Anillo semiprimitivo

En álgebra , un anillo semiprimitivo , semisimple de Jacobson o semisimple de Jacobson es un anillo cuyo radical de Jacobson es cero . Este es un tipo de anillo más general que un semisimple , pero donde los módulos simples aún proporcionan suficiente información sobre el anillo. Anillos como el anillo de los enteros son semiprimitivos, y un anillo semiprimitivo artiniano es simplemente un semisimple . Los anillos semiprimitivos pueden entenderse como productos subdirectos (posiblemente infinitos) de anillos primitivos , que se describen mediante el teorema de densidad de Jacobson .

Un anillo se denomina semiprimitivo o semisimple de Jacobson si su radical de Jacobson es el ideal cero .

Un anillo es semiprimitivo si y solo si tiene un módulo izquierdo semisimple fiel . La propiedad de semiprimitividad es simétrica izquierda-derecha, por lo que un anillo es semiprimitivo si y solo si tiene un módulo derecho semisimple fiel.

Un anillo es semiprimitivo si y solo si es un producto subdirecto de anillos primitivos izquierdos.

Un anillo conmutativo es semiprimitivo si y solo si es un producto subdirecto de cuerpos , ( Lam 1995 , p. 137) . 

Un anillo artiniano izquierdo es semiprimitivo si y solo si es semisimple ( Lam 2001 , p. 54) . Dichos anillos a veces se denominan artinianos semisimples ( Kelarev 2002 , p. 13) .  

• El anillo de los números enteros es semiprimitivo, pero no semisimple.
• Todo anillo primitivo es semiprimitivo.
• El producto de dos cuerpos es semiprimitivo pero no primitivo.
• Todo anillo regular de von Neumann es semiprimitivo.

Jacobson definió un anillo como "semisimple" si y solo si es un producto subdirecto de anillos simples ( Jacobson 1989 , p. 203) . Sin embargo, esta es una noción más estricta, ya que el anillo de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión infinita numerable es semiprimitivo, pero no un producto subdirecto de anillos simples ( Lam 1995 , p. 42) .  

• Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica II (2.ª  ed.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
• Lam, Tsit-Yuen (1995), Ejercicios de teoría clásica de anillos , Libros de problemas de matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94317-6, MR 1323431 
• Lam, Tsit-Yuen (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0
• Kelarev, Andrei V. (2002), Construcciones y aplicaciones de anillos , World Scientific, ISBN 978-981-02-4745-4