Objeto de grupo

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , los objetos de grupo son ciertas generalizaciones de grupos que se construyen sobre estructuras más complicadas que los conjuntos . Un ejemplo típico de un objeto de grupo es un grupo topológico , un grupo cuyo conjunto subyacente es un espacio topológico tal que las operaciones del grupo son continuas .

Formalmente, comenzamos con una categoría C con productos finitos (es decir, C tiene un objeto terminal 1 y dos objetos cualesquiera de C tienen un producto ). Un objeto de grupo en C es un objeto G de C junto con morfismos

• m  : G × G → G (considerado como la "multiplicación de grupo")
• e  : 1 → G (considerado como la "inclusión del elemento de identidad")
• inv  : G → G (considerada como la "operación de inversión")

de modo que se satisfacen las siguientes propiedades (modeladas sobre los axiomas de grupo; más precisamente, sobre la definición de grupo utilizada en el álgebra universal )

• m es asociativo, es decir, m ( m × id _G ) = m (id _G × m ) como morfismos G × G × G → G , y donde p. ej. m × id _G  : G × G × G → G × G ; aquí identificamos G × ( G × G ) de manera canónica con ( G × G ) × G .
• e es una unidad bilateral de m , es decir, m (id _G × e ) = p ₁ , donde p ₁  : G × 1 → G es la proyección canónica, y m ( e × id _G ) = p ₂ , donde p ₂  : 1 × G → G es la proyección canónica
• inv es una inversa bilateral para m , es decir, si d  : G → G × G es la función diagonal, y e _G  : G → G es la composición del morfismo único G → 1 (también llamado counit) con e , entonces m (id _G × inv ) d = e _G y m ( inv × id _G ) d = e _G .

Obsérvese que esto se enuncia en términos de mapas (el producto y el inverso deben ser mapas en la categoría) y sin ninguna referencia a los "elementos" subyacentes del objeto del grupo (las categorías en general no tienen elementos de sus objetos).

Otra forma de expresar lo anterior es decir que G es un objeto de grupo en una categoría C si para cada objeto X en C , existe una estructura de grupo en los morfismos Hom( X , G ) de X a G tal que la asociación de X a Hom( X , G ) es un funtor (contravariante) de C a la categoría de grupos .

• Cada conjunto G para el cual se puede definir una estructura de grupo ( G , m , u , ⁻¹ ) se puede considerar un objeto de grupo en la categoría de conjuntos . La función m es la operación de grupo, la función e (cuyo dominio es un singleton ) selecciona el elemento identidad u de G y la función inv asigna a cada elemento de grupo su inverso. e _G  : G → G es la función que envía cada elemento de G al elemento identidad.
• Un grupo topológico es un objeto de grupo en la categoría de espacios topológicos con funciones continuas .
• Un grupo de Lie es un objeto de grupo en la categoría de variedades suaves con mapas suaves .
• Un supergrupo de Lie es un objeto de grupo en la categoría de supervariedades .
• Un grupo algebraico es un objeto de grupo de la categoría de variedades algebraicas . En la geometría algebraica moderna , se consideran los esquemas de grupo más generales , objetos de grupo de la categoría de esquemas .
• Un grupo local es un objeto de grupo en la categoría de configuraciones regionales .
• Los objetos de grupo en la categoría de grupos (o monoides ) son los grupos abelianos . La razón de esto es que, si se supone que inv es un homomorfismo, entonces G debe ser abeliano. Más precisamente: si A es un grupo abeliano y denotamos por m la multiplicación de grupo de A , por e la inclusión del elemento identidad, y por inv la operación de inversión sobre A , entonces ( A , m , e , inv ) es un objeto de grupo en la categoría de grupos (o monoides). Por el contrario, si ( A , m , e , inv ) es un objeto de grupo en una de esas categorías, entonces m necesariamente coincide con la operación dada sobre A , e es la inclusión del elemento identidad dado sobre A , inv es la operación de inversión y A con la operación dada es un grupo abeliano. Véase también argumento de Eckmann-Hilton .
• El grupo estricto de 2 es el objeto de grupo en la categoría de categorías pequeñas .
• Dada una categoría C con coproductos finitos , un objeto cogrupo es un objeto G de C junto con una "comultiplicación" m : G → G G, una "coidentidad" e : G → 0 y una "coinversión" inv : G → G que satisfacen las versiones duales de los axiomas para objetos de grupo. Aquí 0 es el objeto inicial de C. Los objetos cogrupo ocurren naturalmente en la topología algebraica .${\displaystyle \oplus}$

• Las álgebras de Hopf pueden verse como una generalización de objetos grupales a categorías monoidales .
• Objeto grupoide

• Awodey, Steve (2010), Teoría de categorías , Oxford University Press, ISBN 9780199587360
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001