrupo . Una isometría parcial es un elemento s tal que ss * s = s ; el conjunto de isometrías parciales de un semigrupo S se abrevia generalmente PI( S ). ^{[ 8 ]} Una proyección es un elemento idempotente e que también es hermitiano, lo que significa que ee = e y e * = e . Toda proyección es una isometría parcial, y para toda isometría parcial s , s * s y ss * son proyecciones. Si e y f son proyecciones, entonces e = ef si y solo si e = fe . ^{[ 9 ]}

Las isometrías parciales pueden ordenarse parcialmente mediante s ≤ t, definidas como válidas siempre que s = ss * t y ss * = ss * tt *. ^{[ 9 ]} De forma equivalente, s ≤ t si y solo si s = et y e = ett * para alguna proyección e . ^{[ 9 ]} En un *-semigrupo, PI( S ) es un grupoide ordenado con el producto parcial dado por s ⋅ t = st si s * s = tt *. ^{[ 10 ]}

Existen dos nociones de regularidad relacionadas, pero no idénticas, en los *-semigrupos. Fueron introducidas casi simultáneamente por Nordahl y Scheiblich (1978) y Drazin (1979), respectivamente. ^{[ 14 ]}

Como ocurre con todas las variedades, la categoría de semigrupos con involución admite objetos libres . La construcción de un semigrupo libre (o monoide) con involución se basa en la de un semigrupo libre (y, respectivamente, en la de un monoide libre). Además, la construcción de un grupo libre puede derivarse fácilmente refinando la construcción de un monoide libre con involución. ^{[ 17 ]}

Los generadores de un semigrupo libre con involución son los elementos de la unión de dos conjuntos disjuntos ( equinumerosos ) en correspondencia biyectiva :${\displaystyle Y=X\sqcup X^{\dagger }}$. (Aquí la notación${\displaystyle \sqcup }$enfatiza que la unión es en realidad una unión disjunta . En el caso en que los dos conjuntos son finitos, su unión Y a veces se denomina alfabeto con involución ^{[ 18 ]} o alfabeto simétrico . ^{[ 19 ]} Sea${\displaystyle \theta :X\rightarrow X^{\dagger }}$ser una biyección;${\displaystyle \theta }$se extiende naturalmente a una biyección${\displaystyle {}\daga:Y\to Y}$esencialmente tomando la unión disjunta de${\displaystyle \theta }$(como un conjunto) con su inverso , o en notación por partes : ^{[ 20 ]}

$${\displaystyle y^{\dagger }={\begin{cases}\theta (y)&{\text{si }}y\in X\\\theta ^{-1}(y)&{\text{si }}y\in X^{\dagger }\end{cases}}}$$

Ahora construye${\displaystyle Y^{+}\,}$como el semigrupo libre en${\displaystyle Y\,}$de la forma habitual con la operación binaria (semigrupo) en${\displaystyle Y^{+}\,}$ser concatenación :

$${\displaystyle w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}}$$para algunas letras${\displaystyle w_{i}\in Y.}$

La biyección${\displaystyle \dagger }$en${\displaystyle Y}$luego se extiende como una biyección${\displaystyle {}^{\daga }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}}$definido como la inversión de cadena de los elementos de${\displaystyle Y^{+}\,}$que constan de más de una letra: ^{[ 18 ] [ 20 ]}

$${\displaystyle w^{\dagger }=w_{k}^{\dagger }w_{k-1}^{\dagger }\cdots w_{2}^{\dagger }w_{1}^{\dagger }.}$$

Este mapa es una involución en el semigrupo${\displaystyle Y^{+}\,}$. Por lo tanto, el semigrupo${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$con el mapa${\displaystyle {}^{\dagger }\,}$es un semigrupo con involución, llamado semigrupo libre con involución en X. ^[ 21 ^] (La irrelevancia de la identidad concreta ^de${\displaystyle X^{\dagger }}$y de la biyección${\displaystyle \theta }$(Esta elección de terminología se explica más adelante en términos de la propiedad universal de la construcción). Nótese que, a diferencia del Ejemplo 6 , la involución de cada letra es un elemento distinto en un alfabeto con involución y, en consecuencia, la misma observación se extiende a un semigrupo libre con involución.

Si en la construcción anterior en lugar de${\displaystyle Y^{+}\,}$utilizamos el monoide libre${\displaystyle Y^{*}=Y^{+}\cup \{\varepsilon \}}$, que es simplemente el semigrupo libre extendido con la palabra vacía${\displaystyle \varepsilon \,}$(que es el elemento identidad del monoide)${\displaystyle Y^{*}\,}$), y extender adecuadamente la involución con${\displaystyle \varepsilon ^{\daga }=\varepsilon }$, obtenemos un monoide libre con involución . ^{[ 20 ]}

La construcción anterior es en realidad la única forma de extender un mapa dado.${\displaystyle \theta \,}$de${\displaystyle X\,}$a${\displaystyle X^{\dagger }\,}$, a una involución en${\displaystyle Y^{+}}$(y asimismo en${\displaystyle Y^{*}\,}$). El calificador "libre" para estas construcciones se justifica en el sentido habitual de que son construcciones universales . En el caso del semigrupo libre con involución, dado un semigrupo arbitrario con involución${\displaystyle S\,}$y un mapa${\displaystyle \Phi :X\rightarrow S}$, entonces un homomorfismo de semigrupo${\displaystyle {\overline {\Phi }}:(X\sqcup X^{\dagger })^{+}\rightarrow S}$existe tal que${\displaystyle \Phi =\iota \circ {\overline {\Phi }}}$, dónde${\displaystyle \iota :X\rightarrow (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$es el mapa de inclusión y la composición de funciones se toma en orden de diagrama . ^{[ 21 ]} La construcción de${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$como un semigrupo con involución es único salvo isomorfismo . Un argumento análogo se aplica al monoide libre con involución en términos de homomorfismos de monoides y la unicidad salvo isomorfismo de la construcción de${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{*}}$como un monoide con involución.

