Anillo de matriz

En álgebra abstracta , un anillo de matrices es un conjunto de matrices con entradas en un anillo R que forman un anillo bajo la suma y la multiplicación de matrices . ^{[ 1 ]} El conjunto de todas las matrices n × n con entradas en R es un anillo de matrices denotado M _n ( R ) ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} (notaciones alternativas: Mat _n ( R ) ^{[ 3 ]} y R ^{n × n [ 6 ]} ). Algunos conjuntos de matrices infinitas forman anillos de matrices infinitos . Un subanillo de un anillo de matrices es también un anillo de matrices. Sobre un rng , se pueden formar anillos de matrices.

Cuando R es un anillo conmutativo, el anillo de matrices M _n ( R ) es un álgebra asociativa sobre R , y puede llamarse álgebra de matrices . En este contexto, si M es una matriz y r está en R , entonces la matriz rM es la matriz M con cada una de sus entradas multiplicada por r .

• El conjunto de todas las matrices cuadradas de n × n sobre R , denotado M _n ( R ). A esto se le llama a veces el "anillo completo de matrices de n × n ".
• El conjunto de todas las matrices triangulares superiores sobre R.
• El conjunto de todas las matrices triangulares inferiores sobre R.
• El conjunto de todas las matrices diagonales sobre R. Esta subálgebra de M _n ( R ) es isomorfa al producto directo de n copias de R.
• Para cualquier grupo de permutaciones G , el anillo de grupo${\displaystyle R[G]}$
• Para cualquier conjunto de índices I , el anillo de endomorfismos del R -módulo derecho${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$es isomorfo al anillo${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)}$de matrices de columnas finitas cuyas entradas están indexadas por I × I y cuyas columnas contienen cada una solo un número finito de entradas no nulas. El anillo de endomorfismos de M considerado como un R -módulo izquierdo es isomorfo al anillo${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)}$de matrices finitas por filas .
• Si R es un álgebra de Banach , entonces la condición de finitud de filas o columnas del punto anterior puede relajarse. Con la norma establecida, se pueden usar series absolutamente convergentes en lugar de sumas finitas. Por ejemplo, las matrices cuyas sumas de columnas son secuencias absolutamente convergentes forman un anillo. De forma análoga, por supuesto, las matrices cuyas sumas de filas son series absolutamente convergentes también forman un anillo. Esta idea puede usarse para representar operadores en espacios de Hilbert , por ejemplo.
• La intersección de los anillos de matrices finitas por filas y por columnas forma un anillo${\displaystyle \mathbb {RCFM} _ {I}(R)}$.
• Si R es conmutativo , entonces M _n ( R ) tiene una estructura de *-álgebra sobre R , donde la involución * en M _n ( R ) es transposición de matrices .
• Si A es un álgebra C* , entonces M _n ( A ) es otra álgebra C*. Si A no es unitaria, entonces M _n ( A ) tampoco lo es. Por el teorema de Gelfand-Naimark , existe un espacio de Hilbert H y un *-isomorfismo isométrico de A a una subálgebra cerrada en norma del álgebra B ( H ) de operadores continuos; esto identifica a M _n ( A ) con una subálgebra de B ( H ^{⊕ n} ). Para simplificar, supongamos además que H es separable y A${\displaystyle \subseteq }$B ( H ) es un álgebra C* unitaria, podemos descomponer A en un anillo de matrices sobre un álgebra C* más pequeña. Esto se puede hacer fijando una proyección p y, por lo tanto, su proyección ortogonal 1  − p ; se puede identificar A con ${\textstyle {\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}$donde la multiplicación de matrices funciona como se espera debido a la ortogonalidad de las proyecciones. Para identificar A con un anillo de matrices sobre un álgebra C*, requerimos que p y 1  − p tengan el mismo "rango"; más precisamente, necesitamos que p y 1 − p sean equivalentes de Murray-von Neumann, es decir, que exista una isometría parcial u tal que p = uu * y 1 − p = u * u . Esto se puede generalizar fácilmente a matrices de mayor tamaño.    
• Las álgebras de matrices complejas M _n ( C ) son, salvo isomorfismo, las únicas álgebras asociativas simples de dimensión finita sobre el cuerpo C de los números complejos . Antes de la invención de las álgebras de matrices, Hamilton introdujo en 1853 un anillo, cuyos elementos denominó biquaterniones ^{[ 7 ]} y que los autores modernos llamarían tensores en C ⊗ _R H , que posteriormente se demostró que era isomorfo a M ₂ ( C ). Una base de M ₂ ( C ) consiste en las cuatro unidades de matriz (matrices con un 1 y todas las demás entradas 0); otra base está dada por la matriz identidad y las tres matrices de Pauli .
• Un anillo de matrices sobre un cuerpo es un álgebra de Frobenius , cuya forma de Frobenius viene dada por la traza del producto: σ ( A , B ) = tr( AB ) .

