Secuencia espectral

En álgebra homológica y topología algebraica , una secuencia espectral es un medio para calcular grupos de homología mediante aproximaciones sucesivas. Las secuencias espectrales son una generalización de las secuencias exactas y, desde su introducción por Jean Leray  (1946a, 1946b), se han convertido en herramientas computacionales importantes, en particular en topología algebraica, geometría algebraica y álgebra homológica.

Motivado por problemas en topología algebraica, Jean Leray introdujo la noción de haz y se encontró frente al problema de calcular la cohomología de haces . Para calcular la cohomología de haces, Leray introdujo una técnica computacional ahora conocida como la secuencia espectral de Leray . Esto dio una relación entre los grupos de cohomología de un haz y los grupos de cohomología del empuje hacia adelante del haz . La relación involucraba un proceso infinito. Leray descubrió que los grupos de cohomología del empuje hacia adelante formaban un complejo de cadena natural , de modo que podía tomar la cohomología de la cohomología. Esta todavía no era la cohomología del haz original, pero estaba un paso más cerca en cierto sentido. La cohomología de la cohomología nuevamente formaba un complejo de cadena, y su cohomología formaba un complejo de cadena, y así sucesivamente. El límite de este proceso infinito era esencialmente el mismo que los grupos de cohomología del haz original.

Pronto se comprendió que la técnica computacional de Leray era un ejemplo de un fenómeno más general. Se encontraron secuencias espectrales en diversas situaciones y dieron lugar a relaciones intrincadas entre grupos de homología y cohomología provenientes de situaciones geométricas como las fibraciones y de situaciones algebraicas que involucraban funtores derivados . Si bien su importancia teórica ha disminuido desde la introducción de las categorías derivadas , siguen siendo la herramienta computacional más eficaz disponible. Esto es cierto incluso cuando muchos de los términos de la secuencia espectral son incalculables.

Desafortunadamente, debido a la gran cantidad de información que contienen las secuencias espectrales, son difíciles de captar. Esta información suele estar contenida en una red de rango tres de grupos o módulos abelianos . Los casos más fáciles de abordar son aquellos en los que la secuencia espectral finalmente colapsa, lo que significa que al avanzar más en la secuencia no se produce información nueva. Incluