Ideal primitivo

En matemáticas , específicamente en teoría de anillos , un ideal primitivo izquierdo es el anulador de un módulo izquierdo simple (distinto de cero) . Un ideal primitivo derecho se define de manera similar. Los ideales primitivos izquierdos y derechos son siempre ideales bilaterales.

Los ideales primitivos son primos . El cociente de un anillo por un ideal primitivo izquierdo es un anillo primitivo izquierdo . Para los anillos conmutativos, los ideales primitivos son maximales , por lo que todos los anillos primitivos conmutativos son cuerpos .

El espectro primitivo de un anillo es un análogo no conmutativo ^{[ nota 1 ]} del espectro primo de un anillo conmutativo.

Sea A un anillo y${\displaystyle \operatorname {Prim} (A)}$el conjunto de todos los ideales primitivos de A. Entonces existe una topología en${\displaystyle \operatorname {Prim} (A)}$, llamada topología de Jacobson , definida de modo que el cierre de un subconjunto T es el conjunto de ideales primitivos de A que contienen la intersección de elementos de T.

Ahora bien, supongamos que A es un álgebra asociativa sobre un cuerpo. Entonces, por definición, un ideal primitivo es el núcleo de una representación irreducible.${\displaystyle \pi }$de A y por lo tanto hay una sobreyección

${\displaystyle \pi \mapsto \ker \pi$ :{\widehat {A}}\to \operatorname {Prim} (A).}

Ejemplo: el espectro de un álgebra C* unitaria .

• Geometría algebraica no conmutativa §  Historia
• Mapeo de Dixmier

• Dixmier, Jacques (1996) [1974], Álgebras envolventes , Estudios de posgrado en matemáticas , vol.  11, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0560-2, MR 0498740 
• Isaacs, I. Martin (1994), Álgebra , Brooks/Cole Publishing Company , ISBN 0-534-19002-2

• "El espectro primitivo de un anillo unitario" . Stack Exchange . 7 de enero de 2011.