• El anillo de matrices M _n ( R ) puede identificarse con el anillo de endomorfismos del R -módulo derecho libre de rango n ; es decir, M _n ( R ) ≅ End _R ( R ⁿ ) . La multiplicación de matrices corresponde a la composición de endomorfismos.
• El anillo M _n ( D ) sobre un anillo de división D es un anillo simple artiniano , un tipo especial de anillo semisimple . Los anillos${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(D)}$y${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(D)}$no son simples ni artinianos si el conjunto I es infinito, pero siguen siendo anillos lineales completos .
• El teorema de Artin-Wedderburn establece que todo anillo semisimple es isomorfo a un producto directo finito.${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$, para algún entero no negativo r , enteros positivos n _i y anillos de división D _i .
• Cuando consideramos M _n ( C ) como el anillo de endomorfismos lineales de C ⁿ , aquellas matrices que se anulan en un subespacio V dado forman un ideal izquierdo . Recíprocamente, para un ideal izquierdo I dado de M _n ( C ), la intersección de los espacios nulos de todas las matrices en I da un subespacio de C ⁿ . Bajo esta construcción, los ideales izquierdos de M _n ( C ) están en biyección con los subespacios de C ⁿ .
• Existe una biyección entre los ideales bilaterales de M _n ( R ) y los ideales bilaterales de R . Es decir, para cada ideal I de R , el conjunto de todas las matrices n × n con entradas en I es un ideal de M _n ( R ), y cada ideal de M _n ( R ) surge de esta manera. Esto implica que M _n ( R ) es simple si y solo si R es simple. Para n ≥ 2 , no todo ideal izquierdo o derecho de M _n ( R ) surge por la construcción anterior de un ideal izquierdo o derecho en R . Por ejemplo, el conjunto de matrices cuyas columnas con índices del 2 al n son todas cero forma un ideal izquierdo en M _n ( R ).
• La correspondencia ideal anterior surge del hecho de que los anillos R y M _n ( R ) son Morita equivalentes . En términos generales, esto significa que la categoría de R -módulos izquierdos y la categoría de M _n ( R )-módulos izquierdos son muy similares. Debido a esto, existe una correspondencia biyectiva natural entre las clases de isomorfismo de R- módulos izquierdos y M _n ( R )-módulos izquierdos, y entre las clases de isomorfismo de ideales izquierdos de R e ideales izquierdos de M _n ( R ). Se cumplen afirmaciones idénticas para módulos derechos e ideales derechos. Mediante la equivalencia de Morita, M _n ( R ) hereda cualquier propiedad Morita-invariante de R , como ser simple , artiniano , noetheriano y primo .

• Si S es un subanillo de R , entonces M _n ( S ) es un subanillo de M _n ( R ). Por ejemplo, M _n ( Z ) es un subanillo de M _n ( Q ).
• El anillo de matrices M _n ( R ) es conmutativo si y solo si n = 0 , R = 0 , o R es conmutativo y n = 1. De hecho, esto también es cierto para el subanillo de matrices triangulares superiores. He aquí un ejemplo que muestra dos matrices triangulares superiores de 2 × 2 que no conmutan, suponiendo que 1 ≠ 0 en R :

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

  y

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• Para n ≥ 2 , el anillo de matrices M _n ( R ) sobre un anillo no nulo tiene divisores de cero y elementos nilpotentes ; lo mismo ocurre con el anillo de matrices triangulares superiores. Un ejemplo en matrices de 2 × 2 sería

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• El centro de M _n ( R ) consiste en los múltiplos escalares de la matriz identidad , I _n , en los que el escalar pertenece al centro de R .
• El grupo unitario de M _n ( R ), que consta de las matrices invertibles bajo la multiplicación, se denota GL _n ( R ).
• Si F es un cuerpo, entonces para cualesquiera dos matrices A y B en M _n ( F ), la igualdad AB = I _n implica BA = I _n . Sin embargo, esto no es cierto para todo anillo R. Un anillo R cuyos anillos de matrices tienen todos la propiedad mencionada se conoce como un anillo establemente finito ( Lam 1999 , p. 5 ) . 

De hecho, R solo necesita ser un semianillo para que M _n ( R ) esté definido. En este caso, M _n ( R ) es un semianillo, llamado semianillo matricial . De manera similar, si R es un semianillo conmutativo, entonces M _n ( R ) es unsemiálgebra matricial .

Por ejemplo, si R es el semianillo booleano (el álgebra booleana de dos elementos R = {0, 1} con 1 + 1 = 1 ), ^{[ 8 ]} entonces M _n ( R ) es el semianillo de relaciones binarias en un conjunto de n elementos con la unión como suma, la composición de relaciones como multiplicación, la relación vacía ( matriz cero ) como el cero y la relación identidad ( matriz identidad ) como la unidad . ^{[ 9 ]}

• Álgebra simple central
• álgebra de Clifford
• Teorema de Hurwitz (álgebras de división normadas)
• Anillo de matriz genérico
• Ley de inercia de Sylvester