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Sistema Postnikov

En la teoría de la homotopía , una rama de la topología algebraica , un sistema de Postnikov (o torre de Postnikov ) es una forma de descomponer un espacio topológico filtrando ...

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En la teoría de la homotopía , una rama de la topología algebraica , un sistema de Postnikov (o torre de Postnikov ) es una forma de descomponer un espacio topológico filtrando su tipo de homotopía . Para un espacio , esta es una lista de espacios dondeincógnita{\displaystyle X}{incógnitanorte}norte≥0{\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}

πk(incógnitanorte)={πk(incógnita) para k≤norte0 para k>norte{\displaystyle \pi _{k}(X_{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&{\text{ para }}k\leq n\\0&{\text{ para }}k>n\end{cases}}}

y una serie de mapas que son fibraciones con espacios de Eilenberg-MacLane como fibras. En resumen, estamos descomponiendo el tipo de homotopía de usando un sistema inverso de espacios topológicos cuyo tipo de homotopía en grado coincide con el tipo de homotopía truncado del espacio original . Los sistemas de Postnikov fueron introducidos por Mikhail Postnikov y reciben su nombre de él .ϕnorte:incógnitanorte→incógnitanorte−1{\displaystyle \phi _{n}:X_{n}\to X_{n-1}}K(πnorte(incógnita),norte){\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}incógnita{\displaystyle X}k{\displaystyle k}incógnita{\displaystyle X}

Existe una construcción similar llamada torre de Whitehead (definida a continuación) donde, en lugar de tener espacios con el tipo de homotopía de para grados , estos espacios tienen grupos de homotopía nulos para .incógnitanorte{\displaystyle X_{n}}incógnita{\displaystyle X}≤norte{\displaystyle \leq n}πk(incógnitanorte)=0{\displaystyle \pi _{k}(X_{n})=0}1<k<norte{\displaystyle 1<k<n}

Definición

Un sistema de Postnikov de un espacio conexo por caminos es un sistema inverso de espacios.incógnita{\displaystyle X}

⋯→incógnitanorte→pagnorteincógnitanorte−1→pagnorte−1⋯→pag3incógnita2→pag2incógnita1→pag1∗{\displaystyle \cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *}

con una secuencia de mapas compatibles con el sistema inverso tal queϕnorte:incógnita→incógnitanorte{\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}

  1. El mapa induce un isomorfismo para cada .ϕnorte:incógnita→incógnitanorte{\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}πi(incógnita)→πi(incógnitanorte){\displaystyle \pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})}i≤norte{\displaystyle i\leq n}
  2. πi(incógnitanorte)=0{\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}para . [ 1 ] : 410i>norte{\displaystyle i>n}
  3. Cada mapa es una fibración , y por lo tanto la fibra es un espacio de Eilenberg-MacLane , .pagnorte:incógnitanorte→incógnitanorte−1{\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}Fnorte{\displaystyle F_{n}}K(πnorte(incógnita),norte){\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}

Las dos primeras condiciones implican que también es un -espacio. De forma más general, si es -conexo, entonces es un -espacio y todos los para son contraíbles . Nótese que la tercera condición solo la incluyen opcionalmente algunos autores.incógnita1{\displaystyle X_{1}}K(π1(incógnita),1){\displaystyle K(\pi _ {1}(X),1)}incógnita{\displaystyle X}(norte−1){\displaystyle (n-1)}incógnitanorte{\displaystyle X_{n}}K(πnorte(incógnita),norte){\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}incógnitai{\displaystyle X_{i}}i<norte{\displaystyle i<n}

Existencia

Los sistemas de Postnikov existen en complejos CW conectados , [ 1 ] : 354 y hay una débil equivalencia de homotopía entre y su límite inverso , por lo queincógnita{\displaystyle X}

incógnita≃límite←⁡incógnitanorte{\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_ {n}},

demostrando que es una aproximación CW de su límite inverso. Se pueden construir en un complejo CW eliminando iterativamente grupos de homotopía. Si tenemos un mapa que representa una clase de homotopía , podemos tomar el empuje a lo largo del mapa frontera , eliminando la clase de homotopía. Para este proceso se puede repetir para todo , dando un espacio que tiene grupos de homotopía nulos . Usando el hecho de que se puede construir a partir eliminando todos los mapas de homotopía , obtenemos un mapa .incógnita{\displaystyle X}F:Snorte→incógnita{\displaystyle f:S^{n}\to X}[F]∈πnorte(incógnita){\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}Snorte→minorte+1{\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}incógnitametro{\displaystyle X_{m}}norte>metro{\displaystyle n>m}πnorte(incógnitametro){\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}incógnitanorte−1{\displaystyle X_{n-1}}incógnitanorte{\displaystyle X_{n}}Snorte→incógnitanorte{\displaystyle S^{n}\to X_{n}}incógnitanorte→incógnitanorte−1{\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}

