Base de cristal

Una base cristalina para una representación de un grupo cuántico en un espacio vectorial no es una base de ese espacio vectorial sino más bien una base de donde es una red en ese espacio vectorial. Las bases cristalinas aparecieron en el trabajo de Kashiwara  (1990) y también en el trabajo de Lusztig  (1990). Pueden considerarse como especializaciones a partir de la base canónica definida por Lusztig  (1990). ${\displaystyle \mathbb {Q} (v)}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\estilo de visualización L/vL}$${\estilo de visualización L}$${\displaystyle \mathbb {Q} (v)}$${\displaystyle v\to 0}$

Como consecuencia de sus relaciones definitorias, el grupo cuántico puede considerarse como un álgebra de Hopf sobre el campo de todas las funciones racionales de un q indeterminado sobre , denotado . ${\displaystyle U_{q}(G)}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$

Para una raíz simple y un entero no negativo , defina ${\displaystyle \alpha _{i}}$${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{i}^{(0)}=f_{i}^{(0)}&=1\\e_{i}^{(n)}&={\frac {e_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\\[6pt]f_{i}^{(n)}&={\frac {f_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\end{aligned}}}$

En un módulo integrable , y para el peso , un vector (es decir, un vector con peso ) se puede descomponer de forma única en las sumas ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización \lambda}$${\displaystyle u\in M_{\lambda}}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización \lambda}$

${\displaystyle u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i} ^{(n)}v_{n},}$

donde , , sólo si , y sólo si . ${\displaystyle u_{n}\in \ker(e_{i})\cap M_{\lambda +n\alpha _{i}}}$${\displaystyle v_{n}\in \ker(f_{i})\cap M_{\lambda -n\alpha _{i}}}$${\displaystyle u_{n}\neq 0}$${\displaystyle n+{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}$${\displaystyle v_{n}\neq 0}$${\displaystyle n-{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}$

Las asignaciones lineales se pueden definir mediante ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i},{\tilde {f}}_{i}:M\to M}$${\displaystyle M_{\lambda }}$

${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}u=\sum _{n=1}^{\infty }f_{i}^{(n-1)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n+1)}v_{n},}$

${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n+1)}u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }e_{i}^{(n-1)}v_{n}.}$

Sea el dominio integral de todas las funciones racionales en las que son regulares en ( es decir, una función racional es un elemento de si y solo si existen polinomios y en el anillo de polinomios tales que , y ). ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle f(q)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle g(q)}$${\displaystyle h(q)}$${\displaystyle \mathbb {Q} [q]}$${\displaystyle h(0)\neq 0}$${\displaystyle f(q)=g(q)/h(q)}$

Una base cristalina es un par ordenado , tal que ${\displaystyle M}$${\displaystyle (L,B)}$

• ${\displaystyle L}$es un submódulo libre de tal que${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M=\mathbb {Q} (q)\otimes _{A}L;}$
• ${\displaystyle B}$es una base del espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle L/qL}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$
• ${\displaystyle L=\oplus _{\lambda }L_{\lambda }}$y , donde y${\displaystyle B=\sqcup _{\lambda }B_{\lambda }}$${\displaystyle L_{\lambda }=L\cap M_{\lambda }}$${\displaystyle B_{\lambda }=B\cap (L_{\lambda }/qL_{\lambda }),}$
• ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}L\subset L}$y${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}L\subset L{\text{ for all }}i,}$
• ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}B\subset B\cup \{0\}}$y${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}B\subset B\cup \{0\}{\text{ for all }}i,}$
• ${\displaystyle {\text{for all }}b\in B{\text{ and }}b'\in B,{\text{ and for all }}i,\quad {\tilde {e}}_{i}b=b'{\text{ if and only if }}{\tilde {f}}_{i}b'=b.}$

