Representación minúscula

En la teoría de la representación matemática , una representación minúscula de un álgebra o grupo de Lie semisimple es una representación irreducible tal que el grupo de Weyl actúa transitivamente sobre los pesos. Algunos autores excluyen la representación trivial . Una representación cuasi-minúscula (también llamada representación básica ) es una representación irreducible tal que todos los pesos no nulos se encuentran en la misma órbita bajo el grupo de Weyl; cada álgebra de Lie simple tiene una única representación cuasi-minúscula que no es minúscula, y la multiplicidad del peso nulo es el número de nodos cortos del diagrama de Dynkin. (El peso más alto de esa representación cuasi-minúscula es la raíz corta más alta, que en el caso de la unión simple es también la raíz larga más alta, lo que convierte a la representación cuasi-minúscula en la representación adjunta ).

Las representaciones minúsculas se indexan mediante la red de pesos módulo la red raíz , o equivalentemente mediante representaciones irreducibles del centro del grupo compacto simplemente conexo . Para las álgebras de Lie simples, las dimensiones de las representaciones minúsculas se dan de la siguiente manera.

• A _n ( ^{n +1} _k ) para 0  ≤ k ≤ n (potencias exteriores de la representación vectorial). Cuasi-minúsculo: n ² +2 n (adjunto)   
• B _n 1 (trivial), 2 ⁿ (espín). Cuasi-minúsculo: 2 n +1 (vector)
• C _n 1 (trivial), 2 n (vector). Cuasi-minúsculo: 2 n ² – n –1 si n >1
• D _n 1 (trivial), 2 n (vector), 2 ^{n − 1} (medio espín), 2 ^{n − 1} (medio espín). Cuasi-minúsculo: 2 n ² – n (adjunto)
• E ₆ 1, 27, 27. Cuasi-minúsculo: 78 (adjunto)
• E ₇ 1, 56. Cuasi-minúsculo: 133 (adjunto)
• E ₈ 1. Cuasi-minúsculo: 248 (adjunto)
• F ₄ 1. Casi minúsculo: 26
• G ₂ 1. Cuasi-minúsculo: 7

• Seshadri, CS (1978), "Geometría de la teoría G/PI de monomios estándar para representaciones minúsculas", CP Ramanujam—un homenaje , Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math., vol.  8, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp . 207–239