Plan de grupo

En matemáticas , un esquema de grupo es un tipo de objeto de la geometría algebraica dotado de una ley de composición. Los esquemas de grupo surgen naturalmente como simetrías de esquemas y generalizan los grupos algebraicos , en el sentido de que todos los grupos algebraicos poseen una estructura de esquema de grupo, pero los esquemas de grupo no son necesariamente conexos , lisos ni definidos sobre un cuerpo. Esta generalidad adicional permite estudiar estructuras infinitesimales más ricas, lo que puede ayudar a comprender y responder cuestiones de relevancia aritmética. La categoría de esquemas de grupo se comporta mejor que la de variedades de grupo , ya que todos los homomorfismos tienen núcleos y existe una teoría de deformación bien definida . Los esquemas de grupo que no son grupos algebraicos desempeñan un papel importante en la geometría aritmética y la topología algebraica , puesto que aparecen en contextos de representaciones de Galois y problemas de módulos . El desarrollo inicial de la teoría de los esquemas de grupo se debe a Alexander Grothendieck , Michel Raynaud y Michel Demazure a principios de la década de 1960.

Un esquema de grupo es un objeto de grupo en una categoría de esquemas que tiene productos de fibra y algún objeto final S. Es decir, es un esquema S G equipado con uno de los conjuntos de datos equivalentes.

• una terna de morfismos μ: G × _S G → G , e: S → G , e ι: G → G , que satisfacen las compatibilidades usuales de los grupos (a saber, la asociatividad de μ, la identidad y los axiomas inversos)
• un functor de esquemas sobre S a la categoría de grupos , tal que la composición con el functor olvidadizo a conjuntos es equivalente al prefaisceato correspondiente a G bajo la incrustación de Yoneda . (Véase también: functor de grupo ).

Un homomorfismo de esquemas de grupo es una aplicación de esquemas que respeta la multiplicación. Esto se puede expresar con precisión diciendo que una aplicación f satisface la ecuación f μ = μ( f × f ), o bien diciendo que f es una transformación natural de functores de esquemas a grupos (en lugar de solo a conjuntos).

Una acción izquierda de un esquema de grupo G sobre un esquema X es un morfismo G × _S X → X que induce una acción izquierda del grupo G ( T ) sobre el conjunto X ( T ) para cualquier esquema S T . Las acciones derechas se definen de manera similar. Cualquier esquema de grupo admite acciones izquierdas y derechas naturales sobre su esquema subyacente mediante multiplicación y conjugación . La conjugación es una acción por automorfismos, es decir, conmuta con la estructura de grupo, e induce acciones lineales sobre objetos derivados naturalmente, como su álgebra de Lie y el álgebra de operadores diferenciales invariantes por la izquierda.

Un esquema de grupo S, G, es conmutativo si el grupo G ( T ) es un grupo abeliano para todos los esquemas S T . Existen otras condiciones equivalentes, como que la conjugación induzca una acción trivial o que la aplicación de inversión ι sea un automorfismo de esquema de grupo.

