Superficie de Kummer

Dejar${\displaystyle K\subset \mathbb {P} ^{3}}$Sea K una superficie cuártica con un punto doble ordinario p , cerca del cual K parece un cono cuadrático. Cualquier línea proyectiva que pase por p entonces intersecta a K con multiplicidad dos en p , y por lo tanto intersectará a la superficie cuártica K en solo otros dos puntos. Identificando las líneas en${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$a través del punto p con${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$, obtenemos una doble cobertura de la explosión de K en p a${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$; esta doble cobertura se obtiene enviando q  ≠ p ↦   ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {pq}}}$y cualquier línea en el cono tangente de p en K a sí misma. El lugar de ramificación de la doble cubierta es una curva plana C de grado 6, y todos los nodos de K que no son p se mapean a nodos de C. 

Mediante la fórmula del grado de género , se obtiene el número máximo posible de nodos en una curva séxtica cuando la curva es una unión de${\displaystyle 6}$líneas, en cuyo caso tenemos 15 nodos. Por lo tanto, el número máximo de nodos en una cuártica es 16, y en este caso todos son nodos simples (para demostrar que${\displaystyle p}$es un proyecto simple desde otro nodo). Una cuártica que obtiene estos 16 nodos se llama cuártica de Kummer, y nos centraremos en ellas más adelante.

Desde${\displaystyle p}$es un nodo simple, el cono tangente a este punto se mapea a una cónica bajo la doble cubierta. Esta cónica es de hecho tangente a las seis líneas (sin prueba). Recíprocamente, dada una configuración de una cónica y seis líneas que son tangentes a ella en el plano, podemos definir la doble cubierta del plano ramificada sobre la unión de estas 6 líneas. Esta doble cubierta se puede mapear a${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$, bajo un mapa que derriba la doble cubierta de la cónica especial, y es un isomorfismo en otro lugar (sin prueba).

Partiendo de una curva suave${\displaystyle C}$del género 2, podemos identificar el jacobiano${\displaystyle Jac(C)}$ con${\displaystyle Pic^{2}(C)}$debajo del mapa${\displaystyle x\mapsto x+K_{C}}$Ahora observamos dos hechos: Dado que${\displaystyle C}$es una curva hiperelíptica el mapeo del producto simétrico ${\displaystyle Sym^{2}C}$a${\displaystyle Pic^{2}C}$, definido por${\displaystyle \{p,q\}\mapsto p+q}$, es la reducción del gráfico de la involución hiperelíptica a la clase de divisores canónicos . Además, el mapa canónico${\displaystyle C\to |K_{C}|^{*}}$es una doble cubierta. Por lo tanto obtenemos una doble cubierta.${\displaystyle Kum(C)\to Sym^{2}|K_{C}|^{*}}$.

Esta doble portada es la que ya apareció arriba: Las 6 líneas son las imágenes de los divisores theta simétricos impares en${\displaystyle Jac(C)}$, mientras que la cónica es la imagen del 0 ampliado. La cónica es isomorfa al sistema canónico a través del isomorfismo${\displaystyle T_{0}Jac(C)\cong |K_{C}|^{*}}$y cada una de las seis líneas es naturalmente isomorfa al sistema canónico dual.${\displaystyle |K_{C}|^{*}}$mediante la identificación de divisores theta y traslaciones de la curva${\displaystyle C}$. Existe una correspondencia 1-1 entre pares de divisores theta simétricos impares y puntos de 2-torsión en el jacobiano dado por el hecho de que${\displaystyle (\Theta +w_{1})\cap (\Theta +w_{2})=\{w_{1}-w_{2},0\}}$, dónde${\displaystyle w_{1},w_{2}}$son puntos de Weierstrass (que son las características theta impares en este género 2). Por lo tanto, los puntos de ramificación del mapa canónico${\displaystyle C\mapsto |K_{C}|^{*}}$En cada una de estas copias del sistema canónico aparecen los puntos de intersección de las líneas y los puntos de tangencia de las líneas y la cónica.