Propiedad principal

Una de las principales propiedades de la torre de Postnikov, que la hace tan poderosa para estudiar al calcular la cohomología, es el hecho de que los espacios son homotópicos a un complejo CW que difiere de solo por celdas de dimensión .incógnitanorte{\displaystyle X_{n}}incógnitanorte{\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}incógnita{\displaystyle X}≥norte+2{\displaystyle \geq n+2}

Clasificación homotópica de las fibraciones

La secuencia de fibraciones [ 2 ] tiene invariantes definidos homotópicamente, lo que significa que las clases de homotopía de los mapas dan un tipo de homotopía bien definido . La clase de homotopía de proviene de observar la clase de homotopía del mapa clasificador para la fibra . El mapa clasificador asociado espagnorte:incógnitanorte→incógnitanorte−1{\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}pagnorte{\displaystyle p_{n}}[incógnita]∈Transmisión exterior⁡(hTopag){\displaystyle [X]\in \operatorname {Ob} (hTop)}pagnorte{\displaystyle p_{n}}K(πnorte(incógnita),norte){\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}

incógnitanorte−1→B(K(πnorte(incógnita),norte))≃K(πnorte(incógnita),norte+1){\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)},

por lo tanto la clase de homotopía se clasifica mediante una clase de homotopía[pagnorte]{\displaystyle [p_{n}]}

[pagnorte]∈[incógnitanorte−1,K(πnorte(incógnita),norte+1)]≅Hnorte+1(incógnitanorte−1,πnorte(incógnita)){\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}

llamado el n -ésimo invariante de Postnikov de , ya que las clases de homotopía de mapas a espacios de Eilenberg-Maclane dan cohomología con coeficientes en el grupo abeliano asociado .incógnita{\displaystyle X}

Secuencia de fibras para espacios con dos grupos de homotopía no triviales

Uno de los casos especiales de la clasificación homotópica es la clase homotópica de espacios tales que existe una fibración.incógnita{\displaystyle X}

K(A,norte)→incógnita→π1(incógnita){\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}

dando un tipo de homotopía con dos grupos de homotopía no triviales, , y . Entonces, a partir de la discusión anterior, el mapa de fibración da una clase de cohomología enπ1(incógnita)=GRAMO{\displaystyle \pi _{1}(X)=G}πnorte(incógnita)=A{\displaystyle \pi _{n}(X)=A}BGRAMO→K(A,norte+1){\displaystyle BG\to K(A,n+1)}

Hnorte+1(BGRAMO,A){\displaystyle H^{n+1}(BG,A)},

lo cual también puede interpretarse como una clase de cohomología de grupo . Este espacio puede considerarse un sistema local superior .incógnita{\displaystyle X}

Ejemplos de torres Postnikov

Torre de Postnikov de un K ( G , n )

Uno de los casos conceptualmente más simples de una torre de Postnikov es el del espacio de Eilenberg-Maclane . Esto da como resultado una torre conK(GRAMO,norte){\displaystyle K(G,n)}

incógnitai≃∗para i<norteincógnitai≃K(GRAMO,norte)para i≥norte{\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{para }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{para }}i\geq n\end{matrix}}}

Torre Postnikov de S 2

La torre de Postnikov para la esfera es un caso especial cuyos primeros términos pueden entenderse explícitamente. Dado que tenemos los primeros grupos de homotopía a partir de la conexidad simple de , la teoría del grado de las esferas y la fibración de Hopf , que dan para , entoncesS2{\displaystyle S^{2}}S2{\displaystyle S^{2}}πk(S2)≃πk(S3){\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}k≥3{\displaystyle k\geq 3}

π1(S2)=0π2(S2)=Zπ3(S2)=Zπ4(S2)=Z/2.{\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}}

Luego , y proviene de una secuencia de retroceso.X2=S22=K(Z,2){\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}X3{\displaystyle X_{3}}

X3→∗↓↓X2→K(Z,4),{\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}}

que es un elemento en

[p3]∈[K(Z,2),K(Z,4)]≅H4(CP∞)=Z{\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }.

