Formas diferenciales cerradas y exactas

En matemáticas , especialmente en cálculo vectorial y topología diferencial , una forma cerrada es una forma diferencial α cuya derivada exterior es cero ( dα = 0 ); y una forma exacta es una forma diferencial α que es la derivada exterior de otra forma diferencial β , es decir, α = dβ . Por lo tanto, una forma exacta está en la imagen de d , y una forma cerrada está en el núcleo de d (también conocido como espacio nulo).

Para una forma exacta α , α = dβ para alguna forma diferencial β de grado uno menor que el de α . La forma β se denomina "forma potencial" o "primitiva" para α . Dado que la derivada exterior de una forma cerrada es cero, β no es única, sino que puede modificarse mediante la adición de cualquier forma cerrada de grado uno menor que el de α .

Dado que ^d² = 0 , toda forma exacta es necesariamente cerrada. La cuestión de si toda forma cerrada es exacta depende de la topología del dominio de interés. En un dominio contraíble , toda forma cerrada es exacta según el lema de Poincaré . Cuestiones más generales de este tipo en una variedad diferenciable arbitraria son objeto de la cohomología de De Rham , que permite obtener información puramente topológica mediante métodos diferenciales.

Un ejemplo sencillo de una forma cerrada pero no exacta es la 1-forma.${\displaystyle d\theta }$^{[ nota 1 ]} dada por la derivada delargumentoen elplano perforado${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$. Desde${\displaystyle \theta }$En realidad no es una función (véase el párrafo siguiente).${\displaystyle d\theta }$no es una forma exacta. Aun así,${\displaystyle d\theta }$tiene derivada evanescente y por lo tanto es cerrado.

Nótese que el argumento${\displaystyle \theta }$está definido únicamente hasta un múltiplo entero de${\displaystyle 2\pi }$ya que un solo punto${\displaystyle p}$Se le pueden asignar diferentes argumentos.${\displaystyle r}$,${\displaystyle r+2\pi }$, etc. Podemos asignar argumentos de manera localmente consistente alrededor de${\displaystyle p}$, pero no de una manera globalmente consistente. Esto se debe a que si rastreamos un bucle desde${\displaystyle p}$en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen y de vuelta a${\displaystyle p}$, el argumento aumenta por${\displaystyle 2\pi }$En general , el argumento${\displaystyle \theta }$cambios por

${\displaystyle \oint _{S^{1}}d\theta }$

sobre un bucle orientado en sentido contrario a las agujas del reloj${\displaystyle S^{1}}$.

Aunque el argumento${\displaystyle \theta }$técnicamente no es una función, las diferentes definiciones locales de${\displaystyle \theta }$en un punto${\displaystyle p}$difieren entre sí por constantes. Dado que la derivada en${\displaystyle p}$solo utiliza datos locales, y dado que las funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada, el argumento tiene una derivada globalmente bien definida .${\displaystyle d\theta }$". ^{[ nota 2 ]}

El resultado es que${\displaystyle d\theta }$es una forma única en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$que en realidad no es la derivada de ninguna función bien definida${\displaystyle \theta }$Decimos que${\displaystyle d\theta }$no es exacto . Explícitamente,${\displaystyle d\theta }$se da como:

${\displaystyle d\theta ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}},}$

que, por inspección, tiene derivada cero. Nótese que si restringimos el dominio al semiplano derecho, podemos escribir${\displaystyle d\theta =d\left(\tan ^{-1}(y/x)\right)}$pero la función de ángulo${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}(y/x)}$no es ni suave ni continuo${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$(como cualquier elección de función angular). Porque${\displaystyle d\theta }$si tiene derivada evanescente, decimos que es cerrada .

Por otro lado, para la forma única

${\displaystyle \alpha =-y\,dx+x\,dy,}$

${\displaystyle d\alpha \neq 0}$. De este modo${\displaystyle \alpha }$Ni siquiera está cerrado, mucho menos es exacto.

El formulario${\displaystyle d\theta }$genera el grupo de cohomología de De Rham${\displaystyle H_{dR}^{1}(\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\})\cong \mathbb {R} ,}$lo que significa que cualquier forma cerrada${\displaystyle \omega }$es la suma de una forma exacta${\displaystyle df}$y un múltiplo de${\displaystyle d\theta }$:${\displaystyle \omega =df+k\ d\theta }$, dónde${\textstyle k={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S^{1}}\omega }$tiene en cuenta una integral de contorno no trivial alrededor del origen, que es la única obstrucción a una forma cerrada en el plano perforado (localmente la derivada de una función potencial ) que es la derivada de una función definida globalmente.

Formas diferenciales en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$eran bien conocidos en la física matemática del siglo XIX. En el plano, las 0-formas son simplemente funciones, y las 2-formas son funciones multiplicadas por el elemento de área básico.${\displaystyle dx\wedge dy}$, de modo que son las 1-formas

${\displaystyle \alpha =f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy}$

que son de verdadero interés. La fórmula para la derivada exterior${\displaystyle d}$aquí está

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,dx\wedge dy}$

donde los subíndices denotan derivadas parciales . Por lo tanto, la condición para${\displaystyle \alpha }$estar cerrado es

${\displaystyle f_{y}=g_{x}.}$

En este caso si${\displaystyle h(x,y)}$entonces es una función

${\displaystyle dh=h_{x}\,dx+h_{y}\,dy.}$

La implicación de 'exacto' a 'cerrado' es entonces una consecuencia de la simetría de las segundas derivadas , con respecto a${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$.

El teorema del gradiente afirma que una 1-forma es exacta si y solo si la integral de línea de dicha forma depende únicamente de los extremos de la curva, o equivalentemente, si la integral alrededor de cualquier curva cerrada suave es cero.

El lema de Poincaré establece que si B es una bola abierta en R ⁿ , cualquier p -forma cerrada ω definida en B es exacta, para cualquier entero p con 1 ≤ p ≤ n . ^{[ 1 ]}

De manera más general, el lema establece que en un subconjunto abierto contraíble de una variedad (por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), una p -forma cerrada , p > 0, es exacta. ^{[ 2 ]}

Cuando la diferencia de dos formas cerradas es una forma exacta, se dice que son cohomólogas entre sí. Es decir, si ζ y η son formas cerradas, y se puede encontrar algún β tal que

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta }$

Entonces se dice que ζ y η son cohomólogas entre sí. A veces se dice que las formas exactas son cohomólogas a cero . El conjunto de todas las formas cohomólogas a una forma dada (y por lo tanto entre sí) se llama clase de cohomología de De Rham ; el estudio general de dichas clases se conoce como cohomología . No tiene mucho sentido preguntar si una 0-forma (función suave) es exacta, ya que d aumenta el grado en 1; pero las pistas de la topología sugieren que solo la función cero debería llamarse "exacta". Las clases de cohomología se identifican con funciones localmente constantes .

Utilizando homotopías contractivas similares a la empleada en la demostración del lema de Poincaré, se puede demostrar que la cohomología de De Rham es homotópicamente invariante. ^{[ 3 ]}

Consideremos un sistema termodinámico cuyos estados de equilibrio se especifican por${\displaystyle n}$variables termodinámicas,${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$La primera ley de la termodinámica se puede enunciar de la siguiente manera: En cualquier proceso que resulte en un cambio infinitesimal de estado donde la energía interna del sistema cambia en una cantidad${\displaystyle dU(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$y una cantidad de trabajo${\displaystyle dW(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$Se realiza en el sistema, también se debe suministrar una cantidad de calor.

${\displaystyle dU-dW.}$

La segunda ley de la termodinámica es una ley empírica de la naturaleza que dice que no existe ningún sistema termodinámico para el cual${\displaystyle dU=dW}$en cada circunstancia, o en términos matemáticos que, la forma diferencial${\displaystyle dU-dW}$no está cerrado. El teorema de Carathéodory ^{[ 4 ]} afirma además que existe un denominador integrante.${\displaystyle T}$de tal manera que

${\displaystyle dS\equiv {\frac {dU-dW}{T}}}$

es una 1-forma cerrada. El denominador integrador${\displaystyle T}$es la temperatura y la función de estado${\displaystyle S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$es la entropía de equilibrio.

En electrodinámica, el caso del campo magnético${\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {r} )}$La corriente producida por una corriente eléctrica estacionaria es importante. Allí se trabaja con el potencial vectorial.${\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {r} )}$de este campo. Este caso corresponde a k = 2 , y la región definitoria es la completa${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. El vector de densidad de corriente es${\displaystyle {\vec {j}}}$Corresponde a la forma bifásica actual .

${\displaystyle \mathbf {I}$ :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{3}\wedge {\rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{1}\wedge {\rm {d}}x_{2}.}

Para el campo magnético${\displaystyle {\vec {B}}}$ Se obtienen resultados análogos: corresponde a la inducción de dos formas.${\displaystyle \Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots }$y puede derivarse del potencial vectorial.${\displaystyle {\vec {A}}}$, o la forma única correspondiente${\displaystyle \mathbf {A} }$,

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}=\left\{{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right\},{\text{ or }}\Phi _{B}={\rm {d}}\mathbf {A} .}$

De este modo, el potencial vectorial${\displaystyle {\vec {A}}}$corresponde a la forma potencial única

${\displaystyle \mathbf {A}$ :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm {d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}.}

El carácter cerrado de la biforme de inducción magnética corresponde a la propiedad del campo magnético de que no tiene fuente:${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0}$, es decir, que no hay monopolos magnéticos .

En un calibre especial,${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0}$, esto implica para i = 1, 2, 3

${\displaystyle A_{i}({\vec {r}})=\int {\frac {\mu _{0}j_{i}\left({\vec {r}}'\right)\,\,dx_{1}'\,dx_{2}'\,dx_{3}'}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\,.}$

(Aquí${\displaystyle \mu _{0}}$es la constante magnética .

Esta ecuación es notable, porque se corresponde completamente con una fórmula bien conocida para el campo eléctrico.${\displaystyle {\vec {E}}}$, concretamente para el potencial de Coulomb electrostático${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3})}$de una densidad de carga${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2},x_{3})}$En este lugar ya se puede adivinar que

• ${\displaystyle {\vec {E}}}$y${\displaystyle {\vec {B}},}$
• ${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle {\vec {j}},}$
• ${\displaystyle \varphi }$y${\displaystyle {\vec {A}}}$

se pueden unificar en cantidades con seis rsp. cuatro componentes no triviales, que es la base de la invariancia relativista de las ecuaciones de Maxwell .

Si se deja la condición de estacionariedad, en el lado izquierdo de la ecuación mencionada anteriormente se debe agregar, en las ecuaciones para${\displaystyle A_{i}}$, a las tres coordenadas espaciales, como una cuarta variable también el tiempo t , mientras que en el lado derecho, en${\displaystyle j_{i}'}$, el llamado "tiempo retrasado",${\displaystyle t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}}$Debe utilizarse, es decir, se añade al argumento de la densidad de corriente. Finalmente, como antes, se integra sobre las tres coordenadas espaciales primadas. (Como es habitual, c es la velocidad de la luz en el vacío).

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