Hispanopedia WikiEn la rama del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un anillo primitivo izquierdo es un anillo que posee un módulo izquierdo simple fiel . Ejemplos bien conocidos incluyen los anillos de endomorfismos de espacios vectoriales y las álgebras de Weyl sobre cuerpos de característica cero.
Definición
Se dice que un anillo R es un anillo primitivo izquierdo si tiene un R -módulo izquierdo simple y fiel . Un anillo primitivo derecho se define de manera similar con R -módulos derechos. Hay anillos que son primitivos por un lado pero no por el otro. El primer ejemplo fue construido por George M. Bergman en ( Bergman 1964 ) . Otro ejemplo hallado por Jategaonkar que muestra la distinción se puede encontrar en Rowen (1988 , p. 159) .
Una caracterización interna de los anillos primitivos izquierdos es la siguiente: un anillo es primitivo izquierdo si y solo si existe un ideal izquierdo maximal que no contiene ideales bilaterales distintos de cero . La definición análoga para los anillos primitivos derechos también es válida.
La estructura de los anillos primitivos izquierdos está completamente determinada por el teorema de densidad de Jacobson : Un anillo es primitivo izquierdo si y solo si es isomorfo a un subanillo denso del anillo de endomorfismos de un espacio vectorial izquierdo sobre un anillo de división .
Otra definición equivalente establece que un anillo es primitivo por la izquierda si y solo si es un anillo primo con un módulo izquierdo fiel de longitud finita ( Lam 2001 , Ej. 11.19, p. 191 ).
Propiedades
Los anillos primitivos unilaterales son a la vez anillos semiprimitivos y anillos primos . Dado que el anillo producto de dos o más anillos distintos de cero no es primo, es evidente que el producto de anillos primitivos nunca es primitivo.
Para un anillo artiniano izquierdo , se sabe que las condiciones "primitivo izquierdo", "primitivo derecho", "primo" y " simple " son todas equivalentes, y en este caso es un anillo semisimple isomorfo a un anillo de matriz cuadrada sobre un anillo de división. De forma más general, en cualquier anillo con un ideal unilateral mínimo, "primitivo izquierdo" = "primitivo derecho" = "primo".
Un anillo conmutativo es primitivo por la izquierda si y solo si es un cuerpo .
El hecho de que se haya dejado en estado primitivo es una propiedad invariante de Morita .
Ejemplos
Todo anillo simple R con unidad es primitivo tanto por la izquierda como por la derecha. (Sin embargo, un anillo simple no unitario puede no ser primitivo). Esto se deduce del hecho de que R tiene un ideal izquierdo maximal M , y del hecho de que el módulo cociente R / M es un R -módulo izquierdo simple, y que su anulador es un ideal propio de dos lados en R. Dado que R es un anillo simple, este anulador es {0} y, por lo tanto, R / M es un R -módulo izquierdo fiel .
Las álgebras de Weyl sobre cuerpos de característica cero son primitivas y, dado que son dominios , son ejemplos sin ideales unilaterales mínimos.
Anillos lineales completos
Un caso especial de anillos primitivos es el de anillos lineales completos . Un anillo lineal completo izquierdo es el anillo de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial izquierdo de dimensión infinita sobre un anillo de división. (Un anillo lineal completo derecho difiere al usar un espacio vectorial derecho en su lugar). En símbolos,donde V es un espacio vectorial sobre un anillo de división D. Se sabe que R es un anillo lineal completo por la izquierda si y solo si R es regular de von Neumann , autoinyectivo por la izquierda con socle soc( R R ) ≠ {0}. [ 1 ] Mediante argumentos de álgebra lineal , se puede demostrar quees isomorfo al anillo de matrices finitas por filasdonde I es un conjunto de índices cuyo tamaño es la dimensión de V sobre D. De manera similar , los anillos lineales completos derechos pueden realizarse como matrices finitas por columna sobre D.
Utilizando esto, podemos ver que existen anillos primitivos izquierdos no simples. Según la caracterización de densidad de Jacobson, un anillo lineal completo izquierdo R siempre es primitivo izquierdo. Cuando dim D V es finito, R es un anillo de matrices cuadradas sobre D , pero cuando dim D V es infinito, el conjunto de transformaciones lineales de rango finito es un ideal propio de dos lados de R , y por lo tanto R no es simple.
Véase también
Referencias
- ↑ Goodearl 1991 , pág. 100.
- Bergman, GM (1964), "Un anillo primitivo por la derecha pero no por la izquierda", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 15 (3), Sociedad Matemática Americana: 473–475 , doi : 10.1090/S0002-9939-1964-0167497-4 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2034527 , MR 0167497 errata de la página 1000
- Goodearl, KR (1991), von Neumann regular rings (2.ª ed.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., pp. xviii+412, ISBN 0-89464-632-X, MR 1150975
- Lam, Tsit-Yuen (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 131 (2.ª ed.), Springer, ISBN 9781441986160, MR 1838439
- Rowen, Louis H. (1988), Teoría de anillos. Vol. I , Matemáticas Puras y Aplicadas, vol. 127, Boston, MA: Academic Press Inc., pp. xxiv+538, ISBN 0-12-599841-4, MR 0940245
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