• Given a group G, one can form the constant group scheme G_S. As a scheme, it is a disjoint union of copies of S, and by choosing an identification of these copies with elements of G, one can define the multiplication, unit, and inverse maps by transport of structure. As a functor, it takes any S-scheme T to a product of copies of the group G, where the number of copies is equal to the number of connected components of T. G_S is affine over S if and only if G is a finite group. However, one can take a projective limit of finite constant group schemes to get profinite group schemes, which appear in the study of fundamental groups and Galois representations or in the theory of the fundamental group scheme, and these are affine of infinite type. More generally, by taking a locally constant sheaf of groups on S, one obtains a locally constant group scheme, for which monodromy on the base can induce non-trivial automorphisms on the fibers.
• The existence of fiber products of schemes allows one to make several constructions. Finite direct products of group schemes have a canonical group scheme structure. Given an action of one group scheme on another by automorphisms, one can form semidirect products by following the usual set-theoretic construction. Kernels of group scheme homomorphisms are group schemes, by taking a fiber product over the unit map from the base. Base change sends group schemes to group schemes.
• Group schemes can be formed from smaller group schemes by taking restriction of scalars with respect to some morphism of base schemes, although one needs finiteness conditions to be satisfied to ensure representability of the resulting functor. When this morphism is along a finite extension of fields, it is known as Weil restriction.
• Para cualquier grupo abeliano A , se puede formar el grupo diagonalizable correspondiente D ( A ), definido como un functor estableciendo D ( A )( T ) como el conjunto de homomorfismos de grupos abelianos de A a secciones globales invertibles de O _T para cada esquema S T. Si S es afín, D ( A ) se puede formar como el espectro de un anillo de grupo . De manera más general, se pueden formar grupos de tipo multiplicativo haciendo que A sea un haz no constante de grupos abelianos en S.
• Para un esquema de subgrupo H de un esquema de grupo G , el functor que transforma un esquema S T en G ( T )/ H ( T ) no es, en general, un haz, e incluso su fisiofacción no es, en general, representable como un esquema. Sin embargo, si H es finito, plano y cerrado en G , entonces el cociente es representable y admite una acción canónica izquierda de G mediante traslación. Si la restricción de esta acción a H es trivial, entonces se dice que H es normal y el esquema cociente admite una ley de grupo natural. La representabilidad se cumple en muchos otros casos, como cuando H es cerrado en G y ambos son afines. ^{[ 1 ]}

• El grupo multiplicativo G _m tiene como esquema subyacente la línea afín perforada y, como functor, envía un esquema S T al grupo multiplicativo de secciones globales invertibles del haz de estructura. Puede describirse como el grupo diagonalizable D ( Z ) asociado a los enteros. Sobre una base afín como Spec A , es el espectro del anillo A [ x , y ]/( xy − 1 ), que también se escribe A [ x , x ^{− 1} ]. El mapa de unidad se da enviando x a uno, la multiplicación se da enviando x a x ⊗ x , y la inversa se da enviando x a x ^{− 1} . Los toros algebraicos forman una clase importante de esquemas de grupo conmutativos, definidos ya sea por la propiedad de ser localmente en S un producto de copias de G _m , o como grupos de tipo multiplicativo asociados a grupos abelianos libres finitamente generados .  
• El grupo lineal general GL _n es una variedad algebraica afín que puede considerarse como el grupo multiplicativo de la variedad de anillos de matrices n x n . Como functor, envía un esquema S T al grupo de matrices invertibles n x n cuyas entradas son secciones globales de T. Sobre una base afín, se puede construir como un cociente de un anillo de polinomios en n ² + 1 variables mediante un ideal que codifica la invertibilidad del determinante. Alternativamente, se puede construir utilizando 2 n ² variables, con relaciones que describen un par ordenado de matrices mutuamente inversas.
• Para cualquier entero positivo n , el grupo μ _n de raíces n -ésimas de la unidad es el núcleo de la aplicación de potencia n -ésima de G _m en sí mismo. Como functor, envía cualquier esquema S T al grupo de secciones globales f de T tales que f ⁿ = 1. Sobre una base afín como Spec A , es el espectro de A [x]/( x ⁿ − 1). Si n no es invertible en la base, entonces este esquema no es suave. En particular, sobre un cuerpo de característica p , μ _p no es suave.
• El grupo aditivo G _a tiene como esquema subyacente la línea afín A ^1. Como functor, envía cualquier esquema S T al grupo aditivo subyacente de secciones globales del haz de estructura. Sobre una base afín como Spec A , es el espectro del anillo de polinomios A [ x ]. El mapa de unidad se da enviando x a cero, la multiplicación se da enviando x a 1  ⊗ x + x ⊗ 1, y la inversa se da enviando x a − x .      
• Si p = 0 en S para algún número primo p , entonces la toma de potencias p induce un endomorfismo de G _a , y el núcleo es el esquema de grupo α _p . Sobre una base afín como Spec A , es el espectro de A [x]/( x ^p ).
• El grupo de automorfismos de la línea afín (cf. grupo afín ) es isomorfo al producto semidirecto de G _a por G _m , donde el grupo aditivo actúa mediante traslaciones y el grupo multiplicativo actúa mediante dilataciones. El subgrupo que fija un punto base elegido es isomorfo al grupo multiplicativo, y tomando el punto base como la identidad de una estructura de grupo aditivo, G _m se identifica con el grupo de automorfismos de G _a .
• Una curva suave de género uno con un punto marcado (es decir, una curva elíptica ) tiene una estructura de esquema de grupo única con ese punto como identidad. A diferencia de los ejemplos anteriores de dimensión positiva, las curvas elípticas son proyectivas (en particular, propias ).

