Conjugado complejo de un espacio vectorial

En matemáticas , el conjugado complejo de un espacio vectorial complejo${\displaystyle V\,}$es un espacio vectorial complejo${\displaystyle {\overline {V}}}$que tiene los mismos elementos y estructura de grupo aditivo que${\displaystyle V,}$pero cuya multiplicación escalar implica la conjugación de los escalares. En otras palabras, la multiplicación escalar de${\displaystyle {\overline {V}}}$Satisface $${\displaystyle \alpha \,*\,v={\,{\overline {\alpha }}\cdot \,v\,}}$$ dónde${\displaystyle *}$es la multiplicación escalar de${\displaystyle {\overline {V}}}$y${\displaystyle \cdot }$es la multiplicación escalar de${\displaystyle V.}$ La carta${\displaystyle v}$representa un vector en${\displaystyle V,}$${\displaystyle \alpha }$es un número complejo, y${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$denota el conjugado complejo de${\displaystyle \alpha .}$^{[ 1 ]}

Más concretamente, el espacio vectorial complejo conjugado es el mismo espacio vectorial real subyacente (mismo conjunto de puntos, misma suma de vectores y multiplicación escalar real) con la estructura lineal compleja conjugada.${\displaystyle J}$(diferente multiplicación por${\displaystyle i}$).

Si${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$son espacios vectoriales complejos, una función${\displaystyle f:V\to W}$es antilineal si $${\displaystyle f(v+w)=f(v)+f(w)\quad {\text{ y }}\quad f(\alpha v)={\overline {\alpha }}\,f(v)}$$ Con el uso del espacio vectorial conjugado${\displaystyle {\overline {V}}}$, un mapa antilineal${\displaystyle f:V\to W}$puede considerarse como un mapa lineal ordinario de tipo${\displaystyle {\overline {V}}\a W.}$La linealidad se comprueba observando: $${\displaystyle f(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\overline {\alpha }}}\cdot f(v)=\alpha \cdot f(v)}$$ Por el contrario, cualquier mapa lineal definido en${\displaystyle {\overline {V}}}$da lugar a un mapa antilineal en${\displaystyle V.}$

Este es el mismo principio subyacente que al definir el anillo opuesto de modo que un anillo derecho${\displaystyle R}$- el módulo puede considerarse como un elemento izquierdo${\displaystyle R^{op}}$-módulo, o el de una categoría opuesta de modo que un functor contravariante${\displaystyle C\to D}$puede considerarse como un functor ordinario de tipo${\displaystyle C^{op}\to D.}$

Un mapa lineal${\displaystyle f:V\to W\,}$da lugar a un mapa lineal correspondiente${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {V}}\to {\overline {W}}}$que tiene la misma acción que${\displaystyle f.}$Tenga en cuenta que${\displaystyle {\overline {f}}}$preserva la multiplicación escalar porque $${\displaystyle {\overline {f}}(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\alpha }}\cdot f(v)=\alpha *{\overline {f}}(v)}$$ Por lo tanto, conjugación compleja${\displaystyle V\mapsto {\overline {V}}}$y${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$definir un functor de la categoría de espacios vectoriales complejos a sí misma.

Si${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$son de dimensión finita y el mapa${\displaystyle f}$se describe mediante la matriz compleja${\displaystyle A}$con respecto a las bases${\displaystyle {\mathcal {B}}}$de${\displaystyle V}$y${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de${\displaystyle W,}$luego el mapa${\displaystyle {\overline {f}}}$se describe mediante el conjugado complejo de${\displaystyle A}$con respecto a las bases ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$de ${\displaystyle {\overline {V}}}$y${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}}$de${\displaystyle {\overline {W}}.}$

Los espacios vectoriales${\displaystyle V}$y${\displaystyle {\overline {V}}}$tienen la misma dimensión sobre los números complejos y, por lo tanto, son isomorfos como espacios vectoriales complejos. Sin embargo, no existe un isomorfismo natural de ${\displaystyle V}$a${\displaystyle {\overline {V}}.}$

El doble conjugado${\displaystyle {\overline {\overline {V}}}}$es idéntico a${\displaystyle V.}$

Dado un espacio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {H}}}$(ya sea de dimensión finita o infinita), su conjugado complejo${\displaystyle {\overline {\mathcal {H}}}}$es el mismo espacio vectorial que su espacio dual continuo${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }.}$ Existe una correspondencia antilineal biunívoca entre funcionales lineales continuos y vectores. En otras palabras, cualquier funcional lineal continuo en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es una multiplicación interna por algún vector fijo, y viceversa.

Por lo tanto, el conjugado complejo a un vector${\displaystyle v,}$particularmente en el caso de dimensión finita, puede denotarse como${\displaystyle v^{\dagger }}$(v-daga, un vector fila que es la transpuesta conjugada de un vector columna)${\displaystyle v}$). En mecánica cuántica , el conjugado de un vector ket  ${\displaystyle \,|\psi \rangle }$se denota como${\displaystyle \langle \psi |\,}$– un vector bra (véase la notación bra-ket ).

• Espacio antidual – Mapa aditivo homogéneo conjugado Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección 
• Estructura lineal compleja – Concepto matemático 
• Teorema de representación de Riesz : Teorema sobre el dual de un espacio de Hilbert. 
• haz conjugado

• Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez Spinorial . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3(Los espacios vectoriales conjugados complejos se tratan en la sección 3.3, página 26).