Representación trivial

En el campo matemático de la teoría de la representación , una representación trivial es una representación ( V , φ ) de un grupo G en la que todos los elementos de G actúan como la aplicación identidad de V . Una representación trivial de un álgebra asociativa o de Lie es una representación de álgebra ( de Lie ) para la cual todos los elementos del álgebra actúan como la aplicación lineal cero ( endomorfismo ) que envía cada elemento de V al vector cero .

Para cualquier grupo o álgebra de Lie, siempre existe una representación trivial irreducible sobre cualquier cuerpo , unidimensional y, por lo tanto, única salvo isomorfismo. Lo mismo ocurre con las álgebras asociativas, a menos que se restrinja la atención a las álgebras unitarias y las representaciones unitarias.

Aunque la representación trivial se construye de tal manera que sus propiedades parecen tautológicas, es un objeto fundamental de la teoría. Una subrepresentación es equivalente a una representación trivial, por ejemplo, si consta de vectores invariantes; de modo que la búsqueda de tales subrepresentaciones constituye el tema central de la teoría de invariantes .

El carácter trivial es aquel que toma el valor de uno para todos los elementos del grupo.

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol.  129. Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .  .