Configuración (geometría)

Configuraciones (4 ₃ 6 ₂ ) (un cuadrilátero completo , a la izquierda) y (6 ₂ 4 ₃ ) (un cuadrilátero completo, a la derecha)

En matemáticas , específicamente en geometría proyectiva , una configuración en el plano consiste en un conjunto finito de puntos y una disposición finita de líneas , de tal manera que cada punto incide en el mismo número de líneas y cada línea incide en el mismo número de puntos. ^{[ 1 ]}

Aunque ciertas configuraciones específicas ya habían sido estudiadas anteriormente (por ejemplo, por Thomas Kirkman en 1849), el estudio formal de las configuraciones fue introducido por primera vez por Theodor Reye en 1876, en la segunda edición de su libro Geometrie der Lage , en el contexto de una discusión del teorema de Desargues . Ernst Steinitz escribió su disertación sobre el tema en 1894, y fueron popularizadas por el libro de Hilbert y Cohn-Vossen de 1932, Anschauliche Geometrie , reimpreso en inglés como Hilbert & Cohn-Vossen (1952) .

Las configuraciones pueden estudiarse como conjuntos concretos de puntos y líneas en una geometría específica, como los planos euclidiano o proyectivo (se dice que son realizables en dicha geometría), o como un tipo de geometría de incidencia abstracta . En este último caso, están estrechamente relacionadas con los hipergrafos regulares y los grafos bipartitos birregulares , pero con algunas restricciones adicionales: cada par de puntos de la estructura de incidencia puede asociarse con como máximo una línea, y cada dos líneas con como máximo un punto. Es decir, la circunferencia del grafo bipartito correspondiente (el grafo de Levi de la configuración) debe ser al menos seis.

Notación

Una configuración en el plano se denota por ( $p γ ℓ π$ ), donde $p$ es el número de puntos, $ℓ$ el número de líneas, $γ$ el número de líneas por punto y $π$ el número de puntos por línea. Estos números necesariamente satisfacen la ecuación

p\gamma =\ell \pi \,

ya que este producto es el número de incidencias de línea de punto ( banderas ).

Las configuraciones que tienen el mismo símbolo, digamos ( $p γ ℓ π$ ), no tienen por qué ser isomorfas como estructuras de incidencia . Por ejemplo, existen tres configuraciones diferentes (9 ₃ 9 _{3 ): la}configuración de Pappus y dos configuraciones menos notables.

En algunas configuraciones, $p = ℓ$ y, en consecuencia, $γ = π$ . Estas se denominan configuraciones simétricas o equilibradas ^{[ 2 ]} y la notación a menudo se condensa para evitar repeticiones. Por ejemplo, (9 ₃ 9 ₃ ) se abrevia como (9 ₃ ).

Ejemplos

Entre las configuraciones proyectivas más destacadas se incluyen las siguientes:

(1 ₁ ), la configuración más simple posible, que consiste en un punto incidente a una línea. A menudo se excluye por ser trivial.
(3 ₂ ), el triángulo . Cada uno de sus tres lados se encuentra con dos de sus tres vértices, y viceversa. De manera más general, cualquier polígono de $n$ lados forma una configuración de tipo ( $n 2$ )
(4 ₃ 6 ₂ ), el cuadrilátero completo
(6 ₂ 4 ₃ ), la configuración de Pasch , que incluye el cuadrilátero completo
(7 ₃ ), el plano de Fano . Esta configuración existe como una geometría de incidencia abstracta , pero no puede construirse en el plano euclidiano .
(8 ₃ ), la configuración de Möbius-Kantor . Esta configuración describe dos cuadriláteros que están simultáneamente inscritos y circunscritos entre sí. No se puede construir en geometría plana euclidiana, pero las ecuaciones que la definen tienen soluciones no triviales en números complejos .
(9 ₃ ), la configuración de Pappus
(9 ₄ 12 ₃ ), la configuración de Hesse de nueve puntos de inflexión de una curva cúbica en el plano proyectivo complejo y las doce líneas determinadas por pares de estos puntos. Esta configuración comparte con el plano de Fano la propiedad de que contiene todas las líneas que pasan por sus puntos; las configuraciones con esta propiedad se conocen como configuraciones de Sylvester-Gallai debido al teorema de Sylvester-Gallai que muestra que no se les pueden asignar coordenadas de números reales. ^{[ 3 ]}
(10 ₃ ), la configuración de Desargues
(12 ₄ 16 ₃ ), la configuración de Reye
(12 ₅ 30 ₂ ), el doble seis de Schläfli , formado por 12 de las 27 líneas en una superficie cúbica
(15 ₃ ), la configuración de Cremona-Richmond , formada por las 15 líneas complementarias a un doble seis y sus 15 planos tangentes
(15 ₄ 20 ₃ ), la configuración de Cayley-Salmon
(16 ₆ ), la configuración de Kummer
(21 ₄ ), la configuración de Grünbaum-Rigby
(27 ₃ ), la configuración de Gray
(35 ₄ ), configuración de Danzer ^{[ 4 ]}
(60 ₁₅ ), la configuración de Klein

