Conoide

En geometría, un conoide (del griego κωνος  'cono' y - ειδης  'similar') es una superficie reglada , cuyas líneas cumplen las condiciones adicionales:

(1) Todas las rectas son paralelas a un plano , el plano directriz .

(2) Todas las resoluciones intersecan una línea fija, el eje .

El conoide es recto si su eje es perpendicular a su plano directriz. Por lo tanto, todas las rectas son perpendiculares al eje.

Debido a que (1) cualquier conoide es una superficie catalana y puede representarse paramétricamente mediante

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)\ }$

Cualquier curva x ( u ₀ , v ) con parámetro fijo u = u ₀ es una directriz, c ( u ) describe la directriz y los vectores r ( u ) son todos paralelos al plano directriz. La planaridad de los vectores r ( u ) se puede representar por

${\displaystyle \det(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {\ddot {r}} )=0}$.

Si la directriz es un círculo, el conoide se llama conoide circular .

El término conoide ya fue utilizado por Arquímedes en su tratado Sobre los conoides y los esferoides .

La representación paramétrica

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,0)+v(0,-\sin u,z_{0})\ ,\ 0\leq u<2\ pi ,v\in \mathbb {R} }$

describe un conoide circular recto con el círculo unitario del plano xy como directriz y un plano directriz, que es paralelo al plano y-z. Su eje es la línea${\displaystyle (x,0,z_{0})\x\in \mathbb {R} \ .}$

Características especiales :

1. La intersección con un plano horizontal es una elipse.
2. ${\displaystyle (1-x^{2})(z-z_{0})^{2}-y^{2}z_{0}^{2}=0}$es una representación implícita. Por lo tanto, el conoide circular recto es una superficie de grado 4.
3. La regla de Kepler da para un conoide circular recto con radio y altura el volumen exacto: .${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización h}$${\displaystyle V={\frac {\pi }{2}}r^{2}h}$

La representación implícita se cumple también en los puntos de la recta . Para estos puntos no existen planos tangentes . Tales puntos se denominan singulares . ${\displaystyle (x,0,z_{0})}$

La representación paramétrica

${\displaystyle \mathbf {x}(u,v)=\left(1,u,-u^{2}\right)+v\left(-1,0,u^{2}\right)}$

${\displaystyle =\left(1-v,u,-(1-v)u^{2}\right)\ ,u,v\in \mathbb {R} \ ,}$

describe un conoide parabólico con la ecuación . El conoide tiene una parábola como directriz, el eje y como eje y un plano paralelo al plano xz como plano directriz. Los arquitectos lo utilizan como superficie de techo (véase más abajo). $Estilo de visualización z=-xy^{2}}$

El conoide parabólico no tiene puntos singulares.

1. paraboloide hiperbólico
2. Conoide de Plücker
3. Paraguas Whitney
4. helicoide

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  paraboloide hiperbólico
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  Conoide de Plücker
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  Paraguas Whitney

Hay muchos conoides con puntos singulares, que se investigan en geometría algebraica .

Al igual que otras superficies regladas, los conoides son de gran interés para los arquitectos, ya que se pueden construir utilizando vigas o barras. Los conoides rectos se pueden fabricar fácilmente: se colocan barras sobre un eje de manera que puedan girar alrededor de este eje únicamente. Después, se desvían las barras mediante una directriz y se genera un conoide (es decir, un conoide parabólico).

• mathworld: conoide de plücker
• "Conoide", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

• A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica , 3.ª ed. Boca Raton, FL:CRC Press, 2006. [1] ( ISBN 978-1-58488-448-4 ) 
• Vladimir Y. Rovenskii, Geometría de curvas y superficies con MAPLE [2] ( ISBN 978-0-8176-4074-3 )