Base de cristal

Una base cristalina para una representación de un grupo cuántico en un${\displaystyle \mathbb {Q} (v)}$- el espacio vectorial no es una base de ese espacio vectorial sino más bien una${\displaystyle \mathbb {Q} }$-base de${\displaystyle L/vL}$dónde${\displaystyle L}$es un${\displaystyle \mathbb {Q} (v)}$-red en ese espacio vectorial. Las bases cristalinas aparecieron en el trabajo de Kashiwara ( 1990 ) y también en el trabajo de Lusztig ( 1990 ) . Pueden verse como especializaciones como  ${\displaystyle v\to 0}$de la base canónica definida por Lusztig ( 1990 ) . 

Como consecuencia de sus relaciones definitorias, el grupo cuántico${\displaystyle U_{q}(G)}$puede considerarse como un álgebra de Hopf sobre el campo de todas las funciones racionales de una indeterminada q sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$, denotado${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$.

Para raíz simple${\displaystyle \alpha _{i}}$y entero no negativo${\displaystyle n}$, definir

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{i}^{(0)}=f_{i}^{(0)}&=1\\e_{i}^{(n)}&={\frac {e_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\\[6pt]f_{i}^{(n)}&={\frac {f_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\end{aligned}}}$

En un módulo integrable${\displaystyle M}$y para el peso${\displaystyle \lambda }$, un vector${\displaystyle u\in M_{\lambda }}$(es decir, un vector)${\displaystyle u}$en${\displaystyle M}$con peso${\displaystyle \lambda }$) se puede descomponer de forma única en las sumas

${\displaystyle u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n)}v_{n},}$

dónde${\displaystyle u_{n}\in \ker(e_{i})\cap M_{\lambda +n\alpha _{i}}}$,${\displaystyle v_{n}\in \ker(f_{i})\cap M_{\lambda -n\alpha _{i}}}$,${\displaystyle u_{n}\neq 0}$solo si${\displaystyle n+{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}$, y${\displaystyle v_{n}\neq 0}$solo si${\displaystyle n-{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}$.

Aplicaciones lineales${\displaystyle {\tilde {e}}_{i},{\tilde {f}}_{i}:M\to M}$se puede definir en${\displaystyle M_{\lambda }}$por

${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}u=\sum _{n=1}^{\infty }f_{i}^{(n-1)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n+1)}v_{n},}$

${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n+1)}u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }e_{i}^{(n-1)}v_{n}.}$

Dejar${\displaystyle A}$sea ​​el dominio integral de todas las funciones racionales en${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$que son regulares en${\displaystyle q=0}$( es decir, una función racional)${\displaystyle f(q)}$es un elemento de${\displaystyle A}$si y solo si existen polinomios${\displaystyle g(q)}$y${\displaystyle h(q)}$en el anillo de polinomios${\displaystyle \mathbb {Q} [q]}$de tal manera que${\displaystyle h(0)\neq 0}$, y${\displaystyle f(q)=g(q)/h(q)}$).

Una base de cristal para${\displaystyle M}$es un par ordenado${\displaystyle (L,B)}$, de tal manera que

• ${\displaystyle L}$es gratis${\displaystyle A}$-submódulo de${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle M=\mathbb {Q} (q)\otimes _{A}L;}$
• ${\displaystyle B}$es un${\displaystyle \mathbb {Q} }$-base del espacio vectorial${\displaystyle L/qL}$encima${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$
• ${\displaystyle L=\oplus _{\lambda }L_{\lambda }}$y${\displaystyle B=\sqcup _{\lambda }B_{\lambda }}$, dónde${\displaystyle L_{\lambda }=L\cap M_{\lambda }}$y${\displaystyle B_{\lambda }=B\cap (L_{\lambda }/qL_{\lambda }),}$
• ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}L\subset L}$y${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}L\subset L{\text{ for all }}i,}$
• ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}B\subset B\cup \{0\}}$y${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}B\subset B\cup \{0\}{\text{ for all }}i,}$
• ${\displaystyle {\text{for all }}b\in B{\text{ and }}b'\in B,{\text{ and for all }}i,\quad {\tilde {e}}_{i}b=b'{\text{ if and only if }}{\tilde {f}}_{i}b'=b.}$

