Superficie reglada

En geometría , una superficie S en el espacio euclidiano tridimensional se denomina regla (o espiral ) si por cada punto de S pasa una línea recta que se encuentra sobre S. Algunos ejemplos son el plano , la superficie lateral de un cilindro o cono , una superficie cónica con directriz elíptica , el conoide recto , el helicoide y la tangente desarrollable de una curva suave en el espacio.

Una superficie reglada se puede describir como el conjunto de puntos barridos por una línea recta en movimiento. Por ejemplo, un cono se forma manteniendo fijo un punto de una línea mientras se mueve otro punto a lo largo de un círculo . Una superficie es doblemente reglada si por cada uno de sus puntos pasan dos líneas distintas que se encuentran sobre ella. El paraboloide hiperbólico y el hiperboloide de una hoja son superficies doblemente regladas. El plano es la única superficie que contiene al menos tres líneas distintas que pasan por cada uno de sus puntos ( Fuchs y Tabachnikov, 2007 ) .

Las propiedades de ser regladas o doblemente regladas se conservan mediante aplicaciones proyectivas y, por lo tanto, son conceptos de geometría proyectiva . En geometría algebraica , las superficies regladas a veces se consideran superficies en el espacio afín o proyectivo sobre un cuerpo , pero también se consideran a veces superficies algebraicas abstractas sin una incrustación en el espacio afín o proyectivo, en cuyo caso "línea recta" se entiende como una línea afín o proyectiva.

Una superficie en el espacio euclidiano tridimensional se llama superficie reglada si es la unión de una familia diferenciable de líneas de un parámetro. Formalmente, una superficie reglada es una superficie en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$que se describe mediante una representación paramétrica de la forma $${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$$ para${\displaystyle u}$variando en un intervalo y${\displaystyle v}$abarcando los reales. ^{[ 1 ]} Se requiere que${\displaystyle \mathbf {r} (u)\neq (0,0,0)}$y ambos${\displaystyle \mathbf {c} }$y${\displaystyle \mathbf {r} }$debe ser diferenciable. ^{[ 1 ]}

Cualquier línea recta${\displaystyle v\mapsto \mathbf {x} (u_ {0},v)}$con parámetro fijo${\displaystyle u=u_{0}}$se llama generador . Los vectores${\displaystyle \mathbf {r} (u)}$describe las direcciones de los generadores. La curva${\displaystyle u\mapsto \mathbf {c} (u)}$Se denomina directriz de la representación. La directriz puede colapsar en un punto (en el caso de un cono, véase el ejemplo a continuación).

La superficie reglada de arriba puede describirse alternativamente mediante $${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\mathbf {c} (u)+v\mathbf {d} (u)}$$

con la segunda directora${\displaystyle \mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)}$. Para volver a la primera descripción, partiendo de dos curvas que no se intersecan${\displaystyle \mathbf {c} (u),\mathbf {d} (u)}$como directrices, establecer${\displaystyle \mathbf {r} (u)=\mathbf {d} (u)-\mathbf {c} (u).}$

La forma geométrica de las directrices y generatrices es, por supuesto, fundamental para la forma de la superficie reglada que producen. Sin embargo, sus representaciones paramétricas específicas también influyen en la forma de dicha superficie.

Para determinar el vector normal en un punto se necesitan las derivadas parciales de la representación.${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$: $${\displaystyle \mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\mathbf {\dot {r}} (u),}$$$${\displaystyle \mathbf {x} _{v}=\mathbf {r} (u).}$$ Por lo tanto, el vector normal es $${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} ).}$$ Desde${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0}$(Un producto mixto con dos vectores iguales siempre es 0),${\displaystyle \mathbf {r} (u_{0})}$es un vector tangente en cualquier punto${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}$. Los planos tangentes a lo largo de esta línea son todos iguales, si${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} }$es un múltiplo de${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} }$Esto solo es posible si los tres vectores${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} }$tres vectores se encuentran en un plano, es decir, son linealmente dependientes. La dependencia lineal de tres vectores se puede comprobar utilizando el determinante de estos vectores:

Los planos tangentes a lo largo de la línea${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\mathbf {r} (u_{0})}$son iguales, si$${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0}),\mathbf {\dot {r}} (u_{0}),\mathbf {r} (u_{0}))=0.}$$

Una superficie lisa con curvatura gaussiana cero se denomina desarrollable en un plano , o simplemente desarrollable . La condición del determinante se puede utilizar para demostrar la siguiente afirmación:

