Palabra (teoría de grupos)

En teoría de grupos , una palabra es cualquier producto escrito de elementos ^{de un} grupo y sus inversos. Por ejemplo, si x , y y z son elementos de un grupo G , entonces xy , z⁻¹xzz y y⁻¹zxx⁻¹yz⁻¹ son palabras en el conjunto { x ^, y , ^z } . Dos palabras diferentes pueden evaluarse al mismo valor en G , [ ^{1 ]} o incluso en cualquier grupo. ^{[ 2 ]} Las palabras desempeñan un papel importante en la teoría de grupos libres ^y presentaciones , y son objetos centrales de estudio en la teoría combinatoria de grupos .  

Sea G un grupo y sea S un subconjunto de G. Una palabra en S es cualquier expresión de la forma

${\displaystyle s_ {1}^{\varepsilon _ {1}}s_ {2}^{\varepsilon _ {2}}\cdots s_ {n}^{\varepsilon _ {n}}}$

donde s ₁ ,..., s _n son elementos de S , llamados generadores , y cada ε _i es ±1. El número n se conoce como la longitud de la palabra.

Cada palabra en S representa un elemento de G , es decir, el producto de la expresión. Por convención, el elemento identidad único ^{[ 3 ]} puede representarse mediante la palabra vacía , que es la única palabra de longitud cero.

Al escribir palabras, es común usar la notación exponencial como abreviatura. Por ejemplo, la palabra

${\displaystyle xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,}$

podría escribirse como

${\displaystyle x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}.\,}$

Esta última expresión no es una palabra en sí misma , sino simplemente una notación más corta para la original.

Al trabajar con palabras largas, puede ser útil usar una línea superior para denotar los inversos de los elementos de S. Usando la notación de línea superior, la palabra anterior se escribiría de la siguiente manera:

${\displaystyle x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}.\,}$

Cualquier palabra en la que un generador aparezca junto a su propio inverso ( xx ⁻¹ o x ⁻¹ x ) puede simplificarse omitiendo el par redundante:

${\displaystyle y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy.}$

Esta operación se conoce como reducción y no altera el elemento del grupo representado por la palabra. Las reducciones pueden considerarse como relaciones (definidas más adelante ) que se derivan de los axiomas del grupo .

Una palabra reducida es aquella que no contiene pares redundantes. Cualquier palabra puede simplificarse a una palabra reducida mediante una secuencia de reducciones:

${\displaystyle xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz.}$

El resultado no depende del orden en que se realicen las reducciones.

Una palabra se reduce cíclicamente si y solo si cada permutación cíclica de la palabra se reduce.

El producto de dos palabras se obtiene mediante concatenación:

${\displaystyle \left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y.}$

Aunque se reduzcan las dos palabras, el producto puede no ser el mismo.

La inversa de una palabra se obtiene invirtiendo cada generador y cambiando el orden de los elementos:

${\displaystyle \left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}.}$

El producto de una palabra por su inversa se puede reducir a la palabra vacía:

${\displaystyle zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}=1.}$

Puedes mover un generador del principio al final de una palabra mediante conjugación :

${\displaystyle x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx.}$

Un subconjunto S de un grupo G se llama conjunto generador si cada elemento de G puede representarse mediante una palabra en S.

Cuando S no es un conjunto generador para G , el conjunto de elementos representados por palabras en S es un subgrupo de G , conocido como el subgrupo de G generado por S y usualmente denotado${\displaystyle \langle S\rangle }$. Es el subgrupo más pequeño de G que contiene los elementos de S .

Una forma normal para un grupo G con conjunto generador S es la elección de una palabra reducida en S para cada elemento de G. Por ejemplo:

• Las palabras 1, i , j , ij son una forma normal para el grupo de Klein de cuatro elementos con S = { i , j  }  y 1 representa la palabra vacía (el elemento identidad para el grupo).
• Las palabras 1, r , r ² , ..., r ^n-1 , s , sr , ..., sr ^n-1 son una forma normal para el grupo diedral Dih _n con S = { s , r  }  y 1 como se indicó anteriormente.
• El conjunto de palabras de la forma x ^m y ⁿ para m,n  ∈ Z son una forma normal para el producto directo de los grupos cíclicos ⟨ x ⟩ y ⟨ y ⟩ con S = { x , y }.  
• El conjunto de palabras reducidas en S son la única forma normal para el grupo libre sobre S.

Si S es un conjunto generador para un grupo G , una relación es un par de palabras en S que representan el mismo elemento de G. Estas se suelen escribir como ecuaciones, por ejemplo:${\displaystyle x^{-1}yx=y^{2}.\,}$ Un conjunto${\displaystyle {\mathcal {R}}}$de relaciones define G si cada relación en G se deduce lógicamente de aquellas en${\displaystyle {\mathcal {R}}}$utilizando los axiomas para un grupo . Una presentación para G es un par${\displaystyle \langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle }$, donde S es un conjunto generador para G y${\displaystyle {\mathcal {R}}}$es un conjunto de relaciones definitorias.

Por ejemplo, el grupo de cuatro de Klein se puede definir mediante la presentación

${\displaystyle \langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle .}$

Aquí, el 1 denota la palabra vacía, que representa el elemento neutro.

Si S es cualquier conjunto, el grupo libre sobre S es el grupo con presentación${\displaystyle \langle S\mid \;\rangle }$. Es decir, el grupo libre sobre S es el grupo generado por los elementos de S , sin relaciones adicionales. Cada elemento del grupo libre puede escribirse de forma única como una palabra reducida en S .

• Problema verbal (matemáticas)
• Problema de palabras para grupos

• Epstein, David ; Cannon, JW ; Holt, DF; Levy, SVF; Paterson, MS ; Thurston, WP (1992). Procesamiento de textos en grupos . AK Peters. ISBN 0-86720-244-0..
• Novikov, PS (1955). "Sobre la irresolubilidad algorítmica del problema de palabras en la teoría de grupos". Trudy Mat. Inst. Steklov (en ruso). 44 : 1–143 .
• Robinson, Derek John Scott (1996). Un curso de teoría de grupos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3.
• Rotman, Joseph J. (1995). Introducción a la teoría de grupos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
• Schupp, Paul E ; Lyndon, Roger C. (2001). Teoría combinatoria de grupos . Berlín: Springer. ISBN 3-540-41158-5.
• Solitar, Donald ; Magnus, Wilhelm ; Karrass, Abraham (2004). Teoría combinatoria de grupos: presentaciones de grupos en términos de generadores y relaciones . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-43830-9.
• Stillwell, John (1993). Topología clásica y teoría combinatoria de grupos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97970-0.