Relación binaria

En matemáticas , una relación binaria asocia algunos elementos de un conjunto llamado dominio con algunos elementos de otro conjunto (posiblemente el mismo) llamado codominio . ^{[ 1 ]} Precisamente, una relación binaria sobre conjuntos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$es un conjunto de pares ordenados${\displaystyle (x,y)}$, dónde${\displaystyle x}$es un elemento de${\displaystyle X}$y${\displaystyle y}$es un elemento de${\displaystyle Y}$. ^{[ 2 ]} Codifica el concepto común de relación: un elemento${\displaystyle x}$está relacionado con un elemento${\displaystyle y}$si y solo si el par${\displaystyle (x,y)}$pertenece al conjunto de pares ordenados que define la relación binaria.

Un ejemplo de relación binaria es la relación " divide " sobre el conjunto de números primos.${\displaystyle \mathbb {P} }$y el conjunto de los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$, en el que cada primo${\displaystyle p}$está relacionado con cada número entero${\displaystyle z}$eso es un múltiplo de${\displaystyle p}$, pero no a un número entero que no sea múltiplo de${\displaystyle p}$En esta relación, por ejemplo, el número primo${\displaystyle 2}$está relacionado con números como${\displaystyle -4}$,${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 6}$,${\displaystyle 10}$, pero no para${\displaystyle 1}$o${\displaystyle 9}$, al igual que el número primo${\displaystyle 3}$está relacionado con${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 6}$, y${\displaystyle 9}$, pero no para${\displaystyle 4}$o${\displaystyle 13}$.

Una relación binaria se denomina relación homogénea cuando${\displaystyle X=Y}$. Una relación binaria también se denomina relación heterogénea cuando no es necesario que${\displaystyle X=Y}$.

Las relaciones binarias, y especialmente las relaciones homogéneas, se utilizan en muchas ramas de las matemáticas para modelar una amplia variedad de conceptos. Entre ellos se incluyen, entre otros:

• las relaciones " es mayor que ", " es igual a " y "divide" en aritmética ;
• la relación " es congruente con " en geometría ;
• la relación "es adyacente a" en la teoría de grafos ;
• la relación "es ortogonal a" en álgebra lineal .

Una función puede definirse como una relación binaria que cumple restricciones adicionales. ^{[ 3 ]} Las relaciones binarias también se utilizan mucho en la informática .

Una relación binaria sobre conjuntos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$puede identificarse con un elemento del conjunto potencia del producto cartesiano${\displaystyle X\times Y.}$Dado que un conjunto potencia es un retículo para la inclusión de conjuntos (${\displaystyle \subseteq }$), las relaciones se pueden manipular utilizando operaciones de conjuntos ( unión , intersección y complementación ) y álgebra de conjuntos .

En algunos sistemas de teoría axiomática de conjuntos , las relaciones se extienden a clases , que son generalizaciones de conjuntos. Esta extensión es necesaria, entre otras cosas, para modelar los conceptos de "es un elemento de" o "es un subconjunto de" en la teoría de conjuntos, sin incurrir en inconsistencias lógicas como la paradoja de Russell .

Una relación binaria es el caso especial más estudiado.${\displaystyle n=2}$de un${\displaystyle n}$relación -aria sobre conjuntos${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$, que es un subconjunto del producto cartesiano${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$^{[ 2 ]}

Dados los conjuntos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, el producto cartesiano${\displaystyle X\times Y}$se define como${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in X{\text{ y }}y\in Y\},}$y sus elementos se denominan pares ordenados .

