Complejización

En matemáticas , la complejización de un espacio vectorial V sobre el cuerpo de los números reales (un "espacio vectorial real") produce un espacio vectorial V ^C sobre el cuerpo de los números complejos , obtenido al extender formalmente la escala de vectores por números reales para incluir su escala ("multiplicación") por números complejos. Cualquier base para V (un espacio sobre los números reales) también puede servir como base para V ^C sobre los números complejos.

Dejar${\displaystyle V}$ser un espacio vectorial real. ElLa complejización deVse define tomando elproducto tensorialde${\displaystyle V}$con los números complejos (considerados como un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales): $${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .}$$ El subíndice,${\displaystyle \mathbb {R} }$, en el producto tensorial indica que el producto tensorial se toma sobre los números reales (ya que${\displaystyle V}$es un espacio vectorial real, esta es la única opción sensata de todos modos, por lo que el subíndice puede omitirse sin problema). Tal como está,${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$es solo un espacio vectorial real. Sin embargo, podemos hacer${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$en un espacio vectorial complejo definiendo la multiplicación compleja de la siguiente manera: $${\displaystyle \alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ para todo }}v\in V{\mbox{ y }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .}$$ En términos más generales, la complejización es un ejemplo de extensión de escalares –en este caso, la extensión de escalares de los números reales a los números complejos– que puede realizarse para cualquier extensión de cuerpos , o incluso para cualquier morfismo de anillos.

Si${\displaystyle V}$tiene dimensión finita${\displaystyle n}$encima${\displaystyle \mathbb {R} }$, entonces el${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$tiene dimensión${\displaystyle 2n}$como un espacio vectorial real y dimensión${\displaystyle n}$como un espacio vectorial complejo.

Formalmente, la complejización es un functor Vect _R → Vect _C , que transforma la categoría de espacios vectoriales reales en la categoría de espacios vectoriales complejos. Este es el functor adjunto —específicamente el adjunto izquierdo— del functor de olvido Vect _C → Vect _R, que ignora la estructura compleja.

Este olvido de la compleja estructura de un espacio vectorial complejo${\displaystyle V}$se llamadescomplejización (o a veces "realificación "). La descomplejización de un espacio vectorial complejo${\displaystyle V}$con base${\displaystyle e_{\mu }}$elimina la posibilidad de multiplicación compleja de escalares, lo que da como resultado un espacio vectorial real.${\displaystyle W_{\mathbb {R} }}$del doble de dimensión con una base${\displaystyle \{e_{\mu}, es decir_{\mu}\}.}$^{[ 1 ]}

Por la naturaleza del producto tensorial, cada vector v en V ^C puede escribirse de forma única en la forma

${\displaystyle v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i}$

donde v ₁ y v ₂ son vectores en V . Es una práctica común omitir el símbolo del producto tensorial y simplemente escribir

${\displaystyle v=v_{1}+iv_{2}.\,}$

La multiplicación por el número complejo a + ib viene dada por la regla usual.

${\displaystyle (a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,}$

Podemos entonces considerar V ^C como la suma directa de dos copias de V :

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV}$

con la regla anterior para la multiplicación por números complejos.

Existe una incrustación natural de V en V ^C dada por

${\displaystyle v\mapsto v\otimes 1.}$

El espacio vectorial V puede considerarse entonces como un subespacio real de V ^C . Si V tiene una base { e _i } (sobre el cuerpo R ), entonces una base correspondiente para V ^C viene dada por { e _i ⊗ 1 } sobre el cuerpo C . Por lo tanto, la dimensión compleja de V ^C es igual a la dimensión real de V :

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.}$

Alternativamente, en lugar de utilizar productos tensoriales, se puede utilizar esta suma directa como definición de la complejización:

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,}$

dónde${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$Se le da una estructura compleja lineal mediante el operador J definido como${\displaystyle J(v,w):=(-w,v),}$donde J codifica la operación de “multiplicación por i ”. En forma matricial, J viene dada por:

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.}$

Esto produce el mismo espacio: un espacio vectorial real con estructura lineal compleja es idéntico a un espacio vectorial complejo, aunque construye el espacio de manera diferente. En consecuencia,${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$se puede escribir como${\displaystyle V\oplus JV}$o${\displaystyle V\oplus iV,}$identificar V con el primer sumando directo. Este enfoque es más concreto y tiene la ventaja de evitar el uso del producto tensorial, que es técnicamente complejo, pero es ad hoc.

• La complejización del espacio de coordenadas reales R ⁿ es el espacio de coordenadas complejas C ⁿ .
• De igual modo, si V consta de matrices m × n con entradas reales, V ^C constaría de matrices m × n con entradas complejas.