La construcción de un grupo libre no está muy lejos de la de un monoide libre con involución. El ingrediente adicional necesario es definir una noción de palabra reducida y una regla de reescritura para producir tales palabras simplemente eliminando cualquier par de letras adyacentes de la forma${\displaystyle xx^{\dagger }}$o${\displaystyle x^{\dagger }x}$Se puede demostrar que el orden de reescritura (eliminación) de dichos pares no importa, es decir, cualquier orden de eliminaciones produce el mismo resultado. ^{[ 17 ]} (Dicho de otro modo, estas reglas definen un sistema de reescritura confluente ). De forma equivalente, un grupo libre se construye a partir de un monoide libre con involución tomando el cociente de este último por la congruencia.${\displaystyle \{(yy^{\dagger },\varepsilon ):y\in Y\}}$, que a veces se denomina congruencia de Dyck —en cierto sentido generaliza el lenguaje de Dyck a múltiples tipos de "paréntesis"— Sin embargo, la simplificación en la congruencia de Dyck se produce independientemente del orden. Por ejemplo, si ")" es el inverso de "(", entonces${\displaystyle ()=)(=\varepsilon }$; la congruencia unilateral que aparece en el lenguaje propiamente dicho de Dyck${\displaystyle \{(xx^{\dagger },\varepsilon ):x\in X\}}$, que instancia únicamente a${\displaystyle ()=\varepsilon }$Se denomina (quizás de forma confusa) congruencia de Shamir . El cociente de un monoide libre con involución por la congruencia de Shamir no es un grupo, sino un monoide ; sin embargo, su primer descubridor, Eli Shamir , lo denominó semigrupo libre , aunque más recientemente se le ha llamado monoide involutivo generado por X. ^{[ 19 ] [ 22 ]} (Esta última elección de terminología entra en conflicto, sin embargo, con el uso de «involutivo» para denotar cualquier semigrupo con involución, una práctica que también se encuentra en la literatura. ^{[ 23 ] [ 24 ]} )

Un *-semigrupo de Baer es un *-semigrupo con cero (bilateral) en el que el anulador derecho de cada elemento coincide con el ideal derecho de alguna proyección; esta propiedad se expresa formalmente como: para todo x ∈ S existe una proyección e tal que

{ y ∈ S | xy = 0 } = eS . ^{[ 24 ]}

La proyección e está, de hecho, determinada unívocamente por x . ^{[ 24 ]}

Más recientemente, los semigrupos de Baer * también se han denominado semigrupos de Foulis , en honor a David James Foulis , quien los estudió en profundidad. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

• Categoría de daga (también conocida como categoría con involución): generaliza los *-monoides.
• *-álgebra
• Clases especiales de semigrupos

• DJ Foulis (1958). Semigrupos de involución , Tesis doctoral, Universidad de Tulane, Nueva Orleans, LA. Publicaciones de DJ Foulis (Consultado el 5 de mayo de 2009).
• Coxeter, HSM (1961). Introducción a la geometría .
• WD Munn, Involuciones especiales , en AH Clifford, KH Hofmann, MW Mislove, Teoría de semigrupos y sus aplicaciones: actas de la conferencia de 1994 en conmemoración de la obra de Alfred H. Clifford , Cambridge University Press, 1996, ISBN 0521576695.
• Drazin, MP, Semigrupos regulares con involución , Actas del Simposio sobre Semigrupos Regulares (DeKalb, 1979), 29–46
• Nordahl, TE y HE Scheiblich, Semigrupos regulares *, Foro de semigrupos , 16 (1978), 369–377.
• Yamada, Miyuki (diciembre de 1982), "Sistemas P en semigrupos regulares", Semigroup Forum , 24 ( 1): 173–187
• Easdown, David; Munn, Walter Douglas (1993), "Sobre semigrupos con involución", Boletín de la Sociedad Matemática Australiana , 48 (1): 93– 100, doi : 10.1017/S0004972700015495
• Lipscomb, Stephen (1996). Semigrupos inversos simétricos . American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0627-2.
• Borde, Chris; Kahl, Wolfram; Schmidt, Günther (1997). Métodos relacionales en informática . Saltador. ISBN 978-3-211-82971-4.
• Lawson, Mark (1998). Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales . World Scientific . ISBN 981-02-3316-7.
• Ehrenfeucht, Andrzej; Harju, T.; Rozenberg, Grzegorz (1999). La teoría de las 2-estructuras: un marco para la descomposición y transformación de grafos . World Scientific. ISBN 978-981-02-4042-4.
• S. Crvenkovic e Igor Dolinka, " Variedades de semigrupos de involución y semianillos de involución: una revisión ", Boletín de la Sociedad de Matemáticos de Banja Luka Vol. 9 (2002), 7–47.
• Sakarovitch, Jacques (2009). Elementos de la teoría de autómatas . Cambridge University Press.
• Petre, Ión; Salomaa, Arto (2009). "Sistemas algebraicos y autómatas pushdown". En Manfred Droste; Werner Kuich; Heiko Vogler (eds.). Manual de autómatas ponderados . Saltador. ISBN 978-3-642-01492-5.
• van den Berg, C.; Christensen, JPR; Ressel, P. (2012). Análisis armónico en semigrupos: teoría de funciones definidas positivas y relacionadas . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1128-0.
• Hollings, Christopher (2014). Matemáticas al otro lado del Telón de Acero: Una historia de la teoría algebraica de los semigrupos . American Mathematical Society . ISBN 978-1-4704-1493-1.
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