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Articulo de referencia

Teorema de densidad de Jacobson

En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos no conmutativos , álgebra moderna y teoría de módulos , el teorema de densidad de Jacobson es un teorema sobre módulos ...

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En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos no conmutativos , álgebra moderna y teoría de módulos , el teorema de densidad de Jacobson es un teorema sobre módulos simples sobre un anillo R. [ 1 ]

El teorema se puede aplicar para demostrar que cualquier anillo primitivo puede verse como un subanillo "denso" del anillo de transformaciones lineales de un espacio vectorial. [ 2 ] [ 3 ] Este teorema apareció por primera vez en la literatura en 1945, en el famoso artículo "Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions" de Nathan Jacobson . [ 4 ] Esto puede verse como una especie de generalización de la conclusión del teorema de Artin-Wedderburn sobre la estructura de los anillos artinianos simples .

Motivación y declaración formal

Sea R un anillo y sea U un R- módulo derecho simple . Si u es un elemento no nulo de U , u • R = U (donde u • R es el submódulo cíclico de U generado por u ). Por lo tanto, si u, v son elementos no nulos de U , existe un elemento de R que induce un endomorfismo de U que transforma u en v . La pregunta natural ahora es si esto se puede generalizar a tuplas arbitrarias (finitas) de elementos. Más precisamente, encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre la tupla ( x 1 , ..., x n ) y ( y 1 , ..., y n ) por separado, de modo que exista un elemento de R con la propiedad de que x i • r = y i para todo i . Si D es el conjunto de todos los endomorfismos de R-módulos de U , entonces el lema de Schur afirma que D es un anillo de división, y el teorema de densidad de Jacobson responde afirmativamente a la pregunta sobre tuplas, siempre que los x i sean linealmente independientes sobre D.

Teniendo en cuenta lo anterior, el teorema puede enunciarse de la siguiente manera:

El teorema de densidad de Jacobson. Sea U un R -módulo derecho simple , D = End( U R ) , y X ⊂ U un conjunto finito y D -linealmente independiente. Si A es una transformación D -lineal en U , entonces existe r ∈ R tal que A ( x ) = x • r para todo x en X . [ 5 ]

Prueba

En el teorema de densidad de Jacobson, el R -módulo derecho U se considera simultáneamente como un D -módulo izquierdo donde D = End( U R ) , de la manera natural: g • u = g ( u ) . Se puede verificar que esta es efectivamente una estructura de módulo izquierdo en U . [ 6 ] Como se señaló antes, el lema de Schur prueba que D es un anillo de división si U es simple, y por lo tanto U es un espacio vectorial sobre D .

La demostración también se basa en el siguiente teorema probado en ( Isaacs 1993 ) pág.  185:

Teorema. Sea U un R -módulo derecho simple , D = End( U R ) , y X ⊂ U un conjunto finito. Escribamos I = ann R ( X ) para el anulador de X en R . Sea u en U con u • I = 0 . Entonces u está en XD ; el D - generado de X .

Demostración del teorema de densidad de Jacobson

Usamos la inducción sobre | X | . Si X es vacío, entonces el teorema es trivialmente cierto y se verifica el caso base para la inducción.

Supongamos que X no es vacío, sea x un elemento de X y escribamos Y = X \{ x }. Si A es cualquier transformación D -lineal en U , por la hipótesis de inducción existe s ∈ R tal que A ( y ) = y • s para todo y en Y. Escribamos I = ann R ( Y ) . Es fácil ver que x • I es un submódulo de U . Si x • I = 0 , entonces el teorema anterior implica que x estaría en el D -span de Y , contradiciendo la independencia D -lineal de X , por lo tanto x • I ≠ 0 . Como U es simple, tenemos: x • I = U . Como A ( x ) − x • s ∈ U = x • I , existe i en I tal que x • i = A ( x ) − x • s .