El proceso de complejización mediante el paso de R a C fue abstraído por matemáticos del siglo XX, entre ellos Leonard Dickson . Se comienza utilizando la aplicación identidad x * = x como una involución trivial en R. A continuación, se utilizan dos copias de R para formar z = ( a, b ) con la conjugación compleja introducida como la involución z * = ( a , -b ) . Dos elementos w y z en el conjunto duplicado se multiplican por

${\displaystyle wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).}$

Finalmente, al conjunto duplicado se le da una norma N ( z ) = z* z . Al partir de R con la involución identidad, el conjunto duplicado es C con la norma a ² + b ² . Si se duplica C y se usa la conjugación ( a , b )* = ( a *, – b ), la construcción produce cuaterniones . Duplicar nuevamente produce octoniones , también llamados números de Cayley. Fue en este punto que Dickson, en 1919, contribuyó a descubrir la estructura algebraica .

El proceso también puede iniciarse con C y la involución trivial z * = z . La norma producida es simplemente z ² , a diferencia de la generación de C mediante la duplicación de R . Cuando se duplica este C se producen números bicomplejos , y al duplicarlo se producen bicuaterniones , y al duplicarlo de nuevo se obtienen bioctoniones . Cuando el álgebra base es asociativa, el álgebra producida por esta construcción de Cayley-Dickson se denomina álgebra de composición ya que se puede demostrar que tiene la propiedad

${\displaystyle N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.}$

El espacio vectorial complejizado V ^C tiene más estructura que un espacio vectorial complejo ordinario. Viene con un mapa de conjugación compleja canónica :

${\displaystyle \chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$

definido por

${\displaystyle \chi (v\otimes z)=v\otimes {\bar {z}}.}$

El mapa χ puede considerarse como un mapa lineal conjugado de V ^C a sí mismo o como un isomorfismo lineal complejo de V ^C a su conjugado complejo.${\displaystyle {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$.

Por el contrario, dado un espacio vectorial complejo W con una conjugación compleja χ , W es isomorfo como espacio vectorial complejo a la complejización V ^C del subespacio real.

${\displaystyle V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.}$

En otras palabras, todos los espacios vectoriales complejos con conjugación compleja son la complejización de un espacio vectorial real.

Por ejemplo, cuando W = C ⁿ con la conjugación compleja estándar

${\displaystyle \chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})}$

El subespacio invariante V es simplemente el subespacio real R ⁿ .

Dada una transformación lineal real f  : V → W entre dos espacios vectoriales reales, existe una transformación lineal compleja natural.

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }}$

dado por

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.}$

El mapa${\displaystyle f^{\mathbb {C} }}$Se denomina complejización de f . La complejización de transformaciones lineales satisface las siguientes propiedades.

• ${\displaystyle (\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}}$
• ${\displaystyle (f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R} }$

En el lenguaje de la teoría de categorías se dice que la complejización define un functor ( aditivo ) de la categoría de espacios vectoriales reales a la categoría de espacios vectoriales complejos.

La aplicación f → ^C conmuta con la conjugación y, por lo tanto, mapea el subespacio real de V → ^C al subespacio real de W → ^C (a través de la aplicación f ). Además, una aplicación lineal compleja g  : V → ^C → W → ^C es la complejización de una aplicación lineal real si y solo si conmuta con la conjugación.

Como ejemplo, consideremos una transformación lineal de R ⁿ a R ^m, pensada como una matriz m × n . La complejización de esa transformación es exactamente la misma matriz, pero ahora pensada como una aplicación lineal de C ⁿ a C ^m .

El dual de un espacio vectorial real V es el espacio V * de todas las aplicaciones lineales reales de V a R . La complejización de V * puede pensarse naturalmente como el espacio de todas las aplicaciones lineales reales de V a C (denotado Hom _R ( V , C ) ). Es decir, $${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).}$$

El isomorfismo viene dado por $${\displaystyle (\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}}$$ donde φ ₁ y φ ₂ son elementos de V * . La conjugación compleja viene dada entonces por la operación usual $${\displaystyle {\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}.}$$

Dada una aplicación lineal real φ  : V → C podemos extenderla por linealidad para obtener una aplicación lineal compleja φ  : V ^C → C . Es decir, $${\displaystyle \varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).}$$ Esta extensión da un isomorfismo de Hom _R ( V , C ) a Hom _C ( V ^C , C ) . Este último es simplemente el espacio dual complejo de V ^C , por lo que tenemos un isomorfismo natural : $${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.}$$

De manera más general, dados los espacios vectoriales reales V y W existe un isomorfismo natural. $${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} }).}$$

La complejización también conmuta con las operaciones de tomar productos tensoriales , potencias exteriores y potencias simétricas . Por ejemplo, si V y W son espacios vectoriales reales, existe un isomorfismo natural. $${\displaystyle (V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,.}$$ Nótese que el producto tensorial de la izquierda se toma sobre los números reales, mientras que el de la derecha se toma sobre los números complejos. Este mismo patrón se cumple en general. Por ejemplo, se tiene $${\displaystyle (\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).}$$ En todos los casos, los isomorfismos son los “obvios”.

• Extensión de escalares : proceso general
• Estructura compleja lineal
• Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

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