Dualidad de configuraciones

El dual proyectivo de una configuración ( $p γ ℓ π$ ) es una configuración ( $ℓ π p γ$ ) en la que se intercambian los roles de "punto" y "línea". Por lo tanto, los tipos de configuraciones vienen en pares duales, excepto cuando al tomar el dual se obtiene una configuración isomorfa. Estas excepciones se denominan configuraciones autoduales y en tales casos $p = ℓ$ . ^{[ 5 ]}

El número de ( $n 3$ ) configuraciones

El número de configuraciones no isomorfas de tipo ( $n3$ $)$ , comenzando en $n = 7$ , viene dado por la secuencia

1 , 1 , 3 , 10 , 31 , 229 , 2036, 21399, 245342, ... (secuencia A001403 en el OEIS )

Estos números cuentan las configuraciones como estructuras de incidencia abstractas, independientemente de su realizabilidad. ^{[ 6 ]} Como Gropp (1997) analiza, nueve de las diez configuraciones (10 ₃ ), y todas las configuraciones (11 ₃ ) y (12 ₃ ), son realizables en el plano euclidiano, pero para cada $n \geq 16$ hay al menos una configuración ( $n 3$ ) no realizable. Gropp también señala un error persistente en esta secuencia: un artículo de 1895 intentó enumerar todas las configuraciones (12 ₃ ), y encontró 228 de ellas, pero la configuración número 229, la configuración de Gropp, no se descubrió hasta 1988.

Construcciones de configuraciones simétricas

Existen varias técnicas para construir configuraciones, generalmente partiendo de configuraciones conocidas. Algunas de las técnicas más sencillas construyen configuraciones simétricas ( pγ _{) .}

Configuraciones cíclicas

Algunas configuraciones autoduales ( p _k ) son configuraciones cíclicas y pueden construirse mediante una "línea generadora", como {0,1,3}, con vértices indexados desde cero, y donde los índices en las líneas siguientes se repiten cíclicamente módulo p . Esto garantiza la producción de una configuración simétrica cuando es válido. Una línea generadora inválida produce configuraciones desconectadas, o puede romper el axioma que requiere como máximo una línea entre dos puntos cualesquiera. ^{[ 7 ]}

Cada polígono como configuración ( p2 ₎ es trivialmente una configuración cíclica con línea generadora { 0,1 }. Un triángulo ( ₃₂ ) tiene líneas {{ 0,1 }, {1,2}, {2,0}}.

El plano de Fano, ( 73 ), la configuración simétrica _de orden 3 autodual más pequeña, puede definirse mediante la línea generadora { 0,1,3 } como las líneas {{ 0,1,3 }, {1,2,4}, {2,3,5}, {3,4,6}, {4,5,0}, {5,6,1}, {6,0,2}}. También pueden representarse en una tabla de configuración:

La configuración simétrica de orden 5 autodual más pequeña es ( 21 ₅ ), que es una configuración cíclica y puede generarse mediante la línea { 0, 3 , 4, 9, 11 }. ^{[ 8 ]}

Planos proyectivos finitos

Cualquier plano proyectivo finito de orden n , PG(2, n ), es una configuración [( n ² + n +1) _{n +1} ]. Dado que se sabe que existen planos proyectivos para todos los órdenes n que son potencias de números primos, estas construcciones proporcionan familias infinitas de configuraciones simétricas.

Los automorfismos para PG(2, n ), con n = q ^m ( q prima) son ( m !)( n ³ -1)( n ³ - n )( n ³ - n ² )/( n -1). ^{[ 9 ]}

No todas las configuraciones simétricas son realizables. Específicamente, n debe ser un primo potencia. Por ejemplo, la configuración PG(2,6) o (43 ₇ ) no existe. ^{[ 10 ]} Sin embargo, Gropp (1990) ha proporcionado una construcción que muestra que para $k \geq 3$ , existe una configuración ( $p k$ $) para todo p \geq 2 ℓ k + 1$ , donde $ℓ k$ es la longitud de una regla de Golomb óptima de orden $k$ .

Configuraciones no convencionales

Dimensiones superiores

El concepto de configuración puede generalizarse a dimensiones superiores, ^{[ 11 ]} por ejemplo a puntos y líneas o planos en el espacio . En tales casos, las restricciones de que ningún par de puntos pertenezca a más de una línea pueden relajarse, porque es posible que dos puntos pertenezcan a más de un plano.

Algunas configuraciones tridimensionales destacables son la configuración de Möbius , que consiste en dos tetraedros inscritos mutuamente; la configuración de Reye , que consta de doce puntos y doce planos, con seis puntos por plano y seis planos por punto; la configuración de Gray, que consiste en una cuadrícula de 3×3×3 de 27 puntos y las 27 líneas ortogonales que los atraviesan; y el doble seis de Schläfli , una configuración con 30 puntos, 12 líneas, dos líneas por punto y cinco puntos por línea.