Si esto fuera trivial, implicaría . ¡Pero este no es el caso! De hecho, esto es responsable de por qué los grupoides de infinito estricto no modelan tipos de homotopía. [ 3 ] Calcular este invariante requiere más trabajo, pero se puede encontrar explícitamente. [ 4 ] Esta es la forma cuadrática en que proviene de la fibración de Hopf . Nótese que cada elemento en da un 3-tipo de homotopía diferente.X3≃K(Z,2)×K(Z,3){\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}x↦x2{\displaystyle x\mapsto x^{2}}Z→Z{\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }S3→S2{\displaystyle S^{3}\to S^{2}}H4(CP∞){\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}

Grupos homotópicos de esferas

Una aplicación de la torre de Postnikov es el cálculo de grupos de homotopía de esferas . [ 5 ] Para una esfera de -dimensiones podemos usar el teorema de Hurewicz para demostrar que cada es contraíble para , ya que el teorema implica que los grupos de homotopía inferiores son triviales. Recordemos que existe una sucesión espectral para cualquier fibración de Serre , como la fibraciónn{\displaystyle n}Sn{\displaystyle S^{n}}Sin{\displaystyle S_{i}^{n}}i<n{\displaystyle i<n}

K(πn+1(X),n+1)≃Fn+1→Sn+1n→Snn≃K(Z,n){\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)}.

Entonces podemos formar una secuencia espectral homológica con términos -E2{\displaystyle E^{2}}

Ep,q2=Hp(K(Z,n),Hq(K(πn+1(Sn),n+1))){\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}.

Y el primer mapa no trivial a ,πn+1(Sn){\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}

d0,n+1n+1:Hn+2(K(Z,n))→H0(K(Z,n),Hn+1(K(πn+1(Sn),n+1))){\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)},

escrito de forma equivalente como

d0,n+1n+1:Hn+2(K(Z,n))→πn+1(Sn){\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}.

Si es fácil calcular y , entonces podemos obtener información sobre cómo se ve este mapa. En particular, si es un isomorfismo, obtenemos un cálculo de . Para el caso , esto se puede calcular explícitamente usando la fibración de caminos para , la propiedad principal de la torre de Postnikov para (dando , y el teorema del coeficiente universal que da . Además, debido al teorema de suspensión de Freudenthal, esto realmente da el grupo de homotopía estable ya que es estable para .Hn+1(Sn+1n){\displaystyle H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)}Hn+2(Sn+2n){\displaystyle H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)}πn+1(Sn){\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}n=3{\displaystyle n=3}K(Z,3){\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}X4≃S3∪{cells of dimension≥6}{\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}H4(X4)=H5(X4)=0{\displaystyle H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0}π4(S3)=Z/2{\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2}π1S{\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}πn+k(Sn){\displaystyle \pi _{n+k}\left(S^{n}\right)}n≥k+2{\displaystyle n\geq k+2}

Tenga en cuenta que se pueden aplicar técnicas similares utilizando la torre de Whitehead (abajo) para calcular y , lo que da como resultado los dos primeros grupos de homotopía estable no triviales de esferas.π4(S3){\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)}π5(S3){\displaystyle \pi _{5}\left(S^{3}\right)}

Torres de espectros de Postnikov

Además de la clásica torre de Postnikov, existe una noción de torres de Postnikov en la teoría de homotopía estable construida sobre espectros [ 6 ] págs. 85-86 .

Definición

Para un espectro, una torre de Postnikov de es un diagrama en la categoría de homotopía de espectros, , dado porE{\displaystyle E}E{\displaystyle E}Ho(Spectra){\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})}

⋯→E(2)→p2E(1)→p1E(0){\displaystyle \cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}},

con mapas

τn:E→E(n){\displaystyle \tau _{n}:E\to E_{(n)}}

conmutando con los mapas. Entonces, esta torre es una torre Postnikov si se cumplen las dos condiciones siguientes:pn{\displaystyle p_{n}}

  1. πiS(E(n))=0{\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0}para ,i>n{\displaystyle i>n}
  2. (τn)∗:πiS(E)→πiS(E(n)){\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)}es un isomorfismo para ,i≤n{\displaystyle i\leq n}

donde se encuentran los grupos homotópicos estables de un espectro. Resulta que todo espectro tiene una torre de Postnikov y esta torre se puede construir utilizando un procedimiento inductivo similar al descrito anteriormente.πiS{\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }}