Finalmente, dado que sabemos que cada cuártica de Kummer es una variedad de Kummer de un jacobiano de una curva hiperelíptica, mostramos cómo reconstruir la superficie cuártica de Kummer directamente a partir del jacobiano de una curva de género 2: El jacobiano de${\displaystyle C}$mapas del complejo de líneas completo${\displaystyle |O_{Jac(C)}(2\Theta _{C})|\cong \mathbb {P} ^{2^{2}-1}}$(véase el artículo sobre variedades abelianas ). Este mapa se factoriza a través de la variedad de Kummer como un mapa de grado 4 que tiene 16 nodos en las imágenes de los puntos de 2-torsión en${\displaystyle Jac(C)}$.

En general, un complejo de líneas cuadráticas definido por una sola ecuación cuadrática tiene 3 dimensiones, por lo que a través de cada punto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Existe un haz de líneas unidimensional que describe un cono cuadrático. Este se puede construir intersectando la restricción cuadrática con la restricción lineal de "pasar a un punto".

Sin embargo, existe un conjunto bidimensional de puntos donde esta propiedad deja de ser válida. Específicamente, en estos puntos, el cono cuadrático degenera en dos planos. Estos puntos son los puntos singulares del complejo de líneas cuadráticas. El conjunto de estos puntos constituye su superficie singular . Esta superficie singular es la superficie de Kummer.

Existen varios puntos cruciales que relacionan los aspectos geométricos, algebraicos y combinatorios de la configuración de los nodos de la cuártica de Kummer:

• Cualquier divisor theta impar simétrico en${\displaystyle Jac(C)}$viene dado por los puntos de ajuste${\displaystyle \{qw|q\in C\}}$, donde w es un punto de Weierstrass en${\displaystyle C}$Este divisor theta contiene seis puntos de torsión de orden 2:${\displaystyle w'-w}$de tal manera que${\displaystyle w'}$es un punto de Weierstrass.
• Dos divisores theta impares dados por los puntos de Weierstrass${\displaystyle w,w'}$se cruzan en${\displaystyle 0}$y en${\displaystyle ww'}$.
• La traslación del jacobiano mediante un punto de torsión dos es un isomorfismo del jacobiano como superficie algebraica , que mapea el conjunto de puntos de torsión 2 sobre sí mismo.
• En el sistema lineal completo${\displaystyle |2\Theta _{C}|}$en${\displaystyle Jac(C)}$Cualquier divisor theta impar se transforma en una cónica, que es la intersección de la cuártica de Kummer con un plano. Además, este sistema lineal completo es invariante ante traslaciones por puntos de torsión de orden 2.

Por lo tanto tenemos una configuración de${\displaystyle 16}$cónicas en${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$; donde cada uno contiene 6 nodos, y de tal manera que la intersección de cada dos está a lo largo de 2 nodos. Esta configuración se llama${\displaystyle 16_{6}}$configuración o la configuración de Kummer .

Los puntos de 2-torsión en una variedad abeliana admiten una forma bilineal simpléctica llamada emparejamiento de Weil . En el caso de los jacobianos de curvas de género dos, cada punto de 2-torsión no trivial se expresa de forma única como una diferencia entre dos de los seis puntos de Weierstrass de la curva. El emparejamiento de Weil viene dado en este caso por ${\displaystyle \langle p_{1}-p_{2},p_{3}-p_{4}\rangle =\#\{p_{1},p_{2}\}\cap \{p_{3},p_{4}\}}$Se pueden recuperar muchos de los invariantes teóricos de grupo del grupo.${\displaystyle Sp_{4}(2)}$a través de la geometría de la${\displaystyle 16_{6}}$configuración.

A continuación se muestra una lista de invariantes de la teoría de grupos y su encarnación geométrica en la configuración 16 _{6 .}

• Líneas polares
• complejos apolares
• Configuración de Klein
• cuádricas fundamentales
• tetraedros fundamentales
• tétradas de Rosenhain
• tétradas de Göpel