Una superficie reglada${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$es desarrollable si y solo si$${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} )=0}$$en cada punto. ^{[ 4 ]}

Los generadores de cualquier superficie reglada coinciden con una familia de sus líneas asintóticas. Para las superficies desarrollables, también forman una familia de sus líneas de curvatura . Se puede demostrar que cualquier superficie desarrollable es un cono, un cilindro o una superficie formada por todas las tangentes de una curva espacial. ^{[ 5 ]}

La condición determinante para superficies desarrollables se utiliza para determinar numéricamente conexiones desarrollables entre curvas espaciales (directrices). El diagrama muestra una conexión desarrollable entre dos elipses contenidas en planos diferentes (uno horizontal y el otro vertical) y su desarrollo. ^{[ 6 ]}

En el artículo «Diseño interactivo de superficies desarrollables» ^{[ 7 ]} se ofrece una visión del uso de superficies desarrollables en el diseño asistido por ordenador ( CAD ) .

Un estudio histórico sobre superficies desarrollables se puede encontrar en Superficies desarrollables: su historia y aplicación . ^{[ 8 ]}

En geometría algebraica , las superficies regladas se definieron originalmente como superficies proyectivas en el espacio proyectivo que contienen una línea recta que pasa por cualquier punto dado. Esto implica inmediatamente que existe una línea proyectiva en la superficie que pasa por cualquier punto dado, y esta condición se usa a menudo como definición de una superficie reglada: las superficies regladas se definen como superficies proyectivas abstractas que satisfacen esta condición de que existe una línea proyectiva que pasa por cualquier punto. Esto es equivalente a decir que son birracionales al producto de una curva y una línea proyectiva. A veces, una superficie reglada se define como aquella que satisface la condición más fuerte de que tiene una fibración sobre una curva cuyas fibras son líneas proyectivas. Esto excluye el plano proyectivo, que tiene una línea proyectiva que pasa por cada punto, pero no puede escribirse como tal fibración.

Las superficies regladas aparecen en la clasificación de Enriques de superficies complejas proyectivas, porque toda superficie algebraica de dimensión de Kodaira${\displaystyle -\infty }$es una superficie reglada (o un plano proyectivo, si se utiliza la definición restrictiva de superficie reglada). Toda superficie reglada proyectiva mínima, distinta del plano proyectivo, es el fibrado proyectivo de un fibrado vectorial bidimensional sobre alguna curva. Las superficies regladas con curva base de género 0 son las superficies de Hirzebruch .

Las superficies doblemente regladas son la inspiración para las estructuras hiperboloides curvas que se pueden construir con una celosía de elementos rectos, a saber:

• Paraboloides hiperbólicos, como los techos en forma de silla de montar .
• Hiperboloides de una hoja, como torres de refrigeración y algunos contenedores de basura .

El motor de cohete RM-81 Agena empleaba canales de refrigeración rectos dispuestos en una superficie reglada para formar la garganta de la sección de la tobera .

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  Torres hiperbólicas de refrigeración en la central eléctrica de Didcot , Reino Unido; la superficie puede ser regida doblemente.
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  Torre de agua de doble regulación con tanque toroidal , obra de Jan Bogusławski en Ciechanów , Polonia.
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  Una torre hiperboloide del puerto de Kobe , Kobe , Japón, con doble nivel de renglón.
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  Torre de agua hiperboloide, 1896 en Nizhny Novgorod .
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  La estructura reticular de la Torre Shukhov en Moscú, cuyas secciones están doblemente regladas.
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  Una escalera de caracol helicoidal reglada en el interior del Torrazzo de Cremona .
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  Iglesia de un pueblo de Selo, Eslovenia: tanto el techo (cónico) como la pared (cilíndrica) son superficies regladas.
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  Un techo paraboloide hiperbólico de la estación de tren Warszawa Ochota en Varsovia , Polonia.
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  Un sombrero cónico con reglas .
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  Tejas onduladas regidas por líneas paralelas en una dirección y sinusoidales en la dirección perpendicular.
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  Construcción de una superficie plana mediante el nivelado ( rectificado ) de hormigón.

• Weisstein, Eric W. "Superficie reglada" . MathWorld .
• Imágenes de superficies regladas de la Universidad de Arizona.
• Ejemplos de superficies desarrollables en el sitio web de Rhino3DE.