Torre Whitehead

Dado un complejo CW , existe una construcción dual de la torre de Postnikov llamada torre de Whitehead . En lugar de eliminar todos los grupos de homotopía superiores, la torre de Whitehead elimina iterativamente los grupos de homotopía inferiores. Esto viene dado por una torre de complejos CW,X{\displaystyle X}

⋯→X3→X2→X1→X{\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X},

dónde

  1. Los grupos de homotopía inferiores son cero, por lo que para .πi(Xn)=0{\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}i≤n{\displaystyle i\leq n}
  2. El mapa inducido es un isomorfismo para .πi:πi(Xn)→πi(X){\displaystyle \pi _{i}:\pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)}i>n{\displaystyle i>n}
  3. Los mapas son fibraciones con fibra .Xn→Xn−1{\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}K(πn(X),n−1){\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}

Trascendencia

Nótese que es la cubierta universal de ya que es un espacio de cobertura con una cubierta simplemente conectada. Además, cada una es la cubierta universal -conectada de .X1→X{\displaystyle X_{1}\to X}X{\displaystyle X}Xn→X{\displaystyle X_{n}\to X}n{\displaystyle n}X{\displaystyle X}

Construcción

Los espacios en la torre de Whitehead se construyen inductivamente. Si construimos eliminando los grupos de homotopía superiores en , [ 7 ] obtenemos una incrustación . Si dejamosXn{\displaystyle X_{n}}K(πn+1(X),n+1){\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)}Xn{\displaystyle X_{n}}Xn→K(πn+1(X),n+1){\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}

Xn+1={f:I→K(πn+1(X),n+1):f(0)=p and f(1)∈Xn}{\displaystyle X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\right\}}

para algún punto base fijo , entonces el mapa inducido es un fibrado con fibra homeomorfa ap{\displaystyle p}Xn+1→Xn{\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}

ΩK(πn+1(X),n+1)≃K(πn+1(X),n){\displaystyle \Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)},

y así tenemos una fibración de Serre

K(πn+1(X),n)→Xn→Xn−1{\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}}.

Utilizando la sucesión exacta larga en la teoría de homotopía, tenemos que para , para , y finalmente, existe una sucesión exacta.πi(Xn)=πi(Xn−1){\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)}i≥n+1{\displaystyle i\geq n+1}πi(Xn)=πi(Xn−1)=0{\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}i<n−1{\displaystyle i<n-1}

0→πn+1(Xn+1)→πn+1(Xn)→∂πnK(πn+1(X),n)→πn(Xn+1)→0{\displaystyle 0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0},

donde si el morfismo central es un isomorfismo, los otros dos grupos son cero. Esto se puede comprobar observando la inclusión y notando que el espacio de Eilenberg-Maclane tiene una descomposición celular.Xn→K(πn+1(X),n+1){\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}

Xn−1∪{cells of dimension≥n+2}{\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}; de este modo,
πn+1(Xn)≅πn+1(K(πn+1(X),n+1))≅πn(K(πn+1(X),n)){\displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)},

dando el resultado deseado.

Como una fibra homotópica

Otra forma de ver los componentes de la torre de Whitehead es como una fibra homotópica . Si tomamos

Hofiber(ϕn:X→Xn){\displaystyle {\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})}

Desde la torre Postnikov, obtenemos un espacio que tieneXn{\displaystyle X^{n}}

πk(Xn)={πk(X)k>n0k≤n{\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}}

Torre de espectros de Whitehead

La noción dual de la torre de Whitehead puede definirse de manera similar utilizando fibras de homotopía en la categoría de espectros. Si dejamos

E⟨n⟩=Hofiber⁡(τn:E→E(n)){\displaystyle E\langle n\rangle =\operatorname {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n)}\right)}

Entonces esto se puede organizar en una torre dando cubiertas conectadas de un espectro. Esta es una construcción ampliamente utilizada [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] en la teoría del bordismo porque las cubiertas del espectro de cobordismo no orientado dan otras teorías del bordismo [ 10 ].MO{\displaystyle M{\text{O}}}

MString=MO⟨8⟩MSpin=MO⟨4⟩MSO=MO⟨2⟩{\displaystyle {\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}}

como el bordismo de cuerdas .

