Teoría invariante

La teoría de invariantes es una rama del álgebra abstracta que estudia las acciones de los grupos sobre variedades algebraicas , como los espacios vectoriales, desde el punto de vista de su efecto sobre las funciones. Clásicamente, la teoría se ocupaba de la cuestión de la descripción explícita de funciones polinómicas que no cambian, o son invariantes , bajo las transformaciones de un grupo lineal dado . Por ejemplo, si consideramos la acción del grupo lineal especial SL _n sobre el espacio de n por n matrices mediante multiplicación por la izquierda, entonces el determinante es un invariante de esta acción porque el determinante de AX es igual al determinante de X , cuando A está en SL _n .

Sea un grupo , y un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo (que en la teoría clásica de invariantes se suponía generalmente que eran los números complejos ). Una representación de en es un homomorfismo de grupo , que induce una acción de grupo de sobre . Si es el espacio de funciones polinómicas sobre , entonces la acción de grupo de sobre produce una acción sobre mediante la siguiente fórmula: ${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización V}$ ${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización V}$ ${\displaystyle \pi :G\a GL(V)}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle k[V]}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle k[V]}$

${\displaystyle (g\cdot f)(x):=f(g^{-1}(x))\qquad \para todo x\en V,g\en G,f\en k[V].}$

Con esta acción es natural considerar el subespacio de todas las funciones polinómicas que son invariantes bajo esta acción de grupo, es decir el conjunto de polinomios tales que para todo . Este espacio de polinomios invariantes se denota . ${\displaystyle g\cdot f=f}$${\displaystyle g\en G}$${\displaystyle k[V]^{G}}$

Primer problema de la teoría de invariantes : ^[1] ¿Es un álgebra finitamente generada ? ${\displaystyle k[V]^{G}}$${\estilo de visualización k}$

Por ejemplo, si y el espacio de matrices cuadradas, y la acción de sobre está dada por multiplicación izquierda, entonces es isomorfo a un álgebra polinómica en una variable, generada por el determinante. En otras palabras, en este caso, cada polinomio invariante es una combinación lineal de potencias del polinomio determinante. Por lo que en este caso, es finitamente generado sobre . $Estilo de visualización G=SL_{n}$${\displaystyle V=M_{n}}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle k[V]^{G}}$${\displaystyle k[V]^{G}}$${\estilo de visualización k}$

Si la respuesta es sí, entonces la siguiente pregunta es encontrar una base mínima y preguntar si el módulo de las relaciones polinomiales entre los elementos de la base (conocidos como sicigias ) se genera finitamente sobre . ${\displaystyle k[V]}$

La teoría de invariantes de grupos finitos tiene conexiones íntimas con la teoría de Galois . Uno de los primeros resultados importantes fue el teorema principal sobre las funciones simétricas que describía los invariantes del grupo simétrico que actuaban sobre el anillo polinómico mediante permutaciones de las variables. De manera más general, el teorema de Chevalley-Shephard-Todd caracteriza a los grupos finitos cuya álgebra de invariantes es un anillo polinómico. La investigación moderna en teoría de invariantes de grupos finitos enfatiza los resultados "efectivos", como los límites explícitos sobre los grados de los generadores. El caso de la característica positiva , ideológicamente cercano a la teoría de la representación modular , es un área de estudio activo, con vínculos con la topología algebraica . $Estilo de visualización S_{n}$ ${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}}$

La teoría invariante de grupos infinitos está inextricablemente ligada al desarrollo del álgebra lineal , especialmente, las teorías de las formas cuadráticas y determinantes . Otro tema con fuerte influencia mutua fue la geometría proyectiva , donde se esperaba que la teoría invariante desempeñara un papel importante en la organización del material. Uno de los aspectos más destacados de esta relación es el método simbólico . La teoría de la representación de grupos de Lie semisimples tiene sus raíces en la teoría invariante.

