Desarrollable tangente

En el estudio matemático de la geometría diferencial de superficies , una superficie desarrollable tangente es un tipo particular de superficie desarrollable que se obtiene a partir de una curva en el espacio euclidiano como la superficie generada por las rectas tangentes a dicha curva. Esta superficie es también la envolvente de los planos tangentes a la curva.

Dejar${\displaystyle \gamma (t)}$ser una parametrización de una curva espacial suave. Es decir,${\displaystyle \gamma }$es una función dos veces diferenciable con derivada que no se anula en ningún punto y que aplica su argumento${\displaystyle t}$(un número real ) a un punto en el espacio; la curva es la imagen de${\displaystyle \gamma }$. Luego, una superficie bidimensional, la tangente desarrollable de${\displaystyle \gamma }$, puede ser parametrizado por el mapa

${\displaystyle (s,t)\mapsto \gamma (t)+s\gamma {\,'}(t).}$^{[ 1 ]}

La curva original forma el límite de la superficie desarrollable tangente y se denomina directriz o arista de regresión. Esta curva se obtiene desarrollando primero la superficie en el plano y, a continuación, considerando la imagen en el plano de las generatrices de la regla sobre la superficie. La envolvente de esta familia de líneas es una curva plana cuya imagen inversa, tras el desarrollo, es la arista de regresión. Intuitivamente, se trata de una curva a lo largo de la cual la superficie debe plegarse durante el proceso de desarrollo en el plano.

La tangente desarrollable es una superficie desarrollable ; es decir, es una superficie con curvatura gaussiana cero . Es uno de los tres tipos fundamentales de superficie desarrollable; los otros dos son los conos generalizados (la superficie trazada por una familia unidimensional de líneas que pasan por un punto fijo) y los cilindros (superficies trazadas por una familia unidimensional de líneas paralelas ). (El plano a veces se da como un cuarto tipo, o puede verse como un caso especial de cualquiera de estos dos tipos). Toda superficie desarrollable en el espacio tridimensional puede formarse pegando piezas de estos tres tipos; de esto se deduce que toda superficie desarrollable es una superficie reglada , una unión de una familia unidimensional de líneas. ^{[ 2 ]} Sin embargo, no toda superficie reglada es desarrollable; el helicoide proporciona un contraejemplo.

En términos generales, si una curva tiene un punto de torsión cero , su tangente desarrollable en ese punto tiene una autointersección en forma de pinza, similar a un paraguas de Whitney . Para demostrar esto, usemos la curva${\displaystyle t\mapsto (t,t^{2},t^{4})}$y estudiar su tangente desarrollable cerca${\displaystyle t=0}$.

Las superficies desarrollables tangentes fueron estudiadas por primera vez por Leonhard Euler en 1772. ^{[ 3 ]} Hasta entonces, las únicas superficies desarrollables conocidas eran los conos generalizados y los cilindros. Euler demostró que las superficies desarrollables tangentes son desarrollables y que toda superficie desarrollable es de uno de estos tipos. ^{[ 2 ]}

• Struik, Dirk Jan (1961), Lecciones sobre geometría diferencial clásica , Addison-Wesley.
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• Sabitov, I.Kh. (2001) [1994], "Superficie desarrollable" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Borde de regresión" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

• Weisstein, Eric W. "Tangent Developable" . MathWorld .