Invariante de Hopf

En matemáticas , en particular en topología algebraica , el invariante de Hopf es un invariante de homotopía de ciertas aplicaciones entre n -esferas .

En 1931, Heinz Hopf utilizó los paralelos de Clifford para construir el mapa de Hopf.

${\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2},}$

y demostró que es esencial, es decir, no homotópico al mapa constante, utilizando el hecho de que el número de enlace de los círculos ${\estilo de visualización \eta}$

${\displaystyle \eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\subconjunto S^{3}}$

es igual a 1, para cualquier . ${\displaystyle x\neq y\in S^{2}}$

Más tarde se demostró que el grupo de homotopía es el grupo cíclico infinito generado por . En 1951, Jean-Pierre Serre demostró que los grupos de homotopía racionales ^[1]${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$${\estilo de visualización \eta}$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{n})\otimes \mathbb {Q}}$

Para una esfera de dimensión impar ( odd) son cero a menos que sea igual a 0 o n . Sin embargo, para una esfera de dimensión par ( n par), hay un bit más de homotopía cíclica infinita en grado . ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización 2n-1}$

Sea una función continua (supongamos que ). Entonces podemos formar el complejo celular${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$${\estilo de visualización n>1}$

${\displaystyle C_{\varphi}=S^{n}\cup _{\varphi}D^{2n},}$

donde es un disco de dimensión - unido a través de . Los grupos de cadenas celulares se generan libremente en las células de grado , por lo que están en grado 0, y y cero en todas partes. La (co-)homología celular es la (co-)homología de este complejo de cadena , y dado que todos los homomorfismos de borde deben ser cero (recuerde que ), la cohomología es $Estilo de visualización D^{2n}}$${\estilo de visualización 2n}$$Estilo de visualización Sn$${\estilo de visualización \varphi}$${\displaystyle C_{\mathrm {celda} }^{*}(C_{\varphi })}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización i}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización 2n}$${\estilo de visualización n>1}$

${\displaystyle H_{\mathrm {celda} }^{i}(C_{\varphi })={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\text{de lo contrario}}.\end{cases}}}$

Denotemos los generadores de los grupos de cohomología por

${\displaystyle H^{n}(C_{\varphi })=\langle \alpha \rangle }$y${\displaystyle H^{2n}(C_{\varphi })=\langle \beta \rangle .}$

Por razones dimensionales, todos los productos de copa entre esas clases deben ser triviales, excepto . Por lo tanto, como un anillo , la cohomología es ${\displaystyle \alpha \sonrisa \alpha }$

${\displaystyle H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\varphi )\beta \rangle .}$

El entero es el invariante de Hopf del mapa . ${\displaystyle h(\varphi )}$${\estilo de visualización \varphi}$

Teorema : La función es un homomorfismo. Si es impar, es trivial (ya que es torsión). Si es par, la imagen de contiene . Además, la imagen del producto de Whitehead de funciones identidad es igual a 2, es decir , donde es la función identidad y es el producto de Whitehead . ${\displaystyle h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z} }$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización h}$$Estilo de visualización: Pi _{2n-1}(S^{n})}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización h}$${\displaystyle 2\mathbb {Z}}$${\displaystyle h([i_{n},i_{n}])=2}$${\displaystyle i_{n}\colon S^{n}\to S^{n}}$${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]}$

El invariante de Hopf es para las aplicaciones de Hopf , donde , correspondientes a las álgebras de división reales , respectivamente, y a la fibración que envía una dirección sobre la esfera al subespacio que genera. Es un teorema, demostrado primero por Frank Adams , y posteriormente por Adams y Michael Atiyah con métodos de K-teoría topológica , que estos son los únicos mapas con invariante de Hopf 1. ${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización n=1,2,4,8}$${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R},\mathbb {C},\mathbb {H},\mathbb {O}}$${\displaystyle S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}}$

JHC Whitehead ha propuesto la siguiente fórmula integral para el invariante de Hopf. ^{[2] [3] : prop. 17.22} Dado un mapa , se considera una forma de volumen en tal que . Como , el pullback es una forma diferencial cerrada : . Por el lema de Poincaré es una forma diferencial exacta : existe una -forma en tal que . El invariante de Hopf está dado entonces por ${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$$Estilo de visualización Sn$${\displaystyle \int _{S^{n}}\omega _{n}=1}$${\displaystyle d\omega _ {n}=0}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}\omega _ {n}}$${\displaystyle d(\varphi ^{*}\omega _ {n})=\varphi ^{*}(d\omega _ {n})=\varphi ^{*}0=0}$${\estilo de visualización (n-1)}$${\estilo de visualización \eta}$$Estilo de visualización S^{2n-1}}$${\displaystyle d\eta =\varphi ^{*}\omega _ {n}}$

${\displaystyle \int _{S^{2n-1}}\eta \cuña d\eta .}$

Se puede definir una noción muy general del invariante de Hopf, pero requiere una cierta cantidad de trabajo teórico de homotopía:

Sea un espacio vectorial y su compactificación de un punto , es decir y ${\estilo de visualización V}$${\displaystyle V^{\infty}}$${\displaystyle V\cong \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle V^{\infty }\cong S^{k}}$Para algunos .${\displaystyle k}$

Si es cualquier espacio puntiagudo (como lo es implícitamente en la sección anterior), y si tomamos el punto en el infinito como el punto base de , entonces podemos formar los productos de cuña ${\displaystyle (X,x_{0})}$${\displaystyle V^{\infty }}$

${\displaystyle V^{\infty }\wedge X.}$

Ahora vamos

${\displaystyle F\colon V^{\infty }\wedge X\to V^{\infty }\wedge Y}$

sea ​​una función estable, es decir, estable bajo el funtor de suspensión reducido . El invariante de Hopf geométrico (estable) de es ${\displaystyle F}$

${\displaystyle h(F)\in \{X,Y\wedge Y\}_{\mathbb {Z} _{2}},}$

un elemento del grupo de homotopía estable -equivariante de aplicaciones de a . Aquí "estable" significa "estable bajo suspensión", es decir, el límite directo sobre (o , si se quiere) de los grupos de homotopía equivariantes ordinarios; y la -acción es la acción trivial sobre y la inversión de los dos factores sobre . Si dejamos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\wedge Y}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\wedge Y}$

${\displaystyle \Delta _{X}\colon X\to X\wedge X}$

denotamos el mapa diagonal canónico y la identidad, entonces el invariante de Hopf se define de la siguiente manera: ${\displaystyle I}$

${\displaystyle h(F):=(F\wedge F)(I\wedge \Delta _{X})-(I\wedge \Delta _{Y})(I\wedge F).}$

Este mapa es inicialmente un mapa de

${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge X}$a${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y,}$

pero bajo el límite directo se convierte en el elemento anunciado del grupo de aplicaciones homotópicas-equivariantes estables. Existe también una versión inestable del invariante de Hopf , para la cual se debe tener en cuenta el espacio vectorial . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle h_{V}(F)}$${\displaystyle V}$

• Adams, J. Frank (1960), "Sobre la no existencia de elementos del invariante de Hopf uno", Annals of Mathematics , 72 (1): 20–104, CiteSeerX  10.1.1.299.4490 , doi :10.2307/1970147, JSTOR  1970147, MR  0141119
• Adams, J. Frank y Atiyah, Michael F. (1966), "La teoría K y el invariante de Hopf", Quarterly Journal of Mathematics , 17 (1): 31–38, doi :10.1093/qmath/17.1.31, MR  0198460
• Crabb, Michael; Ranicki, Andrew (2006). "El invariante geométrico de Hopf" (PDF) .
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 : 637–665, doi :10.1007/BF01457962, ISSN  0025-5831
• Shokurov, AV (2001) [1994], "Invariante de Hopf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press