Anillo de primo

En álgebra abstracta , un anillo no nulo R es un anillo primo si para cualesquiera dos elementos a y b de R , arb = 0 para todo r en R implica que o bien a = 0 o bien b = 0. Esta definición puede considerarse una generalización simultánea tanto de los dominios de integridad como de los anillos simples .

Aunque este artículo trata la definición anterior, el anillo primo también puede referirse al subanillo mínimo no nulo de un cuerpo , generado por su elemento identidad 1 y determinado por su característica . Para un cuerpo de característica 0, el anillo primo son los enteros , y para un cuerpo de característica p (donde p es un número primo ), el anillo primo es el cuerpo finito de orden p (véase Cuerpo primo ). ^{[ 1 ]}

Un anillo R es primo si y solo si el ideal cero {0} es un ideal primo en el sentido no conmutativo .

En consecuencia, las condiciones equivalentes para ideales primos dan como resultado las siguientes condiciones equivalentes para que R sea un anillo primo:

• Para cualesquiera dos ideales A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.
• Para cualesquiera dos ideales derechos A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.
• Para cualesquiera dos ideales izquierdos A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.

Utilizando estas condiciones, se puede comprobar que lo siguiente es equivalente a que R sea un anillo primo:

• Todos los ideales derechos no nulos son fieles como R -módulos derechos.
• Todos los ideales izquierdos no nulos son fieles como R -módulos izquierdos.

• Cualquier dominio es un anillo primo.
• Cualquier anillo simple es un anillo primo y, de forma más general, todo anillo primitivo, ya sea izquierdo o derecho, es un anillo primo.
• Cualquier anillo de matrices sobre un dominio de integridad es un anillo primo. En particular, el anillo de matrices enteras de 2 × 2 es un anillo primo.

• Un anillo conmutativo es un anillo primo si y solo si es un dominio de integridad .
• Un anillo no nulo es primo si y solo si el monoide de sus ideales carece de divisores de cero .
• El anillo de matrices sobre un anillo primo es de nuevo un anillo primo.

• Lam, Tsit-Yuen (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439