Para poner esto en un contexto más informal, las acciones de${\displaystyle e_{i}f_{i}}$y${\displaystyle f_{i}e_{i}}$son generalmente singulares en${\displaystyle q=0}$en un módulo integrable${\displaystyle M}$. Las aplicaciones lineales${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$y${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$en el módulo se introducen de manera que las acciones de${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}{\tilde {f}}_{i}}$y${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}{\tilde {e}}_{i}}$son regulares en${\displaystyle q=0}$en el módulo. Existe un${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$-base de vectores de peso${\displaystyle {\tilde {B}}}$para${\displaystyle M}$, respecto de las cuales las acciones de${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$y${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$son regulares en${\displaystyle q=0}$para todo i . El módulo queda entonces restringido a lo libre${\displaystyle A}$-módulo generado por la base y los vectores base, el${\displaystyle A}$-submódulo y las acciones de${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$y${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$son evaluados en${\displaystyle q=0}$. Además, la base puede elegirse de tal manera que en${\displaystyle q=0}$, para todos${\displaystyle i}$,${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$y${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$están representados por transposiciones mutuas y mapean vectores base a vectores base o a 0.

Una base cristalina puede representarse mediante un grafo dirigido con aristas etiquetadas. Cada vértice del grafo representa un elemento de la base cristalina.${\displaystyle \mathbb {Q} }$-base${\displaystyle B}$de${\displaystyle L/qL}$y una arista dirigida, etiquetada por i , y dirigida desde el vértice${\displaystyle v_{1}}$al vértice${\displaystyle v_{2}}$, representa que${\displaystyle b_{2}={\tilde {f}}_{i}b_{1}}$(y, equivalentemente, que${\displaystyle b_{1}={\tilde {e}}_{i}b_{2}}$), dónde${\displaystyle b_{1}}$es el elemento base representado por${\displaystyle v_{1}}$, y${\displaystyle b_{2}}$es el elemento base representado por${\displaystyle v_{2}}$. El gráfico determina completamente las acciones de${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$y${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$en${\displaystyle q=0}$. Si un módulo integrable tiene una base cristalina, entonces el módulo es irreducible si y solo si el grafo que representa la base cristalina es conexo (un grafo se llama "conexo" si el conjunto de vértices no se puede particionar en la unión de subconjuntos disjuntos no triviales).${\displaystyle V_{1}}$y${\displaystyle V_{2}}$de tal manera que no haya aristas que unan ningún vértice en${\displaystyle V_{1}}$a cualquier vértice en${\displaystyle V_{2}}$).

Para cualquier módulo integrable con una base cristalina, el espectro de pesos de la base cristalina es el mismo que el del módulo, y por lo tanto, el espectro de pesos de la base cristalina es el mismo que el del módulo correspondiente del álgebra de Kac-Moody apropiada . Las multiplicidades de los pesos en la base cristalina también son las mismas que sus multiplicidades en el módulo correspondiente del álgebra de Kac-Moody apropiada.

Según un teorema de Kashiwara, todo módulo integrable de peso máximo posee una base cristalina. De igual modo, todo módulo integrable de peso mínimo posee una base cristalina.

• Jantzen, Jens Carsten (1996), Lecciones sobre grupos cuánticos , Estudios de posgrado en matemáticas , vol.  6, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0478-0, MR 1359532 
• Kashiwara, Masaki (1990), "Cristalizando el q-análogo de las álgebras envolventes universales" , Communications in Mathematical Physics , 133 (2): 249–260 , Bibcode : 1990CMaPh.133..249K , doi : 10.1007/bf02097367 , ISSN 0010-3616 , MR 1090425 , S2CID 121695684   
• Lusztig, G. (1990), "Bases canónicas derivadas de álgebras envolventes cuantizadas", Journal of the American Mathematical Society , 3 (2): 447– 498, doi : 10.2307/1990961 , ISSN 0894-0347 , JSTOR 1990961 , MR 1035415   

• Base cristalina en el laboratorio n