Complejo de línea

La misma construcción muestra que el espacio de líneas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$se levanta a${\displaystyle G(2,n+1)}$, luego incrustado como una subvariedad de${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$. Desde${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$tiene${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)-1}$dimensiones y${\displaystyle G(2,n+1)}$tiene${\displaystyle 2(n-2)}$dimensiones, debería ser posible escribirlo como la intersección de${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(n-2)(n-3)}$hipersuperficies. Sin embargo,${\displaystyle G(2,\mathbb {R} ^{n})}$es la intersección de la${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}n(n-1)(n-2)(n-3)}$ecuaciones:$${\displaystyle Q_{ijkl}:=p_{ij}p_{kl}-p_{ik}p_{jl}+p_{il}p_{jk}=0\quad (1\leq i<j<k<l\leq n)}$$Por lo tanto, estas ecuaciones deben depender unas de otras cuando${\displaystyle n\geq 5}$. Esto se llama un sygyzy .

Por ejemplo, cuando${\displaystyle n=5}$, el espacio${\displaystyle G(2,5)}$es un subespacio de codimensión 3 de${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{5})}$definida como la intersección de 5 ecuaciones, por lo que hay 2 redundancias, que pueden exhibirse mediante la ecuación matricial:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&p_{12}&p_{13}&p_{14}&p_{15}\\-p_{12}&0&p_{23}&p_{24}&p_{25}\\-p_{13}&-p_{23}&0&p_{34}&p_{35}\\-p_{14}&-p_{24}&-p_{34}&0&p_{45}\\-p_{15}&-p_{25}&-p_{35}&-p_{45}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\\Q_{3}\\Q_{4}\\Q_{5}\end{pmatrix}}=0,\quad {\begin{aligned}Q_{1}&=p_{23}p_{45}-p_{24}p_{35}+p_{25}p_{34}\\Q_{2}&=p_{13}p_{45}-p_{14}p_{35}+p_{15}p_{34}\\Q_{3}&=p_{12}p_{45}-p_{14}p_{25}+p_{15}p_{24}\\Q_{4}&=p_{12}p_{35}-p_{13}p_{25}+p_{15}p_{23}\\Q_{5}&=p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}.\end{aligned}}}$$En el subespacio de${\displaystyle \mathbb {A} ^{9}\subset \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{5})}$dónde${\displaystyle p_{12}=1}$, las dos sizigias lineales$${\displaystyle Q_{1}=p_{23}Q_{3}+p_{24}Q_{4}+p_{25}Q_{5},\quad Q_{2}=-p_{13}Q_{3}-p_{14}Q_{4}-p_{15}Q_{5}}$$demostrar que si${\displaystyle Q_{3},Q_{4},Q_{5}=0}$Entonces, las otras dos condiciones se cumplen automáticamente. Esta es la redundancia.

Una superficie reglada en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$es una curva en la cuádrica de Klein${\displaystyle G(2,4)\subset \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4})}$Una superficie reglada es un complejo de líneas cuando es la intersección de 3 complejos de líneas, cada uno definido por un único polinomio homogéneo en${\displaystyle \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$.

En general, una superficie reglada es una familia de líneas de un parámetro. Una congruencia de líneas es una familia de dos parámetros. Un ejemplo particular es el conjunto de líneas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ortogonal a una superficie dada. El teorema de Malus-Dupin demuestra que la óptica geométrica preserva las congruencias ortogonales.

Cualquier transformación lineal de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$induce una transformación de${\displaystyle \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1}}$que conserva${\displaystyle G(2,n+1)}$. Si la transformación también conserva${\displaystyle \omega }$Entonces, se trata de una transformación simpléctica . Siguiendo el espíritu del programa de Erlangen, la geometría simpléctica estudia los invariantes de las transformaciones simplécticas.

Las transformaciones simplécticas forman un grupo, llamado grupo simpléctico . El grupo actúa sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, dividiéndolo en 2 órbitas: una órbita para vectores distintos de cero y otra órbita para 0. Actúa sobre${\displaystyle G(2,n+1)}$Además, dividiéndolo en 2 órbitas: una órbita para planos isotrópicos y otra órbita para planos simplécticos. De manera más general, cualquier transformación proyectiva en${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{n})}$que conserva el complejo de líneas lineales definido por${\displaystyle \omega }$es una transformación simpléctica. Por eso Lie siempre se refería al grupo simpléctico como "el grupo proyectivo de un complejo de líneas lineales". ^{[ 1 ]}

Una forma 2${\displaystyle \sigma }$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$Puede ser no degenerada o degenerada. La forma simpléctica es no degenerada.

En el caso degenerado, su núcleo es un subespacio lineal no trivial de dimensión par:${\displaystyle \ker \sigma$ :=\{v\in \mathbb {R} ^{n+1}|\sigma (v,\cdot )=0\}\subset \mathbb {R} ^{n+1}} , que se proyecta a un plano de dimensión impar en${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{n+1})}$.