Supongamos que G es un esquema de grupo de tipo finito sobre un cuerpo ^k . Sea G₀ la componente conexa de la identidad, es decir, el esquema de subgrupo conexo maximal. Entonces G es una extensión de un esquema de grupo étale finito por G₀. G tiene un único subesquema reducido maximal ^G₁₋₁ , y _si k es perfecto , entonces G₁₋₁₋₁ es una variedad de grupo lisa que es un esquema de subgrupo de _G. El esquema cociente es el espectro de un anillo local de rango finito.

Cualquier esquema de grupo afín es el espectro de un álgebra de Hopf conmutativa (sobre una base S , esto viene dado por el espectro relativo de un álgebra O _S ). Las aplicaciones de multiplicación, unidad e inversa del esquema de grupo vienen dadas por las estructuras de comultiplicación, counidad y antípoda en el álgebra de Hopf. Las estructuras de unidad y multiplicación en el álgebra de Hopf son intrínsecas al esquema subyacente. Para un esquema de grupo arbitrario G , el anillo de secciones globales también tiene una estructura de álgebra de Hopf conmutativa, y al tomar su espectro, se obtiene el grupo cociente afín máximo. Las variedades de grupos afines se conocen como grupos algebraicos lineales , ya que pueden incrustarse como subgrupos de grupos lineales generales.

Los esquemas de grupo conexos completos son, en cierto sentido, opuestos a los esquemas de grupo afines, ya que la completitud implica que todas las secciones globales son exactamente aquellas extraídas de la base y, en particular, no tienen aplicaciones no triviales a esquemas afines. Cualquier variedad de grupo completa (variedad aquí significa esquema separado reducido y geométricamente irreducible de tipo finito sobre un cuerpo) es automáticamente conmutativa, mediante un argumento que involucra la acción de conjugación en espacios jet de la identidad. Las variedades de grupo completas se llaman variedades abelianas . Esto se generaliza a la noción de esquema abeliano; un esquema de grupo G sobre una base S es abeliano si el morfismo estructural de G a S es propio y liso con fibras geométricamente conexas. Son automáticamente proyectivos y tienen muchas aplicaciones, por ejemplo, en la teoría geométrica de cuerpos de clases y en toda la geometría algebraica. Sin embargo, un esquema de grupo completo sobre un cuerpo no tiene por qué ser conmutativo; por ejemplo, cualquier esquema de grupo finito es completo.

Un esquema de grupo G sobre un esquema noetheriano S es finito y plano si y solo si O _G es un módulo O _S localmente libre de rango finito. El rango es una función localmente constante en S y se denomina orden de G. El orden de un esquema de grupo constante es igual al orden del grupo correspondiente y, en general, el orden se comporta bien con respecto al cambio de base y la restricción plana finita de escalares . 

Entre los esquemas de grupos planos finitos, las constantes (véase el ejemplo anterior) forman una clase especial, y sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, la categoría de grupos finitos es equivalente a la categoría de esquemas de grupos finitos constantes. Sobre bases con característica positiva o estructura más aritmética, existen tipos de isomorfismo adicionales. Por ejemplo, si 2 es invertible sobre la base, todos los esquemas de grupo de orden 2 son constantes, pero sobre los enteros 2-ádicos , μ ₂ no es constante, porque la fibra especial no es lisa. Existen secuencias de anillos 2-ádicos altamente ramificados sobre los cuales el número de tipos de isomorfismo de esquemas de grupo de orden 2 crece arbitrariamente. Un análisis más detallado de los esquemas de grupos planos finitos conmutativos sobre anillos p -ádicos se puede encontrar en el trabajo de Raynaud sobre prolongaciones.