Torre de Whitehead y teoría de cuerdas

En geometría de espín, el grupo se construye como la cubierta universal del grupo ortogonal especial , por lo que es una fibración, dando el primer término en la torre de Whitehead. Hay interpretaciones físicamente relevantes para las partes superiores de esta torre, que se pueden leer comoSpin⁡(n){\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}SO⁡(n){\displaystyle \operatorname {SO} (n)}Z/2→Spin⁡(n)→SO(n){\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}

⋯→Fivebrane⁡(n)→String⁡(n)→Spin⁡(n)→SO⁡(n){\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}

donde es la cubierta -conectada de llamada grupo de cuerdas , y es la cubierta -conectada llamada grupo de cincobranas . [ 11 ] [ 12 ]String⁡(n){\displaystyle \operatorname {String} (n)}3{\displaystyle 3}SO⁡(n){\displaystyle \operatorname {SO} (n)}Fivebrane⁡(n){\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}7{\displaystyle 7}

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Hatcher, Allen . Topología algebraica (PDF) .
  2. ↑ Kahn, Donald W. (1963-03-01). "Mapas inducidos para sistemas de Postnikov" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 107 (3): 432– 450. doi : 10.1090/s0002-9947-1963-0150777-x . ISSN 0002-9947 . 
  3. ↑ Simpson, Carlos (1998-10-09). "Tipos de homotopía de 3-grupoides estrictos". arXiv : math/9810059 .
  4. ↑ Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1954). "Sobre los grupos , III: Operaciones y obstrucciones". Annals of Mathematics . 60 (3): 513– 557. doi : 10.2307/1969849 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1969849 .H(Π,n){\displaystyle H(\Pi ,n)}  
  5. ↑ Laurențiu-George, Maxim. "Secuencias espectrales y grupos de homotopía de esferas" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 19 de mayo de 2017.
  6. ↑ Sobre los espectros de Thom, la orientabilidad y el cobordismo . Monografías de Springer en matemáticas. Berlín, Heidelberg: Springer . 1998. doi : 10.1007/978-3-540-77751-9 . ISBN 978-3-540-62043-3.
  7. ↑ Maxim, Laurențiu. "Apuntes de clase sobre teoría y aplicaciones de la homotopía" (PDF) . pág. 66. Archivado (PDF) del original el 16 de febrero de 2020. 
  8. ↑ Hill, Michael A. (2009). "El bordismo de cuerdas de BE 8 y BE 8 × BE 8 a través de la dimensión 14" . Illinois Journal of Mathematics . 53 (1): 183–196 . doi : 10.1215/ijm/1264170845 . ISSN 0019-2082 . 
  9. ↑ Bunke, Ulrich; Naumann, Niko (1 de diciembre de 2014). "Invariantes secundarios para el bordismo de cuerdas y formas modulares topológicas" . Bulletin des Sciences Mathématiques . 138 (8): 912–970 . doi : 10.1016/j.bulsci.2014.05.002 . ISSN 0007-4497 . 
  10. 1 2 Szymik, Markus (2019). "Bordismo de cuerdas y características cromáticas". En Daniel G. Davis; Hans-Werner Henn; JF Jardine; Mark W. Johnson; Charles Rezk (eds.). Teoría de la homotopía: herramientas y aplicaciones . Matemáticas contemporáneas. Vol. 729. pp. 239–254 . arXiv : 1312.4658 . doi : 10.1090/conm/729/14698 . ISBN   9781470442446. S2CID 56461325 . 
  11. ↑ "Física matemática: aplicación física de la torre de Postnikov, String( n ) y Fivebrane( n )" . Physics Stack Exchange . Consultado el 16 de febrero de 2020 .
  12. ↑ "at.algebraic topology – What do Whitehead towers have to go with physics?" . MathOverflow . Consultado el 16 de febrero de 2020 .
  • Postnikov, Mikhail M. (1951). "Determinación de los grupos de homología de un espacio mediante los invariantes de homotopía". Doklady Akademii Nauk SSSR . 76 : 359– 362.
  • Maxim, Laurențiu. "Apuntes de clase sobre teoría de la homotopía y sus aplicaciones" (PDF) . www.math.wisc.edu . Archivado del original (PDF) el 16 de febrero de 2020.
  • Determinación de los grupos de segunda homología y cohomología de un espacio mediante invariantes de homotopía : ofrece ejemplos accesibles de invariantes de Postnikov.
  • Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79540-1.
  • Zhang. "Torres de Postnikov, torres de Whitehead y sus aplicaciones (notas manuscritas)" (PDF) . www.math.purdue.edu . Archivado del original (PDF) el 13 de febrero de 2020.
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