Montón (matemáticas)

En álgebra abstracta , un semimontículo es una estructura algebraica que consiste en un conjunto no vacío H con una operación ternaria denotada${\displaystyle [x,y,z]\in H}$que satisface una propiedad de asociatividad modificada: ^{[ 1 ] : 56}$${\displaystyle \forall a,b,c,d,e\in H\quad [[a,b,c],d,e]=[a,[d,c,b],e]=[a,b,[c,d,e]].}$$

Un elemento biunitario h de un semimontículo satisface [ h , h , k ] = k = [ k , h , h ] para cada k en H . ^{[ 1 ] : 75, 6}

Un montón es un semimontón en el que cada elemento es biunitario. ^{[ 1 ] : 80} Puede pensarse como un grupo con el elemento identidad "olvidado".

El término «montón» deriva de груда , que en ruso significa « montón » o « pila » . Anton Sushkevich utilizó el término en su Teoría de los grupos generalizados (1937), que influyó en Viktor Wagner , promotor de los semimontones, montones y montones generalizados. ^{[ 1 ] : 11} Груда contrasta con группа ( grupo ), que se incorporó al ruso por transliteración. De hecho, en inglés, a un montón se le ha llamado « groud» . ^{[ 2 ]}

Cuando la construcción anterior se aplica a un montón, el resultado es de hecho un grupo. ^{[ 1 ] : 143} Nótese que la identidad e del grupo puede elegirse como cualquier elemento del montón.

Al igual que en el estudio de los semigrupos , la estructura de los semimontículos se describe en términos de ideales , siendo un "semimontículo i-simple" aquel que no posee ideales propios. Mustafaeva tradujo las relaciones de Green de la teoría de semigrupos a los semimontículos y definió una clase ρ como aquellos elementos que generan el mismo ideal bilateral principal. Posteriormente, demostró que ningún semimontículo i-simple puede tener más de dos clases ρ . ^{[ 5 ]}

También describió las clases de regularidad de un semimontón S : $${\displaystyle D(m,n)=\{a\mid \exists x\in S:a=a^{n}xa^{m}\}}$$donde n y m tienen la misma paridad y la operación ternaria del semimontículo se aplica a la izquierda de una cadena de S. Demuestra que S puede tener como máximo 5 clases de regularidad. Mustafaev llama a un ideal B "aislado" cuando${\displaystyle a^{n}\in B\implies a\in B.}$Luego demuestra que cuando S = D(2,2) , entonces todo ideal está aislado y viceversa. ^{[ 6 ]}

Al estudiar el semimontículo Z( A , B ) de relaciones heterogéneas entre conjuntos A y B , en 1974 KA Zareckii siguió el ejemplo de Mustafaev para describir la equivalencia ideal, las clases de regularidad y los factores ideales de un semimontículo. ^{[ 7 ]}

• Un pseudomontón (o pseudosuelo ) satisface la condición para-asociativa parcial ^{[ 4 ].}$${\displaystyle [[a,b,c],d,e]=[a,b,[c,d,e]].}$$
• Una operación de Malcev satisface la ley de identidad pero no necesariamente la ley paraasociativa, ^{[ 8 ]} es decir, una operación ternaria.${\displaystyle f}$en un plató${\displaystyle X}$satisfaciendo la identidad${\displaystyle f(x,x,y)=f(y,x,x)=y}$(Véase Álgebra de congruencias permutables ).
• Se requiere que un semimontón (o semitierra ) satisfaga únicamente la ley paraasociativa, pero no necesita obedecer la ley de identidad. ^{[ 9 ]}

  Un ejemplo de semimontón que no es en general un montículo viene dado por M un anillo de matrices de tamaño fijo con$${\displaystyle [x,y,z]=x\cdot y^{\mathrm {T} }\cdot z}$$donde • denota la multiplicación de matrices y T denota la transpuesta de la matriz . ^{[ 9 ]}

• Un semimontón idempotente es un semimontón donde${\displaystyle [a,a,a]=a}$para todos un .
• Un montón generalizado (o suelo generalizado ) es un semimontón idempotente donde$${\displaystyle [a,a,[b,b,x]]=[b,b,[a,a,x]]}$$y$${\displaystyle [[x,a,a],b,b]=[[x,b,b],a,a]}$$para todos los a y b .

  En un semimontón, la relación → definida por$${\displaystyle a\rightarrow b\Leftrightarrow [a,b,a]=a}$$es transitivo . Un semimontón es un montículo generalizado si y solo si → es una relación de orden , es decir, también es reflexivo (el semimontón es idempotente) y antisimétrico . ^{[ 10 ]}

• asociatividad n -aria
• Torsor

• Anton Sushkevich (1929) "Sobre una generalización de la ley asociativa", Transactions of the American Mathematical Society 31(1): 204–14 doi : 10.1090/S0002-9947-1929-1501476-0 MR 1501476 
• Schein, Boris (1979). «Semigrupos inversos y suelos generalizados». En AF Lavrik (ed.). Doce artículos sobre lógica y álgebra . Amer. Math. Soc. Transl. Vol.  113. American Mathematical Society . pp. 89–182 . ISBN  0-8218-3063-5.
• Wagner, VV (1968). "Sobre la teoría algebraica de los atlas de coordenadas, II". Trudy Sem. Vektor. Tenzor. Anal. (en ruso). 14 : 229– 281. MR 0253970 . 

• Variedad Mal'cev en el Laboratorio n