Teoría monomial estándar

En geometría algebraica, la teoría monomial estándar describe las secciones de un fibrado lineal sobre una variedad bandera generalizada o variedad Schubert de un grupo algebraico reductivo al dar una base explícita de elementos llamados monomios estándar . Muchos de los resultados se han extendido a las álgebras de Kac-Moody y sus grupos.

Hay monografías sobre la teoría monomial estándar de Lakshmibai y Raghavan (2008) y Seshadri (2007) y artículos de revisión de V. Lakshmibai, C. Musili y CS Seshadri (1979) y V. Lakshmibai y CS Seshadri (1991).

Uno de los problemas abiertos importantes es dar una construcción completamente geométrica de la teoría. ^[1]

Alfred Young  (1928) introdujo monomios asociados a tablas de Young estándar . Hodge  (1943) (ver también (Hodge & Pedoe 1994, p.378)) utilizó los monomios de Young, que llamó productos de potencia estándar, llamados así por tablas estándar, para dar una base para los anillos de coordenadas homogéneos de los Grassmannianos complejos . Seshadri  (1978) inició un programa, llamado teoría monomial estándar , para extender el trabajo de Hodge a las variedades G / P , para P cualquier subgrupo parabólico de cualquier grupo algebraico reductivo en cualquier característica, dando bases explícitas usando monomios estándar para secciones de fibrados de líneas sobre estas variedades. El caso de los Grassmannianos estudiados por Hodge corresponde al caso cuando G es un grupo lineal especial en característica 0 y P es un subgrupo parabólico maximal. Seshadri pronto se unió a este esfuerzo por V. Lakshmibai y Chitikila Musili . Desarrollaron la teoría monomial estándar primero para representaciones minúsculas de G y luego para grupos G de tipo clásico, y formularon varias conjeturas que la describían para casos más generales. Littelmann  (1998) demostró sus conjeturas utilizando el modelo de trayectorias de Littelmann , en particular dando una descripción uniforme de los monomios estándar para todos los grupos reductivos.

Lakshmibai (2003), Musili (2003) y Seshadri (2012) ofrecen descripciones detalladas del desarrollo temprano de la teoría monomial estándar.

• Dado que las secciones de los haces de líneas sobre variedades de banderas generalizadas tienden a formar representaciones irreducibles de los grupos algebraicos correspondientes, tener una base explícita de monomios estándar permite dar fórmulas de caracteres para estas representaciones. De manera similar, se obtienen fórmulas de caracteres para los módulos de Demazure . Las bases explícitas dadas por la teoría monomial estándar están estrechamente relacionadas con las bases cristalinas y los modelos de trayectorias de Littelmann de representaciones.
• La teoría monomial estándar permite describir las singularidades de las variedades de Schubert y, en particular, a veces demuestra que las variedades de Schubert son normales o Cohen-Macaulay .
• La teoría monomial estándar se puede utilizar para demostrar la conjetura de Demazure .
• La teoría monomial estándar demuestra el teorema de desaparición de Kempf y otros teoremas de desaparición para la cohomología superior de los fibrados de líneas efectivas sobre las variedades de Schubert.
• La teoría monomial estándar proporciona bases explícitas para algunos anillos de invariantes en la teoría de invariantes .
• La teoría monomial estándar proporciona generalizaciones de la regla de Littlewood-Richardson sobre las descomposiciones de productos tensoriales de representaciones a todos los grupos algebraicos reductivos.
• La teoría monomial estándar se puede utilizar para demostrar la existencia de buenas filtraciones en algunas representaciones de grupos algebraicos reductivos en característica positiva.

• Hodge, WVD (1943), "Algunos resultados enumerativos en la teoría de las formas", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 39 (1): 22–30, Bibcode :1943PCPS...39...22H, doi :10.1017/S0305004100017631, MR  0007739
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1952], Métodos de geometría algebraica: Volumen 2 Libro III: Teoría general de variedades algebraicas en el espacio proyectivo. Libro IV: Cuádricas y variedades de Grassmann., Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46901-2, Sr.  0048065
• Lakshmibai, V.; Musili, C.; Seshadri, CS (1979), "Geometría de G/P", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , Nueva serie, 1 (2): 432–435, doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14631-7 , ISSN  0002-9904, MR  0520081
• Lakshmibai, Venkatramani; Raghavan, Komaranapuram N. (2008), Teoría monomial estándar , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, vol. 137, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-540-76757-2, ISBN 978-3-540-76756-5, Sr.  2388163
• Lakshmibai, V.; Seshadri, CS (1991), "Teoría monomial estándar", en Ramanan, S.; Musili, C.; Kumar, N. Mohan (eds.), Actas de la Conferencia de Hyderabad sobre grupos algebraicos (Hyderabad, 1989) , Madrás: Manoj Prakashan, págs. 279–322, MR  1131317
• Lakshmibai, V. (2003), "El desarrollo de la teoría monomial estándar. II", Un homenaje a CS Seshadri (Chennai, 2002) , Trends Math., Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, pp. 283–309, ISBN 978-3-7643-0444-7, Sr.  2017589
• Littelmann, Peter (1998), "El modelo de trayectoria, el mapa cuántico de Frobenius y la teoría monomial estándar" (PDF) , en Carter, Roger W. ; Saxl, Jan (eds.), Grupos algebraicos y sus representaciones (Cambridge, 1997), NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences, vol. 517, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, págs. 175–212, ISBN 9780792352921, Sr.  1670770
• Littelmann, Peter (1998), "Módulos de contracción y teoría monomial estándar para álgebras de Kac-Moody simetrizables", Journal of the American Mathematical Society , 11 (3): 551–567, doi : 10.1090/S0894-0347-98-00268-9 , ISSN  0894-0347, MR  1603862
• Musili, C. (2003), "El desarrollo de la teoría monomial estándar. I", Un homenaje a CS Seshadri (Chennai, 2002) , Trends Math., Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, págs. 385–420, ISBN 978-3-7643-0444-7, Sr.  2017594
• Seshadri, CS (1978), "Geometría de la teoría G/PI de monomios estándar para representaciones minúsculas", en Ramanathan, KG (ed.), CP Ramanujam---un tributo , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, vol. 8, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 207–239, ISBN 978-3-540-08770-0, Sr.  0541023
• Seshadri, CS (2007), Introducción a la teoría de monomios estándar, Textos y lecturas en matemáticas, vol. 46, Nueva Delhi: Hindustan Book Agency, ISBN 9788185931784, Sr.  2347272
• Seshadri, CS (2012), "Teoría monomial estándar: un relato histórico", Documentos recopilados de CS Seshadri. Volumen 2. Geometría de Schubert y teoría de la representación. , Nueva Delhi: Hindustan Book Agency, págs. 3–50, ISBN 9789380250175, Sr.  2905898
• Young, Alfred (1928), "Sobre el análisis sustitucional cuantitativo", Proc. London Math. Soc. , 28 (1): 255–292, doi :10.1112/plms/s2-28.1.255