Una relación binaria${\displaystyle R}$sobre conjuntos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$es un subconjunto de${\displaystyle X\times Y.}$^{[ 2 ] [ 4 ]} El conjunto${\displaystyle X}$se denomina dominio ^{[ 2 ]} o conjunto de partida de${\displaystyle R}$y el conjunto${\displaystyle Y}$el codominio o conjunto de destino de${\displaystyle R}$. Para especificar las opciones de los conjuntos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Algunos autores definen una relación binaria o correspondencia como una tripleta ordenada.${\displaystyle (X,Y,G)}$, dónde${\displaystyle G}$es un subconjunto de${\displaystyle X\times Y}$llamada gráfica de la relación binaria. La afirmación${\displaystyle (x,y)\in R}$lee "${\displaystyle x}$es${\displaystyle R}$-relacionado con${\displaystyle y}$" y se denota por${\displaystyle xRy}$. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ a ]} ​​El dominio de definición o dominio activo ^{[ 2 ]} de${\displaystyle R}$es el conjunto de todos${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle xRy}$por al menos uno${\displaystyle y}$. El codominio de definición , codominio activo , ^{[ 2 ]} imagen o rango de${\displaystyle R}$es el conjunto de todos${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle xRy}$por al menos uno${\displaystyle x}$El campo de${\displaystyle R}$es la unión de su dominio de definición y su codominio de definición. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

Cuando${\displaystyle X=Y,}$Una relación binaria se denomina relación homogénea (o endorrelación ). Para enfatizar el hecho de que${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Se permite que sean diferentes, una relación binaria también se llama relación heterogénea . ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} El prefijo hetero proviene del griego ἕτερος ( heteros , "otro, diferente").

Una relación heterogénea se ha denominado relación rectangular , ^{[ 14 ]} lo que sugiere que no tiene la simetría de tipo cuadrado de una relación homogénea en un conjunto donde${\displaystyle A=B.}$Al comentar sobre el desarrollo de las relaciones binarias más allá de las relaciones homogéneas, los investigadores escribieron: "...  ha evolucionado una variante de la teoría que trata las relaciones desde el principio como heterogéneas o rectangulares , es decir, como relaciones donde el caso normal es que son relaciones entre conjuntos diferentes". ^{[ 15 ]}

Los términos correspondencia , ^{[ 16 ]} relación diádica y relación de dos lugares son sinónimos de relación binaria, aunque algunos autores utilizan el término "relación binaria" para cualquier subconjunto de un producto cartesiano.${\displaystyle X\times Y}$sin referencia a${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$y reservar el término "correspondencia" para una relación binaria con referencia a${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$.

En una relación binaria, el orden de los elementos es importante; si${\displaystyle x\neq y}$entonces${\displaystyle yRx}$puede ser verdadero o falso independientemente de${\displaystyle xRy}$. Por ejemplo,${\displaystyle 3}$divide${\displaystyle 9}$, pero${\displaystyle 9}$no divide${\displaystyle 3}$.

Algunos tipos importantes de relaciones binarias${\displaystyle R}$sobre conjuntos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$se enumeran a continuación.

Propiedades únicas:

• Inyectivo ^{[ 23 ]} (también llamado único por la izquierda ^{[ 24 ]} ): para todo${\displaystyle x,y\in X}$y todo${\displaystyle z\in Y,}$si${\displaystyle xRz}$y${\displaystyle yRz}$entonces${\displaystyle x=y}$. En otras palabras, cada elemento del codominio tiene como máximo un elemento preimagen . Para tal relación,${\displaystyle Y}$se denomina clave primaria de${\displaystyle R}$. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, las relaciones binarias verde y azul en el diagrama son inyectivas, pero la roja no lo es (ya que relaciona ambas${\displaystyle -1}$y${\displaystyle 1}$a${\displaystyle 1}$), ni el negro (ya que se relaciona con ambos${\displaystyle -1}$y${\displaystyle 1}$a${\displaystyle 0}$).
• Funcional ^{[ 23 ] [ 25 ] [ 26 ]} (también llamado único por la derecha ^{[ 24 ]} o univalente ^{[ 27 ]} ): para todo${\displaystyle x\in X}$y todo${\displaystyle y,z\in Y,}$si${\displaystyle xRy}$y${\displaystyle xRz}$entonces${\displaystyle y=z}$. En otras palabras, cada elemento del dominio tiene como máximo un elemento de imagen . Dicha relación binaria se denomina función parcial o mapeo parcial . ^{[ 28 ]} Para tal relación,${\displaystyle \{X\}}$se denomina clave primaria de${\displaystyle R}$. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, las relaciones binarias rojas y verdes en el diagrama son funcionales, pero la azul no lo es (ya que se relaciona${\displaystyle 1}$a ambos${\displaystyle 1}$y${\displaystyle -1}$), ni el negro (en lo que respecta a${\displaystyle 0}$a ambos${\displaystyle -1}$y${\displaystyle 1}$).
• Relación uno a uno : inyectiva y funcional. Por ejemplo, la relación binaria verde del diagrama es uno a uno, pero las rojas, azules y negras no lo son.
• Relación uno a muchos : inyectiva y no funcional. Por ejemplo, la relación binaria azul en el diagrama es uno a muchos, pero las rojas, verdes y negras no lo son.
• Relación de muchos a uno : funcional y no inyectiva. Por ejemplo, la relación binaria roja en el diagrama es de muchos a uno, pero las verdes, azules y negras no lo son.
• Relación de muchos a muchos : no es inyectiva ni funcional. Por ejemplo, la relación binaria negra del diagrama es de muchos a muchos, pero las rojas, verdes y azules no lo son.

Propiedades de totalidad (solo definibles si el dominio${\displaystyle X}$y codominio${\displaystyle Y}$se especifican):

• Total ^{[ 23 ]} (también llamado total izquierdo ^{[ 24 ]} ): para todos${\displaystyle x\in X}$existe un${\displaystyle y\in Y}$de tal manera que${\displaystyle xRy}$. En otras palabras, cada elemento del dominio tiene al menos un elemento de imagen. En otras palabras, el dominio de definición de${\displaystyle R}$es igual a${\displaystyle X}$Esta propiedad es diferente de la definición de conectado (también llamado total por algunos autores) en Propiedades . Dicha relación binaria se llama función multivaluada . Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son totales, pero la azul no lo es (ya que no se relaciona${\displaystyle -1}$ni el negro (ya que no se relaciona con ningún número real), ni el negro (ya que no se relaciona con ningún número real).${\displaystyle 2}$a cualquier número real). Como otro ejemplo,${\displaystyle >}$es una relación total sobre los enteros . Pero no es una relación total sobre los enteros positivos, porque no hay${\displaystyle y}$en los enteros positivos tales que${\displaystyle 1>y}$. ^{[ 29 ]} Sin embargo,${\displaystyle <}$es una relación total sobre los enteros positivos, los números racionales y los números reales. Toda relación reflexiva es total: para un dado${\displaystyle x}$, elegir${\displaystyle y=x}$.
• Sobreyectiva ^{[ 23 ]} (también llamada total derecha ^{[ 24 ]} ): para todo${\displaystyle y\in Y}$, existe un${\displaystyle x\in X}$de tal manera que${\displaystyle xRy}$. En otras palabras, cada elemento del codominio tiene al menos un elemento preimagen. En otras palabras, el codominio de definición de${\displaystyle R}$es igual a${\displaystyle Y}$. Por ejemplo, las relaciones binarias verde y azul en el diagrama son sobreyectivas, pero la roja no lo es (ya que no relaciona ningún número real con${\displaystyle -1}$), ni el negro (ya que no relaciona ningún número real con${\displaystyle 2}$).

