Teorema del gradiente

El teorema del gradiente , también conocido como el teorema fundamental del cálculo para integrales de línea , establece que una integral de línea a través de un campo gradiente puede evaluarse calculando el campo escalar original en los extremos de la curva. Este teorema generaliza el segundo teorema fundamental del cálculo a cualquier curva en un plano o espacio (generalmente n- dimensional), y no solo a la recta real.

Si $φ : U \subseteq R n \to R$ es una función diferenciable y $γ$ una curva diferenciable en $U$ que comienza en un punto $p$ y termina en un punto $q$ , entonces

$\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$

donde $\nabla φ$ denota el campo vectorial gradiente de $φ$ .

El teorema del gradiente implica que las integrales de línea a través de campos gradiente son independientes de la trayectoria . En física, este teorema es una de las formas de definir una fuerza conservativa . Al considerar $φ$ como potencial, $\nabla φ$ es un campo conservativo . El trabajo realizado por fuerzas conservativas no depende de la trayectoria seguida por el objeto, sino únicamente de los puntos extremos, como muestra la ecuación anterior.

El teorema del gradiente también tiene un recíproco interesante: cualquier campo vectorial independiente de la trayectoria puede expresarse como el gradiente de un campo escalar . Al igual que el propio teorema del gradiente, este recíproco tiene numerosas consecuencias y aplicaciones notables tanto en matemáticas puras como aplicadas.

Prueba

Si $φ$ es una función diferenciable de algún subconjunto abierto $U \subseteq R n$ a $R$ y $r$ es una función diferenciable de algún intervalo cerrado $[a, b]$ a $U$ (nótese que $r$ es diferenciable en los extremos del intervalo $a$ y $b$ . Para ello, $r$ se define en un intervalo mayor que e incluye $[a, b]$ .), entonces por la regla de la cadena multivariada , la función compuesta $φ \circ r$ es diferenciable en $[a, b]$ :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$

para todo $t$ en $[a, b]$ . Aquí el $\cdot$ denota el producto escalar .

Ahora supongamos que el dominio $U$ de $φ$ contiene la curva diferenciable $γ$ con extremos $p$ y $q$ . (Esta está orientada en la dirección de $p$ a $q$ ). Si $r$ parametriza $γ$ para $t$ en $[a, b]$ (es decir, $r$ representa $γ$ como una función de $t$ ), entonces

${\begin{aligned}\int _ _ {\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\int _ {a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{alineado}}$

donde la definición de una integral de línea se utiliza en la primera igualdad, la ecuación anterior se utiliza en la segunda igualdad y el segundo teorema fundamental del cálculo se utiliza en la tercera igualdad. ^{[ 1 ]}

Aunque el teorema del gradiente (también llamado teorema fundamental del cálculo para integrales de línea ) se ha demostrado hasta ahora para una curva diferenciable (que se considera suave), el teorema también se demuestra para una curva suave a trozos, ya que esta curva se forma uniendo múltiples curvas diferenciables, por lo que la demostración para esta curva se realiza mediante la demostración de cada componente de curva diferenciable. ^{[ 2 ]}

Ejemplos

Ejemplo 1

Supongamos que $γ \subset R 2$ es el arco circular orientado en sentido antihorario desde $(5, 0)$ hasta $(-4, 3)$ . Usando la definición de una integral de línea ,

${\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}$

Este resultado se puede obtener de forma mucho más sencilla observando que la función $f(x,y)=xy$ tiene gradiente $\nabla f(x,y)=(y,x)$ , por lo tanto, según el Teorema del Gradiente:

$\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.$

Ejemplo 2

Para un ejemplo más abstracto, supongamos que $γ \subset R n$ tiene extremos $p$ , $q$ , con orientación de $p$ a $q$ . Para $u$ en $R n$ , sea $| u |$ la norma euclidiana de $u$ . Si $α \geq 1$ es un número real, entonces

${\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}$

Aquí la igualdad final se deduce del teorema del gradiente, ya que la función $f (x) = | x | α +1$ es diferenciable en $R n$ si $α \geq 1$ .

Si $α < 1$ , esta igualdad seguirá siendo válida en la mayoría de los casos, pero se debe tener precaución si γ pasa por el origen o lo encierra, porque el campo vectorial integrando $| x | α - 1 x$ no estará definido allí. Sin embargo, el caso $α = -1$ es algo diferente; en este caso, el integrando se convierte en $| x | -2 x = \nabla(log | x |)$ , de modo que la igualdad final se convierte en $log | q | - log | p |$ .