El trabajo de David Hilbert sobre la cuestión de la generación finita del álgebra de invariantes (1890) dio como resultado la creación de una nueva disciplina matemática, el álgebra abstracta. Un artículo posterior de Hilbert (1893) abordó las mismas cuestiones de forma más constructiva y geométrica, pero permaneció prácticamente desconocido hasta que David Mumford revivió estas ideas en la década de 1960, en una forma considerablemente más general y moderna, en su teoría geométrica de invariantes . En gran medida debido a la influencia de Mumford, se considera que el tema de la teoría de invariantes abarca la teoría de las acciones de los grupos algebraicos lineales en variedades afines y proyectivas . Gian-Carlo Rota y su escuela han desarrollado una rama distinta de la teoría de invariantes, que se remonta a los métodos constructivos y combinatorios clásicos del siglo XIX. Un ejemplo destacado de este círculo de ideas lo da la teoría de los monomios estándar .

Ejemplos simples de teoría invariante provienen del cálculo de los monomios invariantes de una acción grupal. Por ejemplo, considere la acción de enviar ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C}[x,y]}$

${\displaystyle {\begin{alineado}x\mapsto -x&&y\mapsto -y\end{alineado}}}$

Entonces, como son los monomios de grado más bajo los que son invariantes, tenemos que $Estilo de visualización x^{2},xy,y^{2}}$

${\displaystyle \mathbb {C}[x,y]^{\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }\cong \mathbb {C}[x^{2},xy,y^{2}]\cong {\frac {\mathbb {C}[a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

Este ejemplo constituye la base para realizar muchos cálculos.

Cayley estableció por primera vez la teoría de los invariantes en su "Sobre la teoría de las transformaciones lineales (1845)". En la introducción de su artículo, Cayley cita un artículo de 1841 de George Boole : "Se me sugirieron investigaciones a partir de un artículo muy elegante sobre el mismo tema... del señor Boole". (El artículo de Boole fue Exposición de una teoría general de las transformaciones lineales, Cambridge Mathematical Journal.) ^[2]

Clásicamente, el término "teoría invariante" se refiere al estudio de formas algebraicas invariantes (equivalentemente, tensores simétricos ) para la acción de transformaciones lineales . Este fue un importante campo de estudio en la última parte del siglo XIX. Las teorías actuales relacionadas con el grupo simétrico y las funciones simétricas , el álgebra conmutativa , los espacios de módulos y las representaciones de los grupos de Lie tienen sus raíces en esta área.

En mayor detalle, dado un espacio vectorial finito-dimensional V de dimensión n podemos considerar el álgebra simétrica S ( S ^r ( V )) de los polinomios de grado r sobre V , y la acción sobre ella de GL( V ). En realidad es más preciso considerar los invariantes relativos de GL( V ), o representaciones de SL( V ), si vamos a hablar de invariantes : esto es porque un múltiplo escalar de la identidad actuará sobre un tensor de rango r en S( V ) a través del r -ésimo 'peso' de la potencia del escalar. El punto es entonces definir el subálgebra de invariantes I ( S ^r ( V )) para la acción. Estamos, en lenguaje clásico, viendo invariantes de r -icos n -arios , donde n es la dimensión de  V . (Esto no es lo mismo que encontrar invariantes de GL( V ) en S( V ); este es un problema poco interesante ya que los únicos invariantes de este tipo son constantes.) El caso que más se estudió fue el de los invariantes de formas binarias donde n  = 2.

Otros trabajos incluyeron el de Felix Klein en el cálculo de los anillos invariantes de acciones de grupos finitos en (los grupos poliédricos binarios , clasificados por la clasificación ADE ); estos son los anillos de coordenadas de las singularidades de du Val . ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

El trabajo de David Hilbert , que demostró que I ( V ) se presentaba finitamente en muchos casos, casi puso fin a la teoría clásica de invariantes durante varias décadas, aunque la época clásica en el tema continuó hasta las publicaciones finales de Alfred Young , más de 50 años después. Se han conocido cálculos explícitos para propósitos particulares en tiempos modernos (por ejemplo, Shioda, con los octavísticos binarios).

