Configuración de Kummer

En geometría , la configuración de Kummer , que recibe su nombre de Ernst Kummer , es una configuración geométrica de 16 puntos y 16 planos, de modo que cada punto se encuentra en 6 de los planos y cada plano contiene 6 de los puntos. Además, cada par de puntos incide en exactamente dos planos, y cada dos planos se intersecan en exactamente dos puntos. Por lo tanto, la configuración es un biplano , específicamente, un diseño 2−(16,6,2). Los 16 nodos y 16 tropos de una superficie de Kummer forman una configuración de Kummer. ^{[ 1 ]}

Existen tres formas no isomorfas diferentes de seleccionar 16 conjuntos de 6 elementos distintos que satisfagan las propiedades anteriores, es decir, que formen un biplano. La más simétrica de las tres es la configuración de Kummer, también llamada "el mejor biplano" en 16 puntos. ^{[ 2 ]}

Siguiendo el método de Jordan (1869), pero véase también Assmus y Sardi (1981), ^{[ 2 ]} se disponen los 16 puntos (por ejemplo, los números del 1 al 16) en una cuadrícula de 4x4. Para cada elemento, se toman los otros 3 puntos de la misma fila y los otros 3 puntos de la misma columna, y se combinan en un conjunto de 6. Esto crea un bloque de 6 elementos para cada punto.

Consideremos dos puntos en la misma fila o columna. Hay otros dos puntos en esa fila o columna que aparecen en los bloques correspondientes a ambos puntos de partida; por lo tanto, esos bloques se intersecan en dos puntos. Ahora consideremos dos puntos que no están en la misma fila o columna. Sus bloques correspondientes se intersecan en dos puntos que forman un rectángulo con los dos puntos de partida. Así, todos los bloques se intersecan en dos puntos. Al examinar los bloques correspondientes a esos puntos de intersección, se observa que cualquier par de puntos de partida está presente en dos bloques.

Hay exactamente 11520 permutaciones de los 16 puntos que dan como resultado los mismos bloques. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Además, intercambiar las etiquetas de los bloques con las etiquetas de los puntos produce otro automorfismo de tamaño 2, lo que resulta en 23040 automorfismos.

• Configuración de Klein