Módulo simple

En matemáticas , específicamente en teoría de anillos , los módulos simples sobre un anillo R son los módulos (izquierdos o derechos) sobre R que no son nulos y no tienen submódulos propios no nulos . De forma equivalente, un módulo M es simple si y solo si todo submódulo cíclico generado por un elemento no nulo de M es igual a M. Los módulos simples constituyen los bloques de construcción de los módulos de longitud finita y son análogos a los grupos simples en teoría de grupos .

En este artículo, se asumirá que todos los módulos son módulos unitarios derechos sobre un anillo R.

Los Z -módulos son lo mismo que los grupos abelianos , por lo que un Z -módulo simple es un grupo abeliano que no tiene subgrupos propios distintos de cero. Estos son los grupos cíclicos de orden primo .

Si I es un ideal derecho de R , entonces I es simple como módulo derecho si y solo si I es un ideal derecho no nulo minimal : Si M es un submódulo propio no nulo de I , entonces también es un ideal derecho, por lo que I no es minimal. Recíprocamente , si I no es minimal, entonces existe un ideal derecho no nulo J contenido propiamente en I. J es un submódulo derecho de I , por lo que I no es simple.

Si I es un ideal derecho de R , entonces el módulo cociente R / I es simple si y solo si I es un ideal derecho maximal : Si M es un submódulo propio no nulo de R / I , entonces la preimagen de M bajo la aplicación cociente R → R / I es un ideal derecho que no es igual a R y que contiene propiamente a I. Por lo tanto, I no es maximal. Recíprocamente, si I no es maximal, entonces existe un ideal derecho J que contiene propiamente a I. La aplicación cociente R / I → R / J tiene un núcleo no nulo que no es igual a R / I , y por lo tanto R / I no es simple.

Todo R -módulo simple es isomorfo a un cociente R / m donde m es un ideal derecho maximal de R. ^{[ 1 ]} Según el párrafo anterior, cualquier cociente R / m es un módulo simple. Recíprocamente, supongamos que M es un R -módulo simple. Entonces, para cualquier elemento no nulo x de M , el submódulo cíclico xR debe ser igual a M. Fijemos tal x . La afirmación de que xR = M es equivalente a la sobreyectividad del homomorfismo R → M que envía r a xr . El núcleo de este homomorfismo es un ideal derecho I de R , y un teorema estándar establece que M es isomorfo a R / I. Según el párrafo anterior, encontramos que I es un ideal derecho maximal. Por lo tanto, M es isomorfo a un cociente de R por un ideal derecho maximal.

Si k es un cuerpo y G es un grupo , entonces una representación de grupo de G es un módulo izquierdo sobre el anillo de grupo k [ G ] (para más detalles, véase la página principal sobre esta relación ). ^{[ 2 ]} Los k [ G ]-módulos simples también se conocen como representaciones irreducibles . Un objetivo principal de la teoría de la representación es comprender las representaciones irreducibles de grupos.

Los módulos simples son precisamente los módulos de longitud 1; esta es una reformulación de la definición.

Todo módulo simple es indescomponible , pero lo contrario generalmente no es cierto.

Cada módulo simple es cíclico , es decir, se genera a partir de un solo elemento.

No todos los módulos tienen un submódulo simple; considérese, por ejemplo, el módulo Z a la luz del primer ejemplo anterior.

Sean M y N módulos (izquierdo o derecho) sobre el mismo anillo, y sea f  : M → N un homomorfismo de módulos. Si M es simple, entonces f es el homomorfismo cero o inyectivo porque el núcleo de f es un submódulo de M. Si N es simple, entonces f es el homomorfismo cero o sobreyectivo porque la imagen de f es un submódulo de N. Si M = N , entonces f es un endomorfismo de M , y si M es simple, entonces las dos afirmaciones anteriores implican que f es el homomorfismo cero o un isomorfismo. Por consiguiente, el anillo de endomorfismos de cualquier módulo simple es un anillo de división . Este resultado se conoce como el lema de Schur .

El recíproco del lema de Schur no es cierto en general. Por ejemplo, el Z -módulo Q no es simple, pero su anillo de endomorfismos es isomorfo al cuerpo Q.

Si M es un módulo que tiene un submódulo propio no nulo N , entonces existe una secuencia exacta corta.

${\displaystyle 0\to N\to M\to M/N\to 0.}$

Un método común para demostrar un hecho sobre M consiste en mostrar que el hecho es cierto para el término central de una sucesión exacta corta cuando es cierto para los términos izquierdo y derecho, y luego demostrar el hecho para N y M / N . Si N tiene un submódulo propio distinto de cero, este proceso puede repetirse. Esto produce una cadena de submódulos.

${\displaystyle \cdots \subset M_{2}\subset M_{1}\subset M.}$

Para demostrar el hecho de esta manera, se necesitan condiciones sobre esta secuencia y sobre los módulos M _i / M _{i +1} . Una condición particularmente útil es que la longitud de la secuencia sea finita y cada módulo cociente M _i / M _{i +1} sea simple. En este caso, la secuencia se llama serie de composición para M . Para demostrar una afirmación inductivamente usando series de composición, la afirmación se demuestra primero para módulos simples, que forman el caso base de la inducción, y luego se demuestra que la afirmación sigue siendo verdadera bajo una extensión de un módulo por un módulo simple. Por ejemplo, el lema de Fitting muestra que el anillo de endomorfismos de un módulo indescomponible de longitud finita es un anillo local , de modo que se cumple el teorema fuerte de Krull-Schmidt y la categoría de módulos de longitud finita es una categoría de Krull-Schmidt .

El teorema de Jordan-Hölder y el teorema de refinamiento de Schreier describen las relaciones entre todas las series de composición de un solo módulo. El grupo de Grothendieck ignora el orden en una serie de composición y considera cada módulo de longitud finita como una suma formal de módulos simples. Sobre anillos semisimples , esto no supone ninguna pérdida, ya que cada módulo es un módulo semisimple y, por lo tanto , una suma directa de módulos simples. La teoría de caracteres ordinaria proporciona un mejor control aritmético y utiliza módulos simples C G para comprender la estructura de los grupos finitos G. La teoría de representación modular utiliza caracteres de Brauer para considerar los módulos como sumas formales de módulos simples, pero también se interesa en cómo se unen esos módulos simples dentro de las series de composición. Esto se formaliza estudiando el functor Ext y describiendo la categoría de módulos de varias maneras, incluyendo carcajes (cuyos nodos son los módulos simples y cuyas aristas son series de composición de módulos no semisimples de longitud 2) y la teoría de Auslander-Reiten, donde el grafo asociado tiene un vértice para cada módulo indescomponible.

Un avance importante en la teoría de módulos simples fue el teorema de densidad de Jacobson . El teorema de densidad de Jacobson establece:

Sea U un R -módulo derecho simple y sea D = End _R ( U ). Sea A cualquier operador D -lineal en U y sea X un subconjunto finito D -linealmente independiente de U. Entonces existe un elemento r de R tal que x ⋅ A = x ⋅ r para todo x en X . ^{[ 3 ]}

En particular, cualquier anillo primitivo puede verse como (es decir, isomorfo a) un anillo de operadores D -lineales en algún espacio D.

Una consecuencia del teorema de densidad de Jacobson es el teorema de Wedderburn; es decir, que cualquier anillo simple artiniano derecho es isomorfo a un anillo de matrices completo de matrices n x n sobre un anillo de división para algún n . Esto también puede establecerse como corolario del teorema de Artin-Wedderburn .

• Los módulos semisimples son módulos que se pueden escribir como una suma de submódulos simples.
• Ideal irreductible
• Representación irreducible