2 grupos

En matemáticas , particularmente en teoría de categorías , un 2-grupo es un grupoide con una forma de multiplicar objetos y morfismos , lo que lo hace similar a un grupo . Son parte de una jerarquía más amplia de n -grupos . Fueron introducidos por Hoàng Xuân Sính a finales de la década de 1960 con el nombre de gr-categorías , ^{[ 1 ] [ 2 ]} y también se conocen como grupos categóricos .

Un 2-grupo es una categoría monoidal G en la que todo morfismo es invertible y todo objeto tiene un inverso débil. (En este caso, el inverso débil de un objeto x es un objeto y tal que xy e yx son isomorfos al objeto unitario).

Gran parte de la literatura se centra en los 2-grupos estrictos . Un 2-grupo estricto es una categoría monoidal estricta en la que todo morfismo es invertible y todo objeto tiene un inverso estricto (de modo que xy e yx son realmente iguales al objeto unitario).

Un 2-grupo estricto es un objeto de grupo en una categoría de categorías (pequeñas) ; por lo tanto, podrían denominarse categorías grupales . A la inversa, un 2-grupo estricto es un objeto de categoría en la categoría de grupos ; por lo tanto, también se denominan grupos categóricos . También pueden identificarse con módulos cruzados , y suelen estudiarse en esa forma. Así pues, los 2-grupos en general pueden considerarse un debilitamiento de los módulos cruzados.

Todo 2-grupo es equivalente a un 2-grupo estricto , aunque esto no se puede hacer de forma coherente: no se extiende a los homomorfismos de 2-grupos .

Dada una categoría ( pequeña ) C , podemos considerar el 2-grupo Aut C. Esta es la categoría monoidal cuyos objetos son las autoequivalencias de C (es decir, equivalencias F : C → C ), cuyos morfismos son isomorfismos naturales entre tales autoequivalencias, y la multiplicación de autoequivalencias viene dada por su composición. 

Dado un espacio topológico X y un punto x en ese espacio, existe un 2-grupo fundamental de X en x , escrito Π ₂ ( X , x ). Como categoría monoidal, los objetos son bucles en x , con la multiplicación dada por concatenación, y los morfismos son homotopías que preservan el punto base entre bucles, y estos morfismos se identifican si son homotópicos entre sí.

Los inversos débiles siempre se pueden asignar de manera coherente: ^{[ 3 ]} se puede definir un functor en cualquier 2-grupo G que asigne un inverso débil a cada objeto, de modo que cada objeto esté relacionado con su inverso débil designado por una equivalencia adjunta en la categoría monoidal G .

Dada una bicategoría B y un objeto x de B , existe un 2-grupo de automorfismos de x en B , escrito Aut _B x . Los objetos son los automorfismos de x , cuya multiplicación se define por composición, y los morfismos son los 2-morfismos invertibles entre ellos. Si B es un 2-grupoide (de modo que todos los objetos y morfismos son débilmente invertibles) y x es su único objeto, entonces Aut _B x es el único dato restante en B. Por lo tanto, los 2-grupos pueden identificarse con 2-grupoides de un solo objeto , al igual que los grupos pueden identificarse con grupoides de un solo objeto y las categorías monoidales pueden identificarse con bicategorías de un solo objeto .

Si G es un 2-grupo estricto, entonces los objetos de G forman un grupo, llamado grupo subyacente de G y escrito G ₀ . Esto no funciona para 2-grupos arbitrarios ; sin embargo, si se identifican objetos isomorfos, entonces las clases de equivalencia forman un grupo, llamado grupo fundamental de G y escrito π ₁ G . (Nótese que incluso para un 2-grupo estricto , el grupo fundamental será solo un grupo cociente del grupo subyacente).

Como categoría monoidal, cualquier 2-grupo G tiene un objeto unidad I _G . El grupo de automorfismos de I _G es un grupo abeliano por el argumento de Eckmann-Hilton , escrito Aut( I _G ) o π ₂ G .