Hilbert (1890) demostró que si V es una representación finito-dimensional del grupo algebraico complejo G = SL _n ( C ) entonces el anillo de invariantes de G que actúa sobre el anillo de polinomios R = S ( V ) es finitamente generado. Su demostración utilizó el operador de Reynolds ρ de R a R ^G con las propiedades

• ρ (1) = 1
• ρ ( una + segundo ) = ρ ( una ) + ρ ( segundo )
• ρ ( ab ) = a ρ ( b ) siempre que a sea un invariante.

Hilbert construyó el operador de Reynolds explícitamente usando el proceso omega de Cayley Ω, aunque ahora es más común construir ρ indirectamente de la siguiente manera: para grupos compactos G , el operador de Reynolds se da tomando el promedio sobre G , y los grupos reductivos no compactos se pueden reducir al caso de grupos compactos usando el truco unitario de Weyl .

Dado el operador de Reynolds, el teorema de Hilbert se demuestra de la siguiente manera. El anillo R es un anillo polinómico, por lo que se gradúa por grados, y el ideal I se define como el ideal generado por los invariantes homogéneos de grados positivos. Por el teorema de la base de Hilbert, el ideal I se genera finitamente (como un ideal). Por lo tanto, I se genera finitamente por un número finito de invariantes de G (porque si se nos da cualquier subconjunto S –posiblemente infinito– que genere un ideal I generado finitamente , entonces I ya se genera por algún subconjunto finito de S ). Sea i ₁ ,..., i _n un conjunto finito de invariantes de G que generan I (como un ideal). La idea clave es mostrar que estos generan el anillo R ^G de invariantes. Supóngase que x es algún invariante homogéneo de grado d  > 0. Entonces

x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n

para algún a _j en el anillo R porque x está en el ideal I . Podemos suponer que a _j es homogéneo de grado d − deg i _j para cada j (de lo contrario, reemplazamos a _j por su componente homogénea de grado d − deg i _j ; si hacemos esto para cada j , la ecuación x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n seguirá siendo válida). Ahora, aplicando el operador de Reynolds a x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n se obtiene

x = ρ( una ₁ ) yo ₁ + ... + ρ ( una _n ) yo _n

Ahora vamos a demostrar que x se encuentra en el R -álgebra generada por i ₁ ,..., i _n .

Primero, hagamos esto en el caso en que los elementos ρ( a _k ) tengan todos grado menor que d . En este caso, todos están en el R -álgebra generada por i ₁ ,..., i _n (por nuestro supuesto de inducción). Por lo tanto, x también está en este R -álgebra (ya que x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( a _n ) i _n ).

En el caso general, no podemos estar seguros de que todos los elementos ρ( a _k ) tengan grado menor que d . Pero podemos reemplazar cada ρ( a _k ) por su componente homogéneo de grado d − deg i _j . Como resultado, estos ρ( a k ) modificados siguen _siendo G - invariantes (porque cada componente homogéneo de un G -invariante es un G -invariante) y tienen grado menor que d (ya que deg i _k > 0). La ecuación x = ρ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( a _n ) i _n sigue siendo válida para nuestro ρ( a _k ) modificado, por lo que podemos concluir nuevamente que x se encuentra en el R -álgebra generado por i ₁ ,..., i _n .

Por lo tanto, por inducción en el grado, todos los elementos de R ^G están en el R -álgebra generada por i ₁ ,..., i _n .

La formulación moderna de la teoría de invariantes geométricos se debe a David Mumford , y enfatiza la construcción de un cociente por la acción del grupo que debe capturar la información invariante a través de su anillo de coordenadas. Es una teoría sutil, en la que el éxito se obtiene excluyendo algunas órbitas "malas" e identificando otras con órbitas "buenas". En un desarrollo separado se ha rehabilitado el método simbólico de la teoría de invariantes , una notación combinatoria aparentemente heurística.

Una de las motivaciones fue construir espacios de módulos en geometría algebraica como cocientes de esquemas que parametrizaban objetos marcados. En los años 1970 y 1980, la teoría desarrolló interacciones con la geometría simpléctica y la topología equivariante, y se utilizó para construir espacios de módulos de objetos en geometría diferencial , como los instantones y los monopolos .

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