Unidad (teoría de anillos)

En álgebra , una unidad o elemento invertible ^{[ a ]} de un anillo es un elemento invertible para la multiplicación del anillo. Es decir, un elemento $u$ de un anillo $R$ es una unidad si existe $v$ en $R$ tal que $vu=uv=1,$ donde $1$ es la identidad multiplicativa ; el elemento $v$ es único para esta propiedad y se llama el inverso multiplicativo de $u$ . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} El conjunto de unidades de $R$ forma un grupo $R \times$ bajo la multiplicación, llamado grupo de unidades o grupo unitario de $R.$ ^{[ b ]} Otras notaciones para el grupo unitario son $R *$ , $U(R)$ y $E(R)$ (del término alemán Einheit ).

Con menos frecuencia, el término unidad se usa a veces para referirse al elemento $1$ del anillo, en expresiones como anillo con una unidad o anillo unitario , y también matriz unitaria . Debido a esta ambigüedad, $al 1$ se le suele llamar la "unidad" o la "identidad" del anillo, y las frases "anillo con unidad" o "un anillo con identidad" pueden usarse para enfatizar que se está considerando un anillo en lugar de un rng .

Ejemplos

La identidad multiplicativa $1$ y su inverso aditivo $-1$ son siempre unidades. De manera más general, cualquier raíz de la unidad en un anillo $R$ es una unidad: si $r n = 1$ , entonces $r n -1$ es un inverso multiplicativo de $r$ . En un anillo no nulo , el elemento 0 no es una unidad, por lo que $R \times$ no es cerrado bajo la suma. Un anillo no nulo $R$ en el que cada elemento no nulo es una unidad (es decir, $R \times = R ∖ {0}$ ) se llama anillo de división (o cuerpo sesgado). Un anillo de división conmutativo se llama cuerpo . Por ejemplo, el grupo de unidades del cuerpo de los números reales $R$ es $R ∖ {0}$ .

Anillo de enteros

En el anillo de enteros $Z$ , las únicas unidades son $1$ y $-1$ .

En el anillo $Z / n Z$ de enteros módulo $n$ , las unidades son las clases de congruencia $(mod n)$ representadas por enteros coprimos con $n$ . Constituyen el grupo multiplicativo de enteros módulo $n$ .

Anillo de enteros de un campo numérico

En el anillo $Z [\sqrt 3]$ obtenido al adjuntar el entero cuadrático $\sqrt 3$ a $Z$ , se tiene $(2 + \sqrt 3)(2 - \sqrt 3) = 1$ , por lo que $2 + \sqrt 3$ es una unidad, y también lo son sus potencias, por lo que $Z [\sqrt 3]$ tiene infinitas unidades.

De forma más general, para el anillo de enteros $R$ en un cuerpo numérico $F$ , el teorema de la unidad de Dirichlet establece que $R \times$ es isomorfo al grupo $\mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}$ dónde $\mu _{R}$ es el grupo (finito, cíclico) de raíces de la unidad en $R$ y $n$ , el rango del grupo unitario, es $n=r_{1}+r_{2}-1,$ dónde $r_{1},r_{2}$ son el número de incrustaciones reales y el número de pares de incrustaciones complejas de $F$ , respectivamente.

Esto recupera el ejemplo $Z [\sqrt 3]$ : El grupo unitario de (el anillo de enteros de) un cuerpo cuadrático real es infinito de rango 1, ya que $r_{1}=2,r_{2}=0$ .

Polinomios y series de potencias

Para un anillo conmutativo $R$ , las unidades del anillo de polinomios $R [x]$ son los polinomios $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$ de tal manera que $un 0$ es una unidad en $R$ y los coeficientes restantes $a_{1},\dots ,a_{n}$ son nilpotentes , es decir, satisfacen $a_{i}^{N}=0$ para algún $N.$ ^{[ 4 ]} En particular, si $R$ es un dominio (o más generalmente reducido ), entonces las unidades de $R [x]$ son las unidades de $R.$ Las unidades del anillo de la serie de potencias $R[[x]]$ son las series de potencia $p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$ ^de tal manera que $un 0$ es una unidad en $R.$ ^[⁵ ]

Anillos de matriz

El grupo unitario del anillo $M n (R)$ de matrices $n \times n$ sobre un anillo $R$ es el grupo $GL n (R)$ de matrices invertibles . Para un anillo conmutativo $R$ , un elemento $A$ de $M n (R)$ es invertible si y solo si el determinante de $A$ es invertible en $R$ . En ese caso, $A -1$ puede darse explícitamente en términos de la matriz adjugada .

En general

Para elementos $x$ $e$ y en un anillo $R$ , si $1-xy$ es invertible, entonces $1-yx$ es invertible con inversa $1+y(1-xy)^{-1}x$ ; ^{[ 6 ]} Esta fórmula puede intuirse, pero no demostrarse, mediante el siguiente cálculo en un anillo de series de potencias no conmutativas: $(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y{\biggl (}\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}{\biggr )}x=1+y(1-xy)^{-1}x.$ Consulte la identidad de Hua para obtener resultados similares.

Grupo de unidades

Un anillo conmutativo es un anillo local si $R ∖ R \times$ es un ideal maximal .

Resulta que si $R ∖ R \times$ es un ideal, entonces necesariamente es un ideal maximal y $R$ es local ya que un ideal maximal es disjunto de $R \times$ .

