Anillo sencillo

En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas , un anillo simple es un anillo distinto de cero que no tiene ningún ideal bilateral además del ideal cero y él mismo. En particular, un anillo conmutativo es un anillo simple si y solo si es un cuerpo .

El centro de un anillo simple es necesariamente un cuerpo. De ello se deduce que un anillo simple es un álgebra asociativa sobre este cuerpo. Se denomina entonces álgebra simple sobre este cuerpo.

Varias referencias (por ejemplo, Lang (2002) o Bourbaki (2012)) requieren además que un anillo simple sea artiniano izquierdo o derecho (o equivalentemente semisimple ). Bajo dicha terminología, un anillo distinto de cero sin ideales bilaterales no triviales se denomina cuasi-simple .

Existen anillos que son simples como anillos pero no son un módulo simple sobre sí mismos: un anillo matricial completo sobre un cuerpo no tiene ningún ideal bilateral no trivial (ya que cualquier ideal de es de la forma con un ideal de ), pero tiene ideales izquierdos no triviales (por ejemplo, los conjuntos de matrices que tienen algunas columnas de cero fijo). $Estilo de visualización M_{n}(R)}$$Estilo de visualización M_{n}(I)}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización R}$

Un ejemplo inmediato de un anillo simple es un anillo de división , donde cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, por ejemplo, los cuaterniones . Además, para cualquier , el álgebra de matrices con entradas en un anillo de división es simple. ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n\veces n}$

Joseph Wedderburn demostró que si un anillo es un álgebra simple de dimensión finita sobre un cuerpo , es isomorfo a un álgebra matricial sobre algún álgebra de división sobre . En particular, los únicos anillos simples que son álgebras de dimensión finita sobre los números reales son anillos de matrices sobre los números reales, los números complejos o los cuaterniones . ${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización k}$

Wedderburn demostró estos resultados en 1907 en su tesis doctoral, On hypercomplex numbers , que apareció en Proceedings of the London Mathematical Society . Su tesis clasificó las álgebras simples y semisimples de dimensión finita sobre cuerpos. Las álgebras simples son bloques de construcción de álgebras semisimples: cualquier álgebra semisimple de dimensión finita es un producto cartesiano, en el sentido de álgebras, de álgebras simples de dimensión finita.

Hay que tener cuidado con la terminología: no todo anillo simple es un anillo semisimple , y no toda álgebra simple es un álgebra semisimple. Sin embargo, toda álgebra simple de dimensión finita es un álgebra semisimple, y todo anillo simple que sea artiniano por la izquierda o por la derecha es un anillo semisimple.

Un ejemplo de un anillo simple que no es semisimple es el álgebra de Weyl . El álgebra de Weyl también da un ejemplo de un álgebra simple que no es un álgebra matricial sobre un álgebra de división sobre su centro: el álgebra de Weyl es de dimensión infinita, por lo que el teorema de Wedderburn no se aplica.

El resultado de Wedderburn se generalizó posteriormente a los anillos semisimples en el teorema de Wedderburn-Artin : este dice que cada anillo semisimple es un producto finito de anillos matriciales sobre anillos de división. Como consecuencia de esta generalización, cada anillo simple que sea artiniano por la izquierda o por la derecha es un anillo matricial sobre un anillo de división.

Sea el campo de los números reales, el campo de los números complejos y los cuaterniones . ${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \mathbb {H}}$

• Un álgebra central simple (a veces llamada álgebra de Brauer) es un álgebra simple de dimensión finita sobre un campo cuyo centro es .${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización F}$
• Toda álgebra simple de dimensión finita sobre es isomorfa a un álgebra de matrices con entradas en , , o . Toda álgebra simple central sobre es isomorfa a un álgebra de matrices con entradas o . Estos resultados se desprenden del teorema de Frobenius .${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle n\veces n}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \mathbb {H}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle n\veces n}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {H}}$
• Toda álgebra simple de dimensión finita sobre es un álgebra simple central, y es isomorfa a un anillo de matrices sobre .${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$
• Toda álgebra central simple de dimensión finita sobre un campo finito es isomorfa a un anillo de matrices sobre ese campo.
• El álgebra de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial de dimensión infinita sobre un cuerpo es un anillo simple que no es un anillo semisimple . También es un álgebra simple sobre que no es un álgebra semisimple.${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización k}$

• Simple (álgebra)
• Álgebra simple (álgebra universal)

• Albert, AA (2003). Estructura de las álgebras . Publicaciones del Colloquium. Vol. 24. American Mathematical Society . p. 37. ISBN. 0-8218-1024-3.
• Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Cap. 8 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-35315-7
• Nicholson, William K. (1993). "Una breve demostración del teorema de Wedderburn-Artin" (PDF) . New Zealand J. Math . 22 : 83–86.
• Henderson, DW (1965). "Una breve demostración del teorema de Wedderburn". Amer. Math. Monthly . 72 : 385–386. doi :10.2307/2313499.
• Lam, Tsit-Yuen (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 978-0-387-95325-0, Sr.  1838439
• Lang, Serge (2002), Álgebra (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0387953854
• Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica II (2.ª ed.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5