Los esquemas de grupos planos finitos conmutativos suelen aparecer en la naturaleza como esquemas de subgrupos de variedades abelianas y semiabelianas, y en característica positiva o mixta, pueden capturar mucha información sobre la variedad ambiente. Por ejemplo, la p -torsión de una curva elíptica en característica cero es localmente isomorfa al esquema de grupo abeliano elemental constante de orden _p² , pero sobre Fp , es un esquema de grupo plano finito de orden p² que tiene p ^componentes conexas (si la curva es ordinaria) o una componente conexa (si la curva es supersingular ). Si consideramos una familia de curvas elípticas, la p -torsión forma un esquema ^de grupo plano finito sobre el espacio parametrizador, y el lugar supersingular es donde las fibras están conexas. Esta fusión de componentes conexas puede estudiarse con detalle pasando de un esquema modular a un espacio analítico rígido , donde los puntos supersingulares se reemplazan por discos de radio positivo.

La dualidad de Cartier es un análogo en teoría de esquemas de la dualidad de Pontryagin que transforma esquemas de grupos conmutativos finitos en esquemas de grupos conmutativos finitos.

Los esquemas de grupo conmutativos planos finitos sobre un cuerpo perfecto k de característica positiva p pueden estudiarse transfiriendo su estructura geométrica a un entorno (semi)lineal-algebraico. El objeto básico es el anillo de Dieudonné D = W ( k ){ F , V }/( FV − p ), que es un cociente del anillo de polinomios no conmutativos, con coeficientes en vectores de Witt de k . F y V son los operadores de Frobenius y Verschiebung , y pueden actuar de forma no trivial sobre los vectores de Witt. Dieudonné y Cartier construyeron una antiequivalencia de categorías entre esquemas de grupo conmutativos finitos sobre k de orden una potencia de "p" y módulos sobre D con longitud W ( k ) finita. El functor de módulo de Dieudonné en una dirección viene dado por homomorfismos en el haz abeliano CW de covectores de Witt. Este haz es más o menos dual al haz de vectores de Witt (que de hecho se puede representar mediante un esquema de grupo), ya que se construye tomando un límite directo de vectores de Witt de longitud finita bajo sucesivas aplicaciones de Verschiebung V : W _n → W _n+1 , y luego completándolo. Muchas propiedades de los esquemas de grupo conmutativos se pueden observar examinando los módulos de Dieudonné correspondientes; por ejemplo, los esquemas de p -grupo conexos corresponden a D -módulos para los cuales F es nilpotente, y los esquemas de grupo étale corresponden a módulos para los cuales F es un isomorfismo.  

La teoría de Dieudonné existe en un contexto algo más general que el de los grupos planos finitos sobre un cuerpo. La tesis de Oda de 1967 estableció una conexión entre los módulos de Dieudonné y la primera cohomología de De Rham de variedades abelianas, y casi al mismo tiempo, Grothendieck sugirió que debería existir una versión cristalina de la teoría que pudiera utilizarse para analizar grupos p -divisibles. Las acciones de Galois sobre los esquemas de grupo se transfieren a través de las equivalencias de categorías, y la teoría de deformación asociada de las representaciones de Galois se utilizó en el trabajo de Wiles sobre la conjetura de Shimura-Taniyama .

• Esquema de grupo fundamental
• Teoría de invariantes geométricos
• Cociente GIT
• Esquema de grupoide
• Acción del plan de grupo
• Pila de grupos
• Teoría invariante
• pila de cocientes

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• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck , eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962 – 64 – Schémas en groupes – (SGA 3) – vol. 2 (Apuntes de clases de matemáticas 152 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs.ix  , 654.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck , eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962 – 64 – Schémas en groupes – (SGA 3) – vol. 3 (Apuntes de clases de matemáticas 153 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs.  vii, 529.
• Gabriel, Peter; Demazure, Michel (1980). Introducción a la geometría algebraica y a los grupos algebraicos . Ámsterdam: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-444-85443-6.
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