Producto subdirecto

En matemáticas , especialmente en las áreas del álgebra abstracta conocida como álgebra universal , teoría de grupos , teoría de anillos y teoría de módulos , un subproducto directo es una subálgebra de un producto directo que depende completamente de todos sus factores, sin ser necesariamente el producto directo completo. Esta noción fue introducida por Birkhoff en 1944, generalizando el caso particular de Emmy Noether (y su resultado de descomposición) para anillos noetherianos, y ha demostrado ser una poderosa generalización de la noción de producto directo.

Un producto subdirecto es una subálgebra (en el sentido de álgebra universal ) A de un producto directo Π _i A _i tal que toda proyección inducida (la composición p _j s : A → A _j de una proyección p _j : Π _i A _i → A _j con la inclusión de subálgebra s : A → Π _i A _i ) es sobreyectiva .

Una representación directa ( subdirecta ) de un álgebra A es un producto directo (subdirecto) isomorfo a A.

Un álgebra se denomina irreducible subdirectamente si no puede representarse subdirectamente mediante álgebras más simples (formalmente, si en cualquier representación subdirecta una de las proyecciones es un isomorfismo). Los irreducibles subdirectos se relacionan con el producto subdirecto de álgebras aproximadamente como los números primos con la multiplicación de enteros.

Birkhoff (1944) demostró que toda álgebra cuyas operaciones son todas de aridad finita es isomorfa a un producto subdirecto de álgebras subdirectamente irreducibles.

• Todo grupo de permutaciones es un subproducto directo de sus restricciones a sus órbitas .
• Cualquier retículo distributivo L es subdirectamente representable como una subálgebra de una potencia directa del retículo distributivo de dos elementos. Esto puede interpretarse como una formulación algebraica de la representabilidad de L como un conjunto cerrado bajo las operaciones binarias de unión e intersección, mediante la interpretación de la potencia directa como un conjunto potencia. En el caso finito, dicha representación es directa (es decir, toda la potencia directa) si y solo si L es un retículo complementado , es decir, un álgebra booleana.
• Lo mismo se aplica a cualquier semirretículo cuando se sustituye "semirretículo" por "retículo distributivo" y "subsemirretículo" por "subretículo" en el ejemplo anterior. Es decir, todo semirretículo puede representarse como una potencia subdirecta del semirretículo de dos elementos.
• La cadena de números naturales junto con el infinito, como álgebra de Heyting , se puede representar subdirectamente como una subálgebra del producto directo de las álgebras de Heyting finitas linealmente ordenadas. La situación con otras álgebras de Heyting se trata con mayor detalle en el artículo sobre irreducibles subdirectos .
• El grupo de enteros bajo la suma se puede representar subdirectamente mediante cualquier familia (necesariamente infinita) de grupos cíclicos finitos arbitrariamente grandes . En esta representación, 0 es la secuencia de elementos identidad de los grupos representativos, 1 es una secuencia de generadores elegidos del grupo apropiado, y la suma y la negación de enteros son las operaciones de grupo correspondientes en cada grupo, aplicadas coordenada por coordenada. La representación es fiel (no hay dos enteros representados por la misma secuencia) debido al requisito de tamaño, y las proyecciones son sobre porque cada coordenada eventualmente agota su grupo.
• Todo espacio vectorial sobre un cuerpo dado se puede representar subdirectamente mediante el espacio unidimensional sobre ese cuerpo, y los espacios de dimensión finita se pueden representar directamente de esta manera. (Para los espacios vectoriales, al igual que para los grupos abelianos , el producto directo con un número finito de factores es sinónimo de la suma directa con un número finito de factores, por lo que el producto subdirecto y la suma subdirecta también son sinónimos para un número finito de factores).
• Los productos subdirectos se utilizan para representar muchos grupos perfectos pequeños en ( Holt & Plesken 1989 ) .
• Todo anillo noetheriano conmutativo reducido es un subproducto directo de dominios de integridad (sobre un cuerpo, esto corresponde a la descomposición de una variedad en sus componentes irreducibles ). Y, de forma más general, todo anillo noetheriano conmutativo es un subproducto directo de anillos cuyos únicos divisores de cero son nilpotentes . (Demostrado originalmente en la Sección 6 de Noether (1921)).
• Todo anillo reducido conmutativo es un producto subdirecto de cuerpos (Lema 2 de Birkhoff (1944)).

• Producto semidirecto , otro tipo de producto de grupo
• El lema de Goursat , que clasifica los productos subdirectos de dos grupos.
• Clasificación de productos subdirectos de grupos de 3 factores por Neuen y Schweitzer ^{[ 1 ]}

• Birkhoff, Garrett (1944), "Subdirect unions in universal algebra", Bulletin of the American Mathematical Society , 50 (10): 764–768 , doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08235-9 , ISSN 0002-9904 , MR 0010542  
• Holt, Derek F.; Plesken, W. (1989), Grupos perfectos , Monografías matemáticas de Oxford, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853559-1, MR 1025760 
• Noether, Emmy (1921), "Idealtheorie in Ringbereichen", Math. Ann. , 83 : 24– 66, doi : 10.1007/BF01464225
• Berlyne, Daniel (2014), Teoría de ideales en anillos (Traducción de "Idealtheorie in Ringbereichen" de Emmy Noether) , arXiv : 1401.2577