Tenga en cuenta que si $n = 1$ , este ejemplo es simplemente una ligera variante de la regla de potencia familiar del cálculo de una sola variable.

Ejemplo 3

Supongamos que hay $n$ cargas puntuales dispuestas en un espacio tridimensional, y la $i$ -ésima carga puntual tiene carga $Q i$ y está ubicada en la posición $p i$ en $R 3$ . Queremos calcular el trabajo realizado sobre una partícula de carga $q$ cuando viaja de un punto $a$ a un punto $b$ en $R 3$ . Usando la ley de Coulomb , podemos determinar fácilmente que la fuerza sobre la partícula en la posición $r$ será

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}$

Aquí $| u |$ denota la norma euclidiana del vector $u$ en $R 3$ , y $k = 1/(4 πε 0)$ , donde $ε 0$ es la permitividad del vacío .

Sea $γ \subset R 3 - {p 1, ..., p n}$ una curva diferenciable arbitraria de $a$ a $b$ . Entonces el trabajo realizado sobre la partícula es

$W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)$

Ahora, para cada $i$ , el cálculo directo muestra que

${\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.$

Así pues, continuando desde arriba y utilizando el teorema del gradiente,

$W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)$

Hemos terminado. Por supuesto, podríamos haber completado fácilmente este cálculo utilizando el potente lenguaje del potencial electrostático o la energía potencial electrostática (con las fórmulas conocidas $W = -Δ U = - q Δ V$ ). Sin embargo, aún no hemos definido el potencial ni la energía potencial, ya que se requiere el recíproco del teorema del gradiente para demostrar que son funciones bien definidas y diferenciables, y que estas fórmulas son válidas ( véase más adelante ). Por lo tanto, hemos resuelto este problema utilizando únicamente la ley de Coulomb, la definición de trabajo y el teorema del gradiente.

Teorema recíproco del gradiente

El teorema del gradiente establece que si el campo vectorial $F$ es el gradiente de alguna función escalar (es decir, si $F$ es conservativo ), entonces $F$ es un campo vectorial independiente de la trayectoria (es decir, la integral de $F$ sobre alguna curva diferenciable a trozos depende solo de los puntos extremos). Este teorema tiene un poderoso recíproco:

Teorema : Si $F$ es un campo vectorial independiente de la trayectoria, entonces $F$ es el gradiente de alguna función escalar. ^{[ 3 ]}

Es sencillo demostrar que un campo vectorial es independiente de la trayectoria si y solo si la integral del campo vectorial sobre cada bucle cerrado en su dominio es cero. Por lo tanto, la proposición recíproca puede enunciarse alternativamente de la siguiente manera: si la integral de $F$ sobre cada bucle cerrado en el dominio de $F$ es cero, entonces $F$ es el gradiente de alguna función escalar.

Prueba de la inversa

Supongamos que $U$ es un subconjunto abierto y conexo por caminos de $R n$ , y $F : U \to R n$ es un campo vectorial continuo e independiente de caminos. Fijemos algún elemento $a$ de $U$ y definamos $f : U \to R$ mediante $f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$ Aquí $γ [a, x]$ es cualquier curva (diferenciable) en $U$ que comienza en $a$ y termina en $x$ . Sabemos que $f$ está bien definida porque $F$ es independiente de la trayectoria.

Sea $v$ cualquier vector no nulo en $R n$ . Por la definición de la derivada direccional , ${\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}$ Para calcular la integral dentro del límite final, debemos parametrizar $γ [x, x + t v]$ . Dado que $F$ es independiente de la trayectoria, $U$ es abierto y $t$ tiende a cero, podemos suponer que esta trayectoria es una línea recta y parametrizarla como $u (s) = x + s v$ para $0 < s < t$ . Ahora, dado que $u' (s) = v$ , el límite se convierte en $\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$ donde la primera igualdad proviene de la definición de la derivada con el hecho de que la integral es igual a 0 en $t$ = 0, y la segunda igualdad proviene del primer teorema fundamental del cálculo . Así, tenemos una fórmula para $\partial v f$ , (una de las formas de representar la derivada direccional ) donde $v$ es arbitrario; para $f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$ (véase su definición completa arriba), su derivada direccional con respecto a $v$ es ${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$ donde las dos primeras igualdades solo muestran diferentes representaciones de la derivada direccional. Según la definición del gradiente de una función escalar $f$ , $\nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )$ , de esta manera hemos encontrado una función escalar $f$ cuyo gradiente es el campo vectorial independiente de la trayectoria $F$ (es decir, $F$ es un campo vectorial conservativo), como se deseaba. ^{[ 3 ]}

Ejemplo del principio recíproco

Para ilustrar el poder de este principio inverso, citamos un ejemplo con importantes consecuencias físicas . En el electromagnetismo clásico , la fuerza eléctrica es una fuerza independiente de la trayectoria; es decir, el trabajo realizado sobre una partícula que ha regresado a su posición original dentro de un campo eléctrico es cero (suponiendo que no haya campos magnéticos variables).

