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Módulo semisimple

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo semisimple o módulo completamente reducible es un tipo de módulo que ...

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En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo semisimple o módulo completamente reducible es un tipo de módulo que se puede comprender fácilmente a partir de sus partes. Un anillo que es un módulo semisimple sobre sí mismo se conoce como anillo semisimple artiniano . Algunos anillos importantes, como los anillos de grupo de grupos finitos sobre cuerpos de característica cero , son anillos semisimples. Un anillo artiniano se comprende inicialmente a través de su mayor cociente semisimple. La estructura de los anillos semisimples artinianos se comprende bien mediante el teorema de Artin-Wedderburn , que muestra estos anillos como productos directos finitos de anillos de matrices .

Para un análogo en teoría de grupos de la misma noción, véase Representación semisimple .

Definición

Se dice que un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) es semisimple (o completamente reducible ) si es la suma directa de submódulos simples (irreducibles).

Para un módulo M , lo siguiente es equivalente:

  1. M es semisimple; es decir, una suma directa de módulos irreducibles.
  2. M es la suma de sus submódulos irreducibles.
  3. Cada submódulo de M es un sumando directo : para cada submódulo N de M , existe un complemento P tal que M = N ⊕ P.

Para la demostración de las equivalencias, véase Representación semisimple §  Caracterizaciones equivalentes .

El ejemplo más básico de un módulo semisimple es un módulo sobre un cuerpo, es decir, un espacio vectorial . Por otro lado, el anillo Z de los enteros no es un módulo semisimple sobre sí mismo, ya que el submódulo 2Z no es un sumando directo.

Semisimple es más fuerte que completamente descomponible , que es una suma directa de submódulos indescomponibles .

Sea A un álgebra sobre un cuerpo K. Entonces , un módulo izquierdo M sobre A se dice que es absolutamente semisimple si, para cualquier extensión de cuerpo F de K , F ⊗ K M es un módulo semisimple sobre F ⊗ K A.

Propiedades

  • Si M es semisimple y N es un submódulo , entonces N y M / N también son semisimples.
  • La suma directa de (posiblemente infinitos) módulos semisimples es semisimple.
  • Un módulo M es finitamente generado y semisimple si y solo si es artiniano y su radical es cero.

Anillos de endomorfismo

Anillos semisimples

Se dice que un anillo es semisimple (izquierdo) si es semisimple como módulo izquierdo sobre sí mismo. [ 2 ] Sorprendentemente, un anillo semisimple izquierdo también es semisimple derecho y viceversa. Por lo tanto, la distinción izquierda/derecha es innecesaria, y se puede hablar de anillos semisimples sin ambigüedad.

Un anillo semisimple puede caracterizarse en términos de álgebra homológica : es decir, un anillo R es semisimple si y solo si cualquier sucesión exacta corta de R -módulos izquierdos (o derechos) escinde . Es decir, para una sucesión exacta corta

0→A→FB→gramodo→0{\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0}

Existe s  : C → B tal que la composición g ∘ s  : C → C es la identidad. La aplicación s se conoce como sección. De esto se deduce que

B≅A⊕do{\displaystyle B\cong A\oplus C}

o en términos más exactos

B≅F(A)⊕s(do).{\displaystyle B\cong f(A)\oplus s(C).}

En particular, cualquier módulo sobre un anillo semisimple es inyectivo y proyectivo . Dado que "proyectivo" implica " plano ", un anillo semisimple es un anillo regular de von Neumann .

Los anillos semisimples son de particular interés para los algebristas. Por ejemplo, si el anillo base R es semisimple, entonces todos los R -módulos serían automáticamente semisimples. Además, todo R -módulo simple (izquierdo) es isomorfo a un ideal izquierdo mínimo de R , es decir, R es un anillo de Kasch izquierdo .

Los anillos semisimples son artinianos y noetherianos . Según las propiedades anteriores, un anillo es semisimple si y solo si es artiniano y su radical de Jacobson es cero.

Si un anillo semisimple artiniano contiene un cuerpo como subanillo central , se le llama álgebra semisimple .

Ejemplos

Anillos sencillos

Cabe señalar que, a pesar de la terminología, no todos los anillos simples son semisimples . El problema radica en que el anillo puede ser "demasiado grande", es decir, no artiniano (izquierdo/derecho). De hecho, si R es un anillo simple con un ideal izquierdo/derecho mínimo, entonces R es semisimple.

Ejemplos clásicos de anillos simples, pero no semisimples, son las álgebras de Weyl , como el álgebra Q.

A=Q⟨incógnita,y⟩/⟨incógnitay−yincógnita−1⟩ ,{\displaystyle A=\mathbf {Q} {\langle x,y\rangle }/\langle xy-yx-1\rangle \ ,}

que es un dominio simple no conmutativo . Estos y muchos otros ejemplos interesantes se discuten con más detalle en varios textos de teoría de anillos no conmutativos, incluido el capítulo 3 del texto de Lam, en el que se describen como anillos simples no nartinianos. La teoría de módulos para las álgebras de Weyl está bien estudiada y difiere significativamente de la de los anillos semisimples.

Jacobson semisimple

Un anillo se denomina semisimple de Jacobson (o J-semisimple o semiprimitivo ) si la intersección de los ideales izquierdos máximos es cero, es decir, si el radical de Jacobson es cero. Todo anillo que es semisimple como módulo sobre sí mismo tiene radical de Jacobson cero, pero no todo anillo con radical de Jacobson cero es semisimple como módulo sobre sí mismo. Un anillo J-semisimple es semisimple si y solo si es un anillo artiniano ; por lo tanto, para evitar confusiones, a los anillos semisimples se les suele llamar anillos semisimples artinianos .

Por ejemplo, el anillo de los enteros, Z , es J-semisimple, pero no semisimple artiniano.

Véase también

Citas

  1. ↑ Lam 2001 , pág. 62
  2. ↑ Sengupta 2012 , pág. 125
  3. ↑ Bourbaki 2012 , pág. 133, VIII

Referencias