modelo de trayectoria de Littelmann

En matemáticas , el modelo de caminos de Littelmann es un dispositivo combinatorio, desarrollado por Peter Littelmann, para calcular multiplicidades sin sobrecontar en la teoría de representaciones de álgebras de Kac-Moody simetrizables . Su aplicación más importante se encuentra en las álgebras de Lie semisimples complejas o, equivalentemente , en los grupos de Lie semisimples compactos , caso que se describe en este artículo. Las multiplicidades en representaciones irreducibles , productos tensoriales y reglas de ramificación se pueden calcular mediante un grafo dirigido coloreado , con etiquetas dadas por las raíces simples del álgebra de Lie.

Desarrollado como un puente entre la teoría de bases cristalinas derivada del trabajo de Kashiwara y Lusztig sobre grupos cuánticos y la teoría monomial estándar de C.S. Seshadri y Lakshmibai, el modelo de caminos de Littelmann asocia a cada representación irreducible un espacio vectorial racional con una base dada por caminos desde el origen hasta un peso , así como un par de operadores raíz que actúan sobre los caminos para cada raíz simple . Esto proporciona una forma directa de recuperar las estructuras algebraicas y combinatorias descubiertas previamente por Kashiwara y Lusztig utilizando grupos cuánticos.

Algunas de las preguntas básicas en la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples complejas o grupos de Lie semisimples compactos que se remontan a Hermann Weyl incluyen: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• Para un peso dominante λ dado , encuentre las multiplicidades de peso en la representación irreducible L (λ) con el peso λ más alto.
• Para dos pesos máximos λ, μ, encuentre la descomposición de su producto tensorial L (λ).${\displaystyle \otimes }$L (μ) en representaciones irreducibles.
• Supongamos que${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$es el componente de Levi de una subálgebra parabólica de un álgebra de Lie semisimple${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Para un peso dominante máximo dado λ , determine la regla de ramificación para descomponer la restricción de L ( λ ) a${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$. ^{[ 3 ]}

(Cabe señalar que el primer problema, el de las multiplicidades de peso, es un caso especial del tercero en el que la subálgebra parabólica es una subálgebra de Borel . Además, el problema de ramificación de Levi puede integrarse en el problema del producto tensorial como un caso límite).

Las respuestas a estas preguntas fueron proporcionadas inicialmente por Hermann Weyl y Richard Brauer como consecuencias de fórmulas explícitas de caracteres , ^{[ 4 ]} seguidas posteriormente por fórmulas combinatorias de Hans Freudenthal , Robert Steinberg y Bertram Kostant ; véase Humphreys (1994) . Una característica insatisfactoria de estas fórmulas es que implicaban sumas alternadas para cantidades que se sabían a priori que eran no negativas. El método de Littelmann expresa estas multiplicidades como sumas de enteros no negativos sin sobrecontar . Su trabajo generaliza resultados clásicos basados ​​en tablas de Young para el álgebra de Lie lineal general.${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$_n o el álgebra de Lie lineal especial${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$_n : ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

• El resultado de Issai Schur en su disertación de 1901 fue que las multiplicidades de peso podían contarse en términos de tablas de Young estrictas por columna (es decir, que aumentan débilmente hacia la derecha a lo largo de las filas y aumentan estrictamente hacia abajo en las columnas).
• La célebre regla de Littlewood-Richardson que describe tanto las descomposiciones de productos tensoriales como la ramificación de ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$_{m + n} a ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$_metro${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$_n en términos de permutaciones reticulares de tableros sesgados.

Los intentos de encontrar algoritmos similares sin sobrecontar para las otras álgebras de Lie clásicas solo habían tenido un éxito parcial. ^{[ 9 ]}

La contribución de Littelmann consistió en proporcionar un modelo combinatorio unificado que se aplicaba a todas las álgebras de Kac-Moody simetrizables y que ofrecía fórmulas combinatorias explícitas sin resta para las multiplicidades de peso, las reglas de producto tensorial y las reglas de ramificación . Logró esto introduciendo el espacio vectorial V sobre Q generado por la red de peso de una subálgebra de Cartan ; en el espacio vectorial de caminos lineales a trozos en V que conectan el origen con un peso, definió un par de operadores de raíz para cada raíz simple de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Los datos combinatorios podrían codificarse en un grafo dirigido coloreado, con etiquetas dadas por las raíces simples.