Propiedades de unicidad y totalidad (solo definibles si el dominio${\displaystyle X}$y codominio${\displaystyle Y}$se especifican):

• Una función (también llamada mapeo ^{[ 24 ]} ): una relación binaria que es funcional y total. En otras palabras, cada elemento del dominio tiene exactamente un elemento de imagen. Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son funciones, pero las azules y negras no lo son.
  • Una inyección : una función que es inyectiva. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es una inyección, pero la roja no lo es; la relación negra y la azul ni siquiera son funciones.
  • Una sobreyección : una función que es sobreyectiva. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es una sobreyección, pero la roja no lo es.
  • Una biyección es una función inyectiva y sobreyectiva. En otras palabras, cada elemento del dominio tiene exactamente un elemento imagen y cada elemento del codominio tiene exactamente un elemento preimagen. Por ejemplo, la relación binaria verde del diagrama es una biyección, pero la roja no lo es.

Si se permiten relaciones sobre clases propias:

• Tipo conjunto (también llamado local ): para todos${\displaystyle x\in X}$, la clase de todos${\displaystyle y\in Y}$de tal manera que${\displaystyle yRx}$, es decir${\displaystyle \{y\in Y,yRx\}}$, es un conjunto. Por ejemplo, la relación${\displaystyle \in }$es de tipo conjunto, y toda relación entre dos conjuntos es de tipo conjunto. ^{[ 30 ]} El orden usual < sobre la clase de números ordinales es una relación de tipo conjunto, mientras que su inversa > no lo es.

Ciertas "relaciones" matemáticas, como "igual a", "subconjunto de" y "miembro de", no pueden entenderse como relaciones binarias según la definición anterior, porque sus dominios y codominios no pueden considerarse conjuntos en los sistemas habituales de la teoría axiomática de conjuntos . Por ejemplo, modelar el concepto general de "igualdad" como una relación binaria.${\displaystyle =}$, tomemos el dominio y el codominio como la "clase de todos los conjuntos", que no es un conjunto en la teoría de conjuntos usual.

En la mayoría de los contextos matemáticos, las referencias a las relaciones de igualdad, pertenencia y subconjunto son inofensivas porque se puede entender implícitamente que están restringidas a algún conjunto en el contexto. La solución habitual a este problema es seleccionar un conjunto "suficientemente grande".${\displaystyle A}$, que contiene todos los objetos de interés, y trabajar con la restricción${\displaystyle =_{A}}$en lugar de${\displaystyle =}$. De manera similar, la relación "subconjunto de"${\displaystyle \subseteq }$debe estar restringido para tener dominio y codominio.${\displaystyle P(A)}$(el conjunto potencia de un conjunto específico${\displaystyle A}$): la relación de conjuntos resultante se puede denotar por${\displaystyle \subseteq _{A}.}$Además, la relación "miembro de" debe estar restringida a tener dominio${\displaystyle A}$y codominio${\displaystyle P(A)}$para obtener una relación binaria${\displaystyle \in _{A}}$Eso es un conjunto. Bertrand Russell ha demostrado que, suponiendo${\displaystyle \in }$Definir sobre todos los conjuntos conduce a una contradicción en la teoría ingenua de conjuntos , véase la paradoja de Russell .

Otra solución a este problema es utilizar una teoría de conjuntos con clases propias, como la teoría de conjuntos NBG o Morse-Kelley , y permitir que el dominio y el codominio (y por lo tanto el grafo) sean clases propias : en dicha teoría, la igualdad, la pertenencia y el subconjunto son relaciones binarias sin comentarios especiales. (Es necesario realizar una pequeña modificación al concepto de la terna ordenada).${\displaystyle (X,Y,G)}$, ya que normalmente una clase propia no puede ser miembro de una tupla ordenada; o por supuesto se puede identificar la relación binaria con su grafo en este contexto.) ^{[ 31 ]} Con esta definición se puede, por ejemplo, definir una relación binaria sobre cada conjunto y su conjunto potencia.

Una relación homogénea sobre un conjunto${\displaystyle X}$es una relación binaria sobre${\displaystyle X}$y en sí mismo, es decir, es un subconjunto del producto cartesiano${\displaystyle X\times X.}$^{[ 14 ] [ 32 ] [ 33 ]} También se le llama simplemente una relación (binaria) sobre${\displaystyle X}$.