El grupo fundamental de G actúa a ambos lados de π ₂ G , y el asociador de G define un elemento del grupo de cohomología H ³ (π ₁ G , π ₂ G ). De hecho, los 2-grupos se clasifican de esta manera: dado un grupo π ₁ , un grupo abeliano π ₂ , una acción de grupo de π ₁ sobre π ₂ , y un elemento de H ³ (π ₁ , π ₂ ), hay un único ( salvo equivalencia) 2-grupo G con π ₁ G isomorfo a π ₁ , π ₂ G isomorfo a π ₂ , y los demás datos correspondientes.

El elemento de H ³ (π ₁ , π ₂ ) asociado a un 2-grupo a veces se denomina su invariante Sinh , ya que fue desarrollado por el estudiante de Grothendieck , Hoàng Xuân Sính .

Como se mencionó anteriormente, el 2-grupo fundamental de un espacio topológico X y un punto x es el 2-grupo Π ₂ ( X , x ), cuyos objetos son bucles en x , con la multiplicación dada por concatenación, y los morfismos son homotopías que preservan el punto base entre bucles, y estos morfismos se identifican si son ellos mismos homotópicos.

Por el contrario, dado cualquier 2-grupo G , se puede encontrar un espacio conexo puntual ( X , x ) único ( salvo equivalencia de homotopía débil ) cuyo 2-grupo fundamental es G y cuyos grupos de homotopía πn son triviales para n > 2. De esta forma, los 2-grupos clasifican los 2-tipos _de homotopía débil puntuales y conexos. Esta es una generalización de la construcción de espacios de Eilenberg-Mac Lane .  

Si X es un espacio topológico con punto base x , entonces el grupo fundamental de X en x es el mismo que el grupo fundamental del 2-grupo fundamental de X en x ; es decir,

${\displaystyle \pi _{1}(X,x)=\pi _{1}(\Pi _{2}(X,x)).\!}$

Este hecho es el origen del término "fundamental" en sus dos instancias de 2 grupos .

Similarmente,

${\displaystyle \pi _{2}(X,x)=\pi _{2}(\Pi _{2}(X,x)).\!}$

Así, tanto el primer como el segundo grupo de homotopía de un espacio están contenidos dentro de su 2-grupo fundamental . Como este 2-grupo también define una acción de π ₁ ( X , x ) sobre π ₂ ( X , x ) y un elemento del grupo de cohomología H ³ (π ₁ ( X , x ), π ₂ ( X , x )), estos son precisamente los datos necesarios para formar la torre de Postnikov de X si X es un 2-tipo de homotopía conexo y con punto.

• grupo n
• Grupo 2 abeliano

• Baez, John C. ; Lauda, ​​Aaron D. (2004), "Álgebra de dimensiones superiores V: 2-grupos" (PDF) , Theory and Applications of Categories , 12 : 423– 491, arXiv : math.QA/0307200
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• Brown, Ronald ; Higgins, Philip J. (julio de 1991), "El espacio de clasificación de un complejo cruzado", Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 110 (1): 95–120 , Bibcode : 1991MPCPS.110...95B , doi : 10.1017/S0305004100070158
• Brown, Ronald ; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (agosto de 2011), Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica , EMS Tracts in Mathematics, vol.  15, arXiv : math/0407275 , doi : 10.4171/083 , ISBN 978-3-03719-083-8, MR 2841564 , Zbl 1237.55001  
• Pfeiffer, Hendryk (2007), "2-Grupos, trialgebras y sus categorías de Hopf de representaciones", Advances in Mathematics , 212 (1): 62–108 , arXiv : math/0411468 , doi : 10.1016/j.aim.2006.09.014
• Cegarra, Antonio Martínez; Heredia, Benjamín A.; Remedios, Josué (2012), "Grupoides dobles y homotopía de 2 tipos", Estructuras categóricas aplicadas , 20 (4): 323– 378, arXiv : 1003.3820 , doi : 10.1007/s10485-010-9240-1

• Grupo 2 en el Laboratorio n
• 2008 Taller de Grupos Categóricos en el Centre de Recerca Matemàtica