La principal motivación de Littelmann ^{[ 10 ]} fue reconciliar dos aspectos diferentes de la teoría de la representación:

• La teoría monomial estándar de Lakshmibai y Seshadri que surge de la geometría de las variedades de Schubert .
• Bases cristalinas que surgen en el enfoque de los grupos cuánticos de Masaki Kashiwara y George Lusztig . Kashiwara y Lusztig construyeron bases canónicas para representaciones de deformaciones del álgebra envolvente universal de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$dependiendo de un parámetro de deformación formal q . En el caso degenerado cuando q = 0, estos producen bases cristalinas junto con pares de operadores correspondientes a raíces simples; véase Ariki (2002) .

Aunque definidos de manera diferente, la base cristalina, sus operadores raíz y el grafo cristalino demostraron posteriormente ser equivalentes al modelo de caminos y al grafo de Littelmann; véase Hong y Kang (2002 , p. xv) . En el caso de álgebras de Lie semisimples complejas, existe una descripción simplificada y autocontenida en Littelmann (1997) que se basa únicamente en las propiedades de los sistemas de raíces ; este enfoque se sigue aquí. 

Sea P la red de pesos en el dual de una subálgebra de Cartan del álgebra de Lie semisimple.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Un camino de Littelmann es una aplicación lineal por partes.

${\displaystyle \pi$ :[0,1]\cap \mathbf {Q} \rightarrow P\otimes _ {\mathbf {Z} }\mathbf {Q} }

de tal manera que π(0)  =  0 y π(1) es un peso .

Sea ( H _α ) la base de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$que consiste en vectores "coroot", duales a la base de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$*formado por raíces simples (α). Para α fijo y un camino π, la función${\displaystyle h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })}$tiene un valor mínimo M.

Definir automapas no decrecientes l y r de [0,1]${\displaystyle \cap }$Q por

${\displaystyle l(t)=\min _{t\leq s\leq 1}(1,h(s)-M),\,\,\,\,\,\,r(t)=1-\min _{0\leq s\leq t}(1,h(s)-M).}$

Por lo tanto, l ( t ) = 0 hasta la última vez que h ( s ) = M y r ( t ) = 1 después de la primera vez que h ( s ) = M .

Definir nuevos caminos π _l y π _r mediante

${\displaystyle \pi _{r}(t)=\pi (t)+r(t)\alpha ,\,\,\,\,\,\,\pi _{l}(t)=\pi (t)-l(t)\alpha }$

Los operadores raíz e _α y f _α se definen en un vector base [π] mediante

• ${\displaystyle \displaystyle {e_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{r}]}}$si r (0) = 0 y 0 en caso contrario;
• ${\displaystyle \displaystyle {f_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{l}]}}$si l (1) = 1 y 0 en caso contrario.

La característica clave aquí es que las trayectorias forman una base para los operadores raíz como la de una representación monomial : cuando se aplica un operador raíz al elemento base de una trayectoria, el resultado es 0 o el elemento base de otra trayectoria.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$Sea el álgebra generada por los operadores de raíz. Sea π( t ) un camino que se encuentra completamente dentro de la cámara de Weyl positiva definida por las raíces simples. Utilizando resultados sobre el modelo de caminos de CS Seshadri y Lakshmibai, Littelmann demostró que

• el${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-módulo generado por [π] depende solo de π(1) = λ y tiene una base Q que consiste en caminos [σ];
• La multiplicidad del peso μ en la representación integrable de mayor peso L (λ) es el número de caminos σ con σ(1) = μ.

También existe una acción del grupo de Weyl sobre los caminos [π]. Si α es una raíz simple y k = h (1), con h como se indicó anteriormente, entonces la reflexión correspondiente s _α actúa de la siguiente manera:

• s _α [π] = [π] si k = 0;
• s _α [π]= f _α ^k [π] si k > 0;
• s _α [π]= e _α ^{– k} [π] si k < 0.

Si π es un camino que se encuentra completamente dentro de la cámara de Weyl positiva, el gráfico de Littelmann${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\pi }}$se define como el grafo dirigido y coloreado que tiene como vértices los caminos no nulos obtenidos al aplicar sucesivamente los operadores f _α a π. Hay una flecha dirigida de un camino a otro etiquetada por la raíz simple α, si el camino de destino se obtiene a partir del camino de origen aplicando f _α .

• Los grafos de Littelmann de dos caminos son isomorfos como grafos dirigidos coloreados si y solo si los caminos tienen el mismo punto final.

Por lo tanto, el gráfico de Littelmann solo depende de λ. Kashiwara y Joseph demostraron que coincide con el "gráfico cristalino" definido por Kashiwara en la teoría de bases cristalinas.

• Base cristalina