secuencia espectral de Adams

La secuencia espectral clásica de Adams se puede enunciar para cualquier espectro conectivo.${\displaystyle X}$de tipo finito , lo que significa${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$para${\displaystyle i<0}$y${\displaystyle \pi _{i}(X)}$es un grupo abeliano finitamente generado en cada grado. Entonces, hay una secuencia espectral${\displaystyle E_{*}^{*,*}(X)}$^{[ 1 ] : 41}tal que

1. ${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\text{Ext}}_{A_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),\mathbb {Z} /p)}$para${\displaystyle A_{p}}$el mod${\displaystyle p}$álgebra de Steenrod
2. Para${\displaystyle X}$de tipo finito,${\displaystyle E_{\infty }^{*,*}}$es un grupo bigradado asociado con una filtración de${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Z} _{p}}$(los enteros p-ádicos )

Tenga en cuenta que esto implica que${\displaystyle X=\mathbb {S} }$, esto calcula el${\displaystyle p}$-torsión de los grupos de homotopía del espectro de la esfera , es decir, los grupos de homotopía estables de las esferas. Además, porque para cualquier complejo CW${\displaystyle Y}$podemos considerar el espectro de suspensión${\displaystyle \Sigma ^{\infty }Y}$, esto también da como resultado la formulación anterior.

Esta afirmación se generaliza un poco más al reemplazar el${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$-módulo${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$con los grupos de cohomología${\displaystyle H^{*}(Y)}$para algún espectro conectivo${\displaystyle Y}$(o espacio topológico)${\displaystyle Y}$). Esto se debe a que la construcción de la secuencia espectral utiliza una resolución "libre" de${\displaystyle H^{*}(X)}$como un${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$-módulo, por lo tanto podemos calcular los grupos Ext con${\displaystyle H^{*}(Y)}$como segunda entrada. Por lo tanto, obtenemos una secuencia espectral con${\displaystyle E_{2}}$-página proporcionada por

${\displaystyle E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),H^{*}(Y))}$

que tiene la propiedad de convergencia de ser isomorfo a las piezas graduadas de una filtración de la${\displaystyle p}$-torsión del grupo de homotopía estable de clases de homotopía de mapas entre${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, eso es

${\displaystyle E_{2}^{s,t}\Rightarrow \pi _{ts}^{\mathbb {S} }([X,Y])\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

Por ejemplo, si hacemos que ambos espectros sean el espectro de la esfera, entonces${\displaystyle X=Y=\mathbb {S} }$, entonces la sucesión espectral de Adams tiene la propiedad de convergencia

${\displaystyle E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(\mathbb {S} ),H^{*}(\mathbb {S} ))\Rightarrow \pi _{ts}(\mathbb {S} )\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

proporcionando una herramienta técnica para abordar el cálculo de los grupos de homotopía estables de esferas. Resulta que muchos de los primeros términos pueden calcularse explícitamente a partir de información puramente algebraica ^{[ 2 ] pp 23–25} . También cabe señalar que podemos reescribir${\displaystyle H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p}$, entonces el${\displaystyle E_{2}}$-página es

${\displaystyle E_{2}^{t,s}=\operatorname {Ext} _{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(\mathbb {Z} /p,\mathbb {Z} /p)\Rightarrow \pi _{ts}(\mathbb {S} )\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

Incluimos esta información de cálculo a continuación para${\displaystyle p=2}$.

Dada la resolución de Adams

${\displaystyle \cdots \to H^{*}(F_{2})\to H^{*}(F_{1})\to H^{*}(F_{0})\to H^{*}(X)}$

tenemos el${\displaystyle E_{1}}$-términos como

${\displaystyle E_{1}^{s,t}=\operatorname {Hom} _{{\mathcal {A}}_{p}}^{t}(H^{*}(F_{s}),H^{*}(Y))}$

para los grupos Hom graduados. Luego el${\displaystyle E_{1}}$-página se puede escribir como

${\displaystyle E_{1}={\begin{array}{c|ccc}3&\vdots &\vdots &\vdots \\2&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\1&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\0&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\\hline &0&1&2\end{array}}}$

por lo tanto el grado de${\displaystyle s}$Se puede pensar en cuán "profundamente" en la resolución de Adams llegamos antes de poder encontrar los generadores.

El${\displaystyle r}$El diferencial de Adams siempre va hacia la izquierda 1 y hacia arriba.${\displaystyle r}$. Eso es,

${\displaystyle d_{r}\colon E_{r}^{s,t}\to E_{r}^{s-1,t+r}}$.

Algunos de los cálculos más sencillos se realizan con espectros de Eilenberg-Maclane, como por ejemplo:${\displaystyle X=H\mathbb {Z} }$y${\displaystyle X=H\mathbb {Z} /(p^{k})}$. ^{[ 1 ] : 48} Para el primer caso, tenemos el${\displaystyle E_{1}}$página

${\displaystyle E_{1}^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

dando una secuencia espectral colapsada, por lo tanto${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$Esto se puede reescribir como

${\displaystyle {\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(H\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} /p)={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ if }}t\neq s\end{cases}}}$

dando el${\displaystyle E_{2}}$-página. Para el otro caso, tenga en cuenta que hay una secuencia de cofibras.

${\displaystyle H\mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot p^{k}} H\mathbb {Z} \to H\mathbb {Z} /p^{k}\to \Sigma H\mathbb {Z} }$

lo que termina dando una división en la cohomología, por lo tanto${\displaystyle H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )}$como${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$-módulos. Luego, el${\displaystyle E_{2}}$-página de${\displaystyle H^{*}(H\mathbb {Z} /p)}$se puede leer como

${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{if }}t-s=0,1\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

Lo esperado${\displaystyle E_{\infty }}$-página es

${\displaystyle E_{\infty }^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p^{k}&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$.

La única forma de que esta secuencia espectral converja a esta página es si existen diferenciales no triviales soportados en cada elemento con graduación de Adams.${\displaystyle (s,s+1)}$.

El uso original que Adams le dio a su secuencia espectral fue la primera demostración del problema del invariante 1 de Hopf :${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Admite una estructura de álgebra de división solo para n = 1, 2, 4 u 8. Posteriormente encontró una demostración mucho más corta utilizando operaciones de cohomología en la teoría K.

El teorema de isomorfismo de Thom relaciona la topología diferencial con la teoría de homotopía estable, y es aquí donde la sucesión espectral de Adams encontró su primer uso importante: en 1960, John Milnor y Sergei Novikov utilizaron la sucesión espectral de Adams para calcular el anillo de coeficientes del cobordismo complejo . Además, Milnor y CTC Wall utilizaron la sucesión espectral para demostrar la conjetura de Thom sobre la estructura del anillo de cobordismo orientado : dos variedades orientadas son cobordantes si y solo si sus números de Pontryagin y Stiefel-Whitney coinciden.