Una relación homogénea${\displaystyle R}$sobre un conjunto${\displaystyle X}$puede identificarse con un grafo simple dirigido que permite bucles , donde${\displaystyle X}$es el conjunto de vértices y${\displaystyle R}$es el conjunto de aristas (hay una arista desde un vértice${\displaystyle x}$a un vértice${\displaystyle y}$si y solo si${\displaystyle xRy}$). El conjunto de todas las relaciones homogéneas${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$sobre un conjunto${\displaystyle X}$es el conjunto de potencia${\displaystyle 2^{X\times X}}$que es un álgebra booleana aumentada con la involución del mapeo de una relación a su relación inversa . Considerando la composición de relaciones como una operación binaria en${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$, forma un semigrupo con involución .

Algunas propiedades importantes de una relación homogénea${\displaystyle R}$sobre un conjunto${\displaystyle X}$pueden tener son:

• Reflexivo : para todos${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle xRx}$. Por ejemplo,${\displaystyle \geq }$es una relación reflexiva, pero > no lo es.
• Irreflexivo : para todos${\displaystyle x\in X,}$no${\displaystyle xRx}$. Por ejemplo,${\displaystyle >}$es una relación irreflexiva, pero${\displaystyle \geq }$no lo es.
• Simétrico : para todos${\displaystyle x,y\in X,}$si${\displaystyle xRy}$entonces${\displaystyle yRx}$. Por ejemplo, "es pariente consanguíneo de" es una relación simétrica.
• Antisimétrico : para todos${\displaystyle x,y\in X,}$si${\displaystyle xRy}$y${\displaystyle yRx}$entonces${\displaystyle x=y.}$Por ejemplo,${\displaystyle \geq }$es una relación antisimétrica. ^{[ 34 ]}
• Asimétrico : para todos${\displaystyle x,y\in X,}$si${\displaystyle xRy}$entonces no${\displaystyle yRx}$Una relación es asimétrica si y solo si es antisimétrica e irreflexiva. ^{[ 35 ]} Por ejemplo, > es una relación asimétrica, pero${\displaystyle \geq }$no lo es.
• Transitivo : para todos${\displaystyle x,y,z\in X,}$si${\displaystyle xRy}$y${\displaystyle yRz}$entonces${\displaystyle xRz}$. Una relación transitiva es irreflexiva si y solo si es asimétrica. ^{[ 36 ]} Por ejemplo, "es antecesor de" es una relación transitiva, mientras que "es padre de" no lo es.
• Conectados : para todos${\displaystyle x,y\in X,}$si${\displaystyle x\neq y}$entonces${\displaystyle xRy}$o${\displaystyle yRx}$.
• Fuertemente conectados : para todos${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle xRy}$o${\displaystyle yRx}$.
• Denso : para todos${\displaystyle x,y\in X,}$si${\displaystyle xRy,}$entonces algunos${\displaystyle z\in X}$existe tal que${\displaystyle xRz}$y${\displaystyle zRy}$.

Un orden parcial es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un orden parcial estricto es una relación irreflexiva, asimétrica y transitiva. Un orden total es una relación reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa. ^{[ 37 ]} Un orden total estricto es una relación irreflexiva, asimétrica, transitiva y conexa. Una relación de equivalencia es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. Por ejemplo, "${\displaystyle x}$divide${\displaystyle y}$" es un orden parcial, pero no total, sobre los números naturales${\displaystyle \mathbb {N} ,}$"${\displaystyle x<y}$"es una orden total estricta en${\displaystyle \mathbb {N} ,}$y "${\displaystyle x}$es paralelo a${\displaystyle y}$" es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las líneas en el plano euclidiano .