Para poner esto en un contexto más informal, las acciones de y son generalmente singulares en sobre un módulo integrable . Las aplicaciones lineales y sobre el módulo se introducen de modo que las acciones de y sean regulares en sobre el módulo. Existe una -base de vectores de peso para , con respecto a la cual las acciones de y son regulares en para todo i . El módulo se restringe entonces al -módulo libre generado por la base, y los vectores base, el -submódulo y las acciones de y se evalúan en . Además, la base se puede elegir de modo que en , para todo , y se representen por transposiciones mutuas, y asignen vectores base a vectores base o 0. ${\displaystyle e_{i}f_{i}}$${\displaystyle f_{i}e_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}{\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}{\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$${\displaystyle {\tilde {B}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$

Una base cristalina puede representarse mediante un grafo dirigido con aristas etiquetadas. Cada vértice del grafo representa un elemento de la -base de , y una arista dirigida, etiquetada por i , y dirigida de vértice a vértice , representa que (y, equivalentemente, que ), donde es el elemento base representado por , y es el elemento base representado por . El grafo determina completamente las acciones de y en . Si un módulo integrable tiene una base cristalina, entonces el módulo es irreducible si y solo si el grafo que representa la base cristalina es conexo (un grafo se llama "conexo" si el conjunto de vértices no se puede dividir en la unión de subconjuntos disjuntos no triviales y tal que no hay aristas que unan ningún vértice en a ningún vértice en ). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle L/qL}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle b_{2}={\tilde {f}}_{i}b_{1}}$${\displaystyle b_{1}={\tilde {e}}_{i}b_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$

Para cualquier módulo integrable con una base cristalina, el espectro de pesos para la base cristalina es el mismo que el espectro de pesos para el módulo y, por lo tanto, el espectro de pesos para la base cristalina es el mismo que el espectro de pesos para el módulo correspondiente del álgebra de Kac-Moody apropiada . Las multiplicidades de los pesos en la base cristalina también son las mismas que sus multiplicidades en el módulo correspondiente del álgebra de Kac-Moody apropiada.

Es un teorema de Kashiwara que todo módulo integrable de mayor peso tiene una base cristalina. De manera similar, todo módulo integrable de menor peso tiene una base cristalina.

Sea un módulo integrable con base cristalina y sea un módulo integrable con base cristalina . Para bases cristalinas, el coproducto , dado por ${\displaystyle M}$${\displaystyle (L,B)}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle (L',B')}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (k_{\lambda })&=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }\\\Delta (e_{i})&=e_{i}\otimes k_{i}^{-1}+1\otimes e_{i}\\\Delta (f_{i})&=f_{i}\otimes 1+k_{i}\otimes f_{i}\end{aligned}}}$

Se adopta el módulo integrable que tiene como base cristalina , donde . Para un vector base , defina ${\displaystyle M\otimes _{\mathbb {Q} (q)}M'}$${\displaystyle (L\otimes _{A}L',B\otimes B')}$${\displaystyle B\otimes B'=\left\{b\otimes _{\mathbb {Q} }b':b\in B,\ b'\in B'\right\}}$${\displaystyle b\in B}$

${\displaystyle \varepsilon _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {e}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}}$

${\displaystyle \varphi _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {f}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}}$

Las acciones de y sobre están dadas por ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle b\otimes b'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {e}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {e}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)\geq \varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {e}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)<\varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\\{\tilde {f}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {f}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)>\varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {f}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)\leq \varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\end{aligned}}}$

La descomposición del producto de dos módulos de mayor peso integrables en submódulos irreducibles se determina mediante la descomposición del gráfico de la base del cristal en sus componentes conexos (es decir, se determinan los pesos más altos de los submódulos y se determina la multiplicidad de cada peso más alto).

• Jantzen, Jens Carsten (1996), Lecciones sobre grupos cuánticos, Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 6, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0478-0, Sr.  1359532
• Kashiwara, Masaki (1990), "Cristalizando el análogo q de las álgebras envolventes universales", Communications in Mathematical Physics , 133 (2): 249–260, doi :10.1007/bf02097367, ISSN  0010-3616, MR  1090425, S2CID  121695684
• Lusztig, G. (1990), "Bases canónicas que surgen de álgebras envolventes cuantificadas", Journal of the American Mathematical Society , 3 (2): 447–498, doi : 10.2307/1990961 , ISSN  0894-0347, JSTOR  1990961, MR  1035415

• Base cristalina en el laboratorio n