Si $R$ es un cuerpo finito , entonces $R \times$ es un grupo cíclico de orden $| R | - 1$ .

Todo homomorfismo de anillos $f : R \to S$ induce un homomorfismo de grupos $R \times \to S \times$ , ya que $f$ mapea unidades a unidades. De hecho, la formación del grupo de unidades define un functor de la categoría de anillos a la categoría de grupos . Este functor tiene un adjunto izquierdo que es la construcción de anillos de grupos integrales. ^{[ 7 ]}

El plan de grupo $\operatorname {GL} _{1}$ es isomorfo al esquema de grupo multiplicativo $\mathbb {G} _{m}$ sobre cualquier base, por lo que para cualquier anillo conmutativo $R$ , los grupos $\operatorname {GL} _{1}(R)$ y $\mathbb {G} _{m}(R)$ son canónicamente isomorfos a $U (R)$ . Nótese que el functor $\mathbb {G} _{m}$ (es decir, $R \mapsto U (R)$ ) es representable en el sentido de: $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ para anillos conmutativos $R$ (esto se deduce, por ejemplo, de la relación adjunta mencionada anteriormente con la construcción del anillo de grupo). Explícitamente, esto significa que existe una biyección natural entre el conjunto de homomorfismos de anillos. $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ y el conjunto de elementos unitarios de $R$ (en contraste, $\mathbb {Z} [t]$ representa el grupo aditivo $\mathbb {G} _{a}$ , el functor olvidadizo de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de grupos abelianos ).

Asociación

Supongamos que $R$ es conmutativo. Los elementos $r$ y $s$ de $R$ se llamanasociar si existe una unidad $u$ en $R$ tal que $r = us$ ; entonces escribir $r ~ s$ . En cualquier anillo, los pares deelementosinversos aditivos^{[ c ]} $x$ y $- x$ sonasociados, ya que cualquier anillo incluye la unidad $-1$ . Por ejemplo, 6 y −6 son asociados en $Z.$ En general, $~$ es unarelación deequivalenciaen $R.$

La asociación también puede describirse en términos de la acción de $R \times$ sobre $R$ mediante la multiplicación: Dos elementos de $R$ están asociados si están en la misma órbita $R \times$ - .

En un dominio integral , el conjunto de asociados de un elemento no nulo dado tiene la misma cardinalidad que $R \times$ .

La relación de equivalencia $~$ puede verse como cualquiera de las relaciones de semigrupo de Green especializadas al semigrupo multiplicativo de un anillo conmutativo $R.$

Véase también

Notas

↑ En el caso de los anillos, el uso de "elemento invertible" se toma como una referencia evidente a la multiplicación, ya que todos los elementos de un anillo son invertibles para la suma.
↑ La notación $R \times$ , introducida por André Weil , se usa comúnmente en teoría de números , donde aparecen con frecuencia grupos unitarios.^{[ 3 ]} El símbolo $\times$ recuerda que la operación de grupo es la multiplicación. Además, el superíndice × no se usa con frecuencia en otros contextos, mientras que el superíndice $*$ suele denotar dual.
↑ $x$ y $- x$ no son necesariamente distintos. Por ejemplo, en el anillo de enteros módulo 6, se tiene $3 = -3$ aunque $1 \neq -1$ .

Citas

↑ Dummit y Foote 2004
↑ Lang 2002
↑ Weil 1974
↑ Watkins 2007 , Teorema 11.1
↑ Watkins 2007 , Teorema 12.1
↑ Jacobson 2009 , §2.2 Ejercicio 4
↑ Cohn 2003 , §2.2 Ejercicio 10

Fuentes

Cohn, Paul M. (2003). Álgebra avanzada y aplicaciones (Edición revisada de Álgebra, 2.ª ed.). Londres: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001 .
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica 1 (2.ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
Watkins, John J. (2007), Temas en teoría de anillos conmutativos , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, MR 2330411
Weil, André (1974). Teoría básica de números . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 144 (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58655-5.

[1] En el caso de los anillos, el uso de "elemento invertible" se toma como una referencia evidente a la multiplicación, ya que todos los elementos de un anillo son invertibles para la suma.

[5] La notación $R \times$ , introducida por André Weil , se usa comúnmente en teoría de números , donde aparecen con frecuencia grupos unitarios.^{[ 3 ]} El símbolo $\times$ recuerda que la operación de grupo es la multiplicación. Además, el superíndice × no se usa con frecuencia en otros contextos, mientras que el superíndice $*$ suele denotar dual.

[10] $x$ y $- x$ no son necesariamente distintos. Por ejemplo, en el anillo de enteros módulo 6, se tiene $3 = -3$ aunque $1 \neq -1$ .

[FOOTNOTEDummitFoote2004-2] Dummit y Foote 2004

[FOOTNOTELang2002-3] Lang 2002

[FOOTNOTEWeil1974-4] Weil 1974

[FOOTNOTEWatkins2007Theorem_11.1-6] Watkins 2007 , Teorema 11.1

[FOOTNOTEWatkins2007Theorem_12.1-7] Watkins 2007 , Teorema 12.1

[FOOTNOTEJacobson2009§2.2_Exercise_4-8] Jacobson 2009 , §2.2 Ejercicio 4

[FOOTNOTECohn2003§2.2_Exercise_10-9] Cohn 2003 , §2.2 Ejercicio 10

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