Todas las operaciones definidas en la sección §  Operaciones también se aplican a relaciones homogéneas. Además, una relación homogénea sobre un conjunto${\displaystyle X}$pueden estar sujetos a operaciones de cierre tales como:

Cierre reflejo

la relación reflexiva más pequeña sobre${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle R}$,

Cierre transitivo

la relación transitiva más pequeña sobre${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle R}$,

Cierre de equivalencia

la relación de equivalencia más pequeña sobre${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle R}$.

Los avances en lógica algebraica han facilitado el uso de relaciones binarias. El cálculo de relaciones incluye el álgebra de conjuntos , ampliada por la composición de relaciones y el uso de relaciones inversas . La inclusión${\displaystyle R\subseteq S,}$lo que significa que${\displaystyle aRb}$implica${\displaystyle aSb}$, establece el escenario en una red de relaciones. Pero dado que${\displaystyle P\subseteq Q\equiv (P\cap {\bar {Q}}=\varnothing )\equiv (P\cap Q=P),}$El símbolo de inclusión es superfluo. Sin embargo, la composición de relaciones y la manipulación de los operadores según las reglas de Schröder proporcionan un cálculo para trabajar en el conjunto potencia de${\displaystyle A\times B.}$

A diferencia de las relaciones homogéneas, la operación de composición de relaciones es solo una función parcial . La necesidad de hacer coincidir el destino con el origen de las relaciones compuestas ha llevado a sugerir que el estudio de las relaciones heterogéneas es un capítulo de la teoría de categorías , como en la categoría de conjuntos , excepto que los morfismos de esta categoría son relaciones. Los objetos de la categoría Rel son conjuntos, y los morfismos de relaciones se componen como se requiere en una categoría . ^{[ 38 ]}

Las relaciones binarias se han descrito a través de sus retículos conceptuales inducidos : Un concepto${\displaystyle C\subset R}$Satisface dos propiedades:

• La matriz lógica de${\displaystyle C}$es el producto exterior de vectores lógicos${\displaystyle C_{ij}=u_{i}v_{j},\quad u,v}$vectores lógicos .
• ${\displaystyle C}$es máximo, no está contenido en ningún otro producto externo. Por lo tanto${\displaystyle C}$se describe como un rectángulo no ampliable .

Para una relación dada${\displaystyle R\subseteq X\times Y,}$El conjunto de conceptos, ampliado por sus uniones y encuentros, forma una "red inducida de conceptos", con inclusión${\displaystyle \sqsubseteq }$formando un pedido anticipado .

El teorema de completación de MacNeille (1937) (que cualquier orden parcial puede estar incrustado en un retículo completo ) se cita en un artículo de revisión de 2013 "Descomposición de relaciones en retículos de conceptos". ^{[ 39 ]} La descomposición es

${\displaystyle R=fEg^{\textsf {T}}}$, dónde${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son funciones , llamadas mapeos o relaciones funcionales izquierda-total en este contexto. El "retículo de conceptos inducidos es isomorfo a la completación de corte del orden parcial${\displaystyle E}$que pertenece a la descomposición mínima${\displaystyle (f,g,E)}$de la relación${\displaystyle R}$"

A continuación se analizan casos particulares:${\displaystyle E}$El orden total corresponde al tipo Ferrers, y${\displaystyle E}$La identidad corresponde a la difuncionalidad, una generalización de la relación de equivalencia en un conjunto.

Las relaciones pueden clasificarse mediante el rango de Schein , que cuenta el número de conceptos necesarios para cubrir una relación. ^{[ 40 ]} El análisis estructural de relaciones con conceptos proporciona un enfoque para la minería de datos . ^{[ 41 ]}

• Proposición : Si${\displaystyle R}$es una relación sobreyectiva y${\displaystyle R^{\mathsf {T}}}$es su transpuesta, entonces${\displaystyle I\subseteq R^{\textsf {T}}R}$dónde${\displaystyle I}$es el${\displaystyle m\times m}$relación de identidad.
• Proposición : Si${\displaystyle R}$es una relación serial , entonces${\displaystyle I\subseteq RR^{\textsf {T}}}$dónde${\displaystyle I}$es el${\displaystyle n\times n}$relación de identidad.