Una 2-forma degenerada pero no nula en${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$tiene un núcleo bidimensional, que se proyecta a una línea en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Plücker denominó complejo de línea lineal definido por una línea degenerada${\displaystyle \sigma }$especial y${\displaystyle \ker \sigma }$su eje .

Defina la forma bilineal${\displaystyle B(p,q):=\sum _{i<j}p_{ij}q_{ij}}$en${\displaystyle \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}}$Dos complejos de líneas lineales definidos por dos subespacios lineales.${\displaystyle V,W\subset \wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}}$están en involución , o en polaridad de Klein , si${\displaystyle V,W}$son complementos ortogonales en relación con${\displaystyle B}$.

A través de un punto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, un haz plano es el conjunto de todas las líneas que pasan por este punto dentro de un plano bidimensional. Está incrustado en una línea recta en${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$.

De manera más general, el conjunto de todas las líneas que pasan por este punto dentro de un k - plano está incrustado en un (k-1) -plano en${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$.

Dado un 2 plano${\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}}$, el conjunto de todas las líneas en él se enumera mediante los lápices de cada punto en una línea. Está incrustado en un plano 2 en${\displaystyle p(F)\subset \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$. Esto puede considerarse como un haz plano de un punto en el infinito . Dualmente, para cada${\displaystyle p(l)\in p(F)}$, hay un lápiz plano de líneas en${\displaystyle p(F)}$Cada línea en el lápiz de${\displaystyle p(l)}$corresponde a un lápiz en una punta en${\displaystyle l\subset F}$.

De manera más general, el conjunto de todas las líneas dentro de un k -plano se incrusta en un (2k-2) -plano en${\displaystyle \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{n+1})}$.

En general, el conjunto de todas las líneas que satisfacen una serie de restricciones lineales es un complejo de líneas lineales.

En${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Las restricciones lineales incluyen: pasar por un punto, intersecar una línea y ser paralela a un plano. El conjunto de todas las líneas que intersecan dos líneas y son paralelas a un plano (en posición general ) es una superficie doblemente reglada definida por la intersección de tres complejos de líneas lineales. En general, el conjunto de todas las líneas que satisfacen tres restricciones lineales es una regla definida por la intersección de tres complejos de líneas lineales.

Existen ejemplos más exóticos. Por ejemplo, la mencionada familia de linajes legendrianos definida por${\displaystyle p_{12}+p_{34}=0}$es un complejo de líneas lineales, que puede interpretarse como una restricción lineal de${\displaystyle dz-xdy+ydx}$.

En el caso especial en que las dos superficies cuadráticas degeneran en 4 planos, las líneas que intersecan los 4 planos en 4 puntos cuya razón antagónica es igual a un número fijo forman un complejo de líneas cuadrático. Este es un complejo tetraédrico , que es un caso especial del complejo armónico.

Teorema de von Staudt : dada una recta${\displaystyle l}$en posición general con un tetraedro con vértices${\displaystyle ABCD}$y sus respectivos rostros${\displaystyle abcd}$, la relación cruzada de los 4 planos${\displaystyle [lA,lB,lC,lD]}$es igual a la razón cruzada de los 4 puntos${\displaystyle [l\cap a,l\cap b,l\cap c,l\cap d]}$.

Para cualquier complejo cuadrático y cualquier complejo lineal en posición general, su intersección está contenida en un complejo tetraédrico.

En general, un complejo de líneas cuadráticas definido por una sola ecuación cuadrática tiene 3 dimensiones, por lo que a través de cada punto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Existe un haz de líneas unidimensional que describe un cono cuadrático. Este se puede construir intersectando la restricción cuadrática con la restricción lineal de "pasar a un punto".

Sin embargo, existe un conjunto bidimensional de puntos donde esto deja de ser válido. Específicamente, en estos puntos, el cono cuadrático degenera en dos planos. Estos puntos son los puntos singulares del complejo de líneas cuadráticas. El conjunto de estos puntos es su superficie singular . La superficie singular es la superficie de Kummer . Es una superficie cuártica . Cada línea interseca la superficie en 4 puntos, y a través de cada línea hay 4 planos tangentes a la superficie. Tiene 16 puntos singulares ("nodos") y 16 planos singulares ("tropos"), el máximo posible para una superficie cuártica. Hay 6 nodos en cada uno de los 16 tropos y 6 tropos que pasan por cada uno de los 16 nodos.

De manera similar, cada plano en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Interseca un complejo de líneas cuadráticas en un complejo de líneas cuadráticas unidimensional. En general, estas líneas barren una sección cónica como su envolvente . Sin embargo, existe un conjunto de planos bidimensionales donde esto deja de ser válido. Estos planos son los planos singulares . La envolvente de estos planos es, una vez más, la misma superficie singular.

Existe una familia unidimensional de un número infinito de complejos cuadráticos que tienen la misma superficie singular. Estos se denominan complejos cosingulares .