Configuraciones topológicas

La configuración en el plano proyectivo que se realiza mediante puntos y pseudolíneas se llama configuración topológica. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, se sabe que no existen configuraciones de punto-línea (19 ₄ ), sin embargo, existe una configuración topológica con estos parámetros.

Configuraciones de puntos y círculos

Otra generalización del concepto de configuración se refiere a configuraciones de puntos y círculos, un ejemplo notable es la configuración de Miquel (8 ₃ 6 ₄ ) . ^[²^]

Véase también

Configuración de Perles , un conjunto de 9 puntos y 9 líneas que no tienen todos el mismo número de incidencias entre sí.

Notas

↑ En la literatura, los términos configuración proyectiva ( Hilbert y Cohn-Vossen 1952 ) y configuración táctica de tipo (1,1) ( Dembowski 1968 ) también se utilizan para describir configuraciones como se definen aquí.
1 2 3 Grünbaum 2009 .
↑ Kelly 1986 .
↑ Grünbaum 2008 , Boben, Gévay y Pisanski 2015
↑ Coxeter 1999 , págs. 106–149
↑ Betten, Brinkmann y Pisanski 2000 .
↑ Grünbaum (2009), pág. 67
↑ Grünbaum (2009), pág. 234
↑ Geometrías finitas , por Peter Dembowski (1968)
↑ Esta configuración sería un plano proyectivo de orden 6 que no existe según el teorema de Bruck-Ryser .
↑ Gévay 2014 .

Referencias

Berman, Leah W. (17 de noviembre de 2006), " Configuraciones móviles ( n ₄ )" , The Electronic Journal of Combinatorics , 13 (1): R104, doi : 10.37236/1130.
Betten, A; Brinkmann, G.; Pisanski, T. (2000), "Counting symmetric configurations", Discrete Applied Mathematics , 99 ( 1–3 ): 331–338 , doi : 10.1016/S0166-218X(99)00143-2.
Boben, Marko; Gévay, Gábor; Pisanski, T. (2015), "Revisión de la configuración de Danzer", Avances en geometría , 15 (4): 393– 408, arXiv : 1301.1067 , doi : 10.1515/advgeom-2015-0019.
Coxeter, HSM (1999), "Configuraciones autoduales y grafos regulares", La belleza de la geometría , Dover, ISBN 0-486-40919-8
Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
Gévay, Gábor (2014), "Construcciones para configuraciones de puntos y líneas grandes (n _k )" , Ars Mathematica Contemporanea , 7 : 175-199, doi : 10.26493/1855-3974.270.daa.
Gropp, Harald (1990), "Sobre la existencia y no existencia de configuraciones n _k ", Journal of Combinatorics and Information System Science , 15 : 34– 48
Gropp, Harald (1997), "Configuraciones y su realización", Matemáticas Discretas , 174 ( 1–3 ): 137–151 , doi : 10.1016/S0012-365X(96)00327-5.
Grünbaum, Branko (2006), "Configuraciones de puntos y líneas", en Davis, Chandler; Ellers, Erich W. (eds.), El legado de Coxeter: reflexiones y proyecciones , American Mathematical Society, pp . 179–225 .
Grünbaum, Branko (2008), "Reflexiones sobre un ejemplo de Danzer", European Journal of Combinatorics , 29 (8): 1910-1918, doi : 10.1016/j.ejc.2008.01.004.
Grünbaum, Branko (2009), Configuraciones de puntos y líneas , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 103, Sociedad Matemática Americana, ISBN 978-0-8218-4308-6.
Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometría y la imaginación (2.ª ed.), Chelsea, págs. 94–170 , ISBN 0-8284-1087-9{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) .
Kelly, LM (1986), "Una resolución del problema de Sylvester-Gallai de JP Serre", Geometría discreta y computacional , 1 (2): 101– 104, doi : 10.1007/BF02187687.
Pisanski, Tomaž ; Servatius, Brigitte (2013), Configuraciones desde un punto de vista gráfico , Springer, ISBN 9780817683641.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. , "Configuración" , MathWorld

[1] En la literatura, los términos configuración proyectiva ( Hilbert y Cohn-Vossen 1952 ) y configuración táctica de tipo (1,1) ( Dembowski 1968 ) también se utilizan para describir configuraciones como se definen aquí.

[FOOTNOTEGrünbaum2009-2] 1 2 3 Grünbaum 2009 .

[FOOTNOTEKelly1986-3] Kelly 1986 .

[4] Grünbaum 2008 , Boben, Gévay y Pisanski 2015

[5] Coxeter 1999 , págs. 106–149

[FOOTNOTEBettenBrinkmannPisanski2000-6] Betten, Brinkmann y Pisanski 2000 .

[7] Grünbaum (2009), pág. 67

[8] Grünbaum (2009), pág. 234

[9] Geometrías finitas , por Peter Dembowski (1968)

[10] Esta configuración sería un plano proyectivo de orden 6 que no existe según el teorema de Bruck-Ryser .

[FOOTNOTEGévay2014-11] Gévay 2014 .

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