Definimos r = s + i y observamos que para todo y en Y tenemos:

y⋅r=y⋅(s+i)=y⋅s+y⋅i=y⋅s(desde i∈AnaR(Y))=A(y){\displaystyle {\begin{aligned}y\cdot r&=y\cdot (s+i)\\&=y\cdot s+y\cdot i\\&=y\cdot s&&({\text{ya que }}i\in {\text{ann}}_{R}(Y))\\&=A(y)\end{aligned}}}

Ahora hacemos el mismo cálculo para x :

incógnita⋅r=incógnita⋅(s+i)=incógnita⋅s+incógnita⋅i=incógnita⋅s+(A(incógnita)−incógnita⋅s)=A(incógnita){\displaystyle {\begin{aligned}x\cdot r&=x\cdot (s+i)\\&=x\cdot s+x\cdot i\\&=x\cdot s+\left(A(x)-x\cdot s\right)\\&=A(x)\end{aligned}}}

Por lo tanto, A ( z ) = z • r para todo z en X , como se deseaba. Esto completa el paso inductivo de la demostración. Ahora, por inducción matemática, se deduce que el teorema es cierto para conjuntos finitos X de cualquier tamaño.

Caracterización topológica

Se dice que un anillo R actúa densamente sobre un R -módulo derecho simple U si satisface la conclusión del teorema de densidad de Jacobson. [ 7 ] Hay una razón topológica para describir R como "denso". En primer lugar, R puede identificarse con un subanillo de End( D U ) identificando cada elemento de R con la transformación lineal D que induce mediante la multiplicación derecha. Si a U se le da la topología discreta , y si a U U se le da la topología producto , y End( D U ) se considera un subespacio de U U y se le da la topología de subespacio , entonces R actúa densamente sobre U si y solo si R es un conjunto denso en End( D U ) con esta topología. [ 8 ]

Consecuencias

El teorema de densidad de Jacobson tiene varias consecuencias importantes en la teoría de la estructura de los anillos. [ 9 ] En particular, se recupera la conclusión del teorema de Artin-Wedderburn sobre la estructura de los anillos artinianos derechos simples . El teorema de densidad de Jacobson también caracteriza los anillos primitivos derechos o izquierdos como subanillos densos del anillo de transformaciones D -lineales en algún espacio vectorial D U , donde D es un anillo de división. [ 3 ]

Relación con otros resultados

Este resultado está relacionado con el teorema del bicommutante de Von Neumann , que establece que, para un *-álgebra A de operadores en un espacio de Hilbert H , el doble conmutante A′′ puede aproximarse mediante A en cualquier conjunto finito de vectores. En otras palabras, el doble conmutante es la clausura de A en la topología de operadores débiles . Véase también el teorema de densidad de Kaplansky en el contexto del álgebra de von Neumann.

Notas

  1. ↑ Isaacs, pág. 184
  2. ↑ Dichos anillos de transformaciones lineales también se conocen como anillos lineales completos .
  3. 1 2 Isaacs, Corolario 13.16, pág. 187
  4. ↑ Jacobson, Nathan "Teoría estructural de anillos simples sin supuestos de finitud"
  5. ↑ Isaacs, Teorema 13.14, pág. 185
  6. ↑ Por cierto, también es unaestructura de bimódulo D - R.
  7. ^ Herstein, Definición, pág. 40
  8. ↑ Resulta que esta topología es la misma que la topología compacta-abierta en este caso. Herstein, pág. 41, utiliza esta descripción.
  9. ↑ Herstein, pág. 41

Referencias

  • En Herstein (1968). Anillos no conmutativos (1.ª  ed.). The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-015-X.
  • Isaacs, I. Martin (1993). Álgebra, un curso de posgrado (1.ª  ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-19002-2.
  • Jacobson, N. (1945), "Teoría de la estructura de anillos simples sin supuestos de finitud", Trans. Amer. Math. Soc. , 57 (2): 228– 245, doi : 10.1090/s0002-9947-1945-0011680-8 , ISSN 0002-9947 , MR 0011680  
  • Richard S. Pierce (1982) Álgebras asociativas , § 12.2 El teorema de la densidad, página 220, Textos de posgrado en matemáticas n.° 88
  • Anillo denso de transformaciones lineales en PlanetMath .