Cada relación${\displaystyle R}$genera un pedido anticipado${\displaystyle R\backslash R}$que es el residuo izquierdo . ^{[ 53 ]} En términos de recíprocos y complementos,${\displaystyle R\backslash R\equiv {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}.}$Formando la diagonal de${\displaystyle R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}$, la fila correspondiente de${\displaystyle R^{\textsf {T}}}$y columna de${\displaystyle {\bar {R}}}$serán de valores lógicos opuestos, por lo que la diagonal es todo ceros. Entonces

${\displaystyle R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\bar {I}}\implies I\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}=R\backslash R}$, de modo que${\displaystyle R\backslash R}$es una relación reflexiva .

Para demostrar la transitividad , se requiere que${\displaystyle (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$Recuerda que${\displaystyle X=R\backslash R}$es la relación más grande tal que${\displaystyle RX\subseteq R.}$Entonces

${\displaystyle R(R\backslash R)\subseteq R}$

${\displaystyle R(R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R}$(repetir)

${\displaystyle \equiv R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\overline {(R\backslash R)(R\backslash R)}}}$(Regla de Schröder)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}}$(complementación)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$(definición)

La relación de inclusión Ω en el conjunto potencia de${\displaystyle U}$se puede obtener de esta manera a partir de la relación de pertenencia${\displaystyle \in }$en subconjuntos de${\displaystyle U}$:

${\displaystyle \Omega ={\overline {\ni {\bar {\in }}}}=\in \backslash \in .}$^{[ 52 ] : 283}

Dada una relación${\displaystyle R}$, su periferia es la subrelación definida como $${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)=R\cap {\overline {R{\bar {R}}^{\textsf {T}}R}}.}$$

Cuando${\displaystyle R}$es una relación de identidad parcial, difuncional o una relación diagonal por bloques, entonces${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)=R}$. De lo contrario el${\displaystyle \operatorname {fringe} }$El operador selecciona una subrelación de frontera descrita en términos de su matriz lógica:${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)}$es el lado diagonal si${\displaystyle R}$es un orden lineal triangular superior derecho u orden estricto .${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)}$es el borde del bloque si${\displaystyle R}$es irreflexivo (${\displaystyle R\subseteq {\bar {I}}}$) o bloque triangular superior derecho.${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)}$es una secuencia de rectángulos de contorno cuando${\displaystyle R}$es del tipo Ferrers.

Por otro lado,${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)=\emptyset }$cuando${\displaystyle R}$es un orden denso , lineal y estricto. ^{[ 52 ]}

Dados dos conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, el conjunto de relaciones binarias entre ellos${\displaystyle {\mathcal {B}}(A,B)}$puede equiparse con una operación ternaria${\displaystyle [a,b,c]=ab^{\textsf {T}}c}$dónde${\displaystyle b^{\mathsf {T}}}$denota la relación inversa de${\displaystyle b}$En 1953, Viktor Wagner utilizó propiedades de esta operación ternaria para definir semimontones , montículos y montículos generalizados. ^{[ 54 ] [ 55 ]} El contraste entre relaciones heterogéneas y homogéneas se destaca en estas definiciones:

Existe una agradable simetría en la obra de Wagner entre montículos, semimontículos y montículos generalizados, por un lado, y grupos, semigrupos y grupos generalizados, por otro. Esencialmente, los distintos tipos de semimontículos aparecen siempre que consideramos relaciones binarias (y mapeos uno a uno parciales) entre diferentes conjuntos.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, mientras que los distintos tipos de semigrupos aparecen en el caso donde${\displaystyle A=B}$.