Por lo tanto, el teorema anterior implica que el campo de fuerza eléctrica $F e : S \to R 3$ es conservativo (donde $S$ es un subconjunto abierto y conectado por caminos de $R 3$ que contiene una distribución de carga ). Siguiendo las ideas de la demostración anterior, podemos establecer un punto de referencia $a$ en $S$ y definir una función $U e : S \to R$ mediante

$U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$

Utilizando la demostración anterior, sabemos que $U e$ está bien definida y es diferenciable, y $F e = -\nabla U e$ (a partir de esta fórmula podemos usar el teorema del gradiente para derivar fácilmente la conocida fórmula para calcular el trabajo realizado por fuerzas conservativas: $W = -Δ U$ ). Esta función $U e$ se suele denominar energía potencial electrostática del sistema de cargas en $S$ (con referencia al cero de potencial $a$ ). En muchos casos, se supone que el dominio $S$ es ilimitado y el punto de referencia $a$ se toma como "infinito", lo cual se puede hacer riguroso utilizando técnicas de límite. Esta función $U e$ es una herramienta indispensable utilizada en el análisis de muchos sistemas físicos.

Generalizaciones

Muchos de los teoremas críticos del cálculo vectorial se generalizan elegantemente a enunciados sobre la integración de formas diferenciales en variedades . En el lenguaje de las formas diferenciales y las derivadas exteriores , el teorema del gradiente establece que

$\int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi$

para cualquier 0-forma , $ϕ$ , definida en alguna curva diferenciable $γ \subset R n$ (aquí se entiende que la integral de $ϕ$ sobre el límite de $γ$ es la evaluación de $ϕ$ en los puntos extremos de γ ).

Nótese la sorprendente similitud entre esta afirmación y el teorema generalizado de Stokes , que dice que la integral de cualquier forma diferencial con soporte compacto $ω$ sobre el límite de alguna variedad orientable $Ω$ es igual a la integral de su derivada exterior $d ω$ sobre todo $Ω$ , es decir,

$\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega$

Esta poderosa afirmación es una generalización del teorema del gradiente, que pasa de las 1-formas definidas en variedades unidimensionales a las formas diferenciales definidas en variedades de dimensión arbitraria.

El enunciado recíproco del teorema del gradiente también tiene una poderosa generalización en términos de formas diferenciales en variedades. En particular, supongamos que $ω$ es una forma definida en un dominio contraíble y que la integral de $ω$ sobre cualquier variedad cerrada es cero. Entonces existe una forma $ψ$ tal que $ω = d ψ$ . Por lo tanto, en un dominio contraíble, toda forma cerrada es exacta . Este resultado se resume en el lema de Poincaré .

Véase también

Referencias

↑ Williamson, Richard E.; Trotter, Hale F. (2004). Matemáticas multivariables . Pearson Education International (4.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall . pág. 374. ISBN 978-0-13-067276-6.
↑ Stewart, James ; Clegg, Dan; Watson, Saleem (2021). "16.3 El teorema fundamental para las integrales de línea". Cálculo (novena ed.). Australia ; Boston, MA, EE. UU.: Cengage . págs. 1182–1185 . ISBN 978-1-337-62418-3.
1 2 Williamson y Trotter 2004 , pág. 410

[1] Williamson, Richard E.; Trotter, Hale F. (2004). Matemáticas multivariables . Pearson Education International (4.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall . pág. 374. ISBN 978-0-13-067276-6.

[2] Stewart, James ; Clegg, Dan; Watson, Saleem (2021). "16.3 El teorema fundamental para las integrales de línea". Cálculo (novena ed.). Australia ; Boston, MA, EE. UU.: Cengage . págs. 1182–1185 . ISBN 978-1-337-62418-3.

[wt-3] 1 2 Williamson y Trotter 2004 , pág. 410

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