Representación algebraica

En álgebra abstracta , una representación de un álgebra asociativa es un módulo para dicha álgebra. Aquí, un álgebra asociativa es un anillo (no necesariamente unitario ) . Si el álgebra no es unitario, puede hacerse unitario de forma estándar (véase la página de functores adjuntos ); no existe una diferencia esencial entre los módulos para el anillo unitario resultante, en el que la identidad actúa mediante la aplicación identidad, y las representaciones del álgebra.

Ejemplos

Estructura compleja lineal

Uno de los ejemplos no triviales más sencillos es una estructura compleja lineal , que es una representación de los números complejos C , pensada como un álgebra asociativa sobre los números reales R. Esta álgebra se realiza concretamente como $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ lo que corresponde a $i 2 = -1$ . Entonces, una representación de C es un espacio vectorial real V , junto con una acción de C sobre V (una aplicación $\mathbb {C} \to \mathrm {End} (V)$ ). Concretamente, esto es solo una acción de $i$ , ya que esto genera el álgebra, y el operador que representa $a i$ (la imagen de $i$ en End( V )) se denota J para evitar confusiones con la matriz identidad I .

Álgebras polinómicas

Otra clase básica importante de ejemplos son las representaciones de álgebras de polinomios , las álgebras conmutativas libres; estas forman un objeto central de estudio en el álgebra conmutativa y su contraparte geométrica, la geometría algebraica . Una representación de un álgebra de polinomios en $k$ variables sobre el cuerpo K es concretamente un espacio vectorial K con $k$ operadores conmutativos, y a menudo se denota $K[T_{1},\dots ,T_{k}],$ es decir, la representación del álgebra abstracta $K[x_{1},\dots ,x_{k}]$ dónde $x_{i}\mapsto T_{i}.$

Un resultado básico sobre tales representaciones es que, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , las matrices representativas son simultáneamente triangularizables .

Incluso el caso de las representaciones del álgebra polinómica en una sola variable es de interés; esto se denota por $K[T]$ y se utiliza para comprender la estructura de un único operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita . Específicamente, al aplicar el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal a esta álgebra se obtienen como corolarios las diversas formas canónicas de matrices, como la forma canónica de Jordan .

En algunos enfoques de la geometría no conmutativa , el álgebra no conmutativa libre (polinomios en variables no conmutativas) desempeña un papel similar, pero el análisis es mucho más difícil.

Pesos

Los valores propios y los vectores propios pueden generalizarse a representaciones algebraicas.

La generalización de un valor propio de una representación algebraica es, en lugar de un único escalar, una representación unidimensional. $\lambda \colon A\to R$ (es decir, un homomorfismo de álgebra del álgebra a su anillo subyacente: un funcional lineal que también es multiplicativo). ^{[ nota 1 ]} Esto se conoce como peso , y el análogo de un vector propio y un espacio propio se denominan vector de peso y espacio de peso .

El caso del valor propio de un solo operador corresponde al álgebra $R[T],$ y un mapa de álgebras $R[T]\to R$ está determinado por qué escalar asigna el generador T. Un vector de peso para una representación algebraica es un vector tal que cualquier elemento del álgebra asigna este vector a un múltiplo de sí mismo: un submódulo unidimensional (subrepresentación). A medida que el emparejamiento $A\times M\to M$ es bilineal , "cuyo múltiplo" es un funcional A -lineal de A (una aplicación algebraica A → R ), a saber, el peso. En símbolos, un vector de peso es un vector $m\in M$ de tal manera que $am=\lambda (a)m$ para todos los elementos $a\in A,$ para algún funcional lineal $\lambda$ – tenga en cuenta que a la izquierda, la multiplicación es la acción algebraica, mientras que a la derecha, la multiplicación es la multiplicación escalar.

Debido a que un peso es una aplicación a un anillo conmutativo , la aplicación se factoriza mediante la abelianización del álgebra. ${\mathcal {A}}$ – equivalentemente, se desvanece en el álgebra derivada – en términos de matrices, si $v$ es un vector propio común de operadores $T$ y $U$ , entonces $TUv=UTv$ (porque en ambos casos se trata simplemente de una multiplicación por escalares), por lo que los autovectores comunes de un álgebra deben estar en el conjunto sobre el cual el álgebra actúa conmutativamente (que es aniquilado por el álgebra derivada). Por lo tanto, de interés central son las álgebras conmutativas libres, a saber, las álgebras de polinomios . En este caso particularmente simple e importante del álgebra de polinomios $\mathbf {F} [T_{1},\dots ,T_{k}]$ En un conjunto de matrices conmutativas, un vector de peso de esta álgebra es un vector propio simultáneo de las matrices, mientras que un peso de esta álgebra es simplemente un $k$ -tupla de escalares $\lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ correspondiente al valor propio de cada matriz y, por lo tanto, geométricamente a un punto en $k$ -espacio. Estos pesos, en particular su geometría, son de vital importancia para comprender la teoría de representación de las álgebras de Lie , específicamente las representaciones de dimensión finita de las álgebras de Lie semisimples .

Como aplicación de esta geometría, dada una álgebra que es un cociente de un álgebra polinómica en $k$ generadores, se corresponde geométricamente con una variedad algebraica en $k$ espacio de -dimensiones, y el peso debe recaer en la variedad, es decir, satisface las ecuaciones que la definen. Esto generaliza el hecho de que los autovalores satisfacen el polinomio característico de una matriz en una variable.

Véase también

Notas

↑ Nótese que, para un cuerpo, el álgebra de endomorfismos de un espacio vectorial unidimensional (una línea) es canónicamente igual al cuerpo subyacente: End( L ) = K , puesto que todos los endomorfismos son multiplicaciones escalares; por lo tanto, no hay pérdida al restringirse a aplicaciones concretas al cuerpo base, en lugar de a representaciones abstractas unidimensionales . Para anillos también existen aplicaciones a anillos cociente , que no necesitan factorizarse mediante aplicaciones al anillo mismo, pero de nuevono se necesitan módulos abstractos unidimensionales .

Referencias

Richard S. Pierce (1982) Álgebras asociativas , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 88, Springer-Verlag ISBN 978-0-387-90693-5

[1] Nótese que, para un cuerpo, el álgebra de endomorfismos de un espacio vectorial unidimensional (una línea) es canónicamente igual al cuerpo subyacente: End( L ) = K , puesto que todos los endomorfismos son multiplicaciones escalares; por lo tanto, no hay pérdida al restringirse a aplicaciones concretas al cuerpo base, en lugar de a representaciones abstractas unidimensionales . Para anillos también existen aplicaciones a anillos cociente , que no necesitan factorizarse mediante aplicaciones al anillo mismo, pero de nuevono se necesitan módulos abstractos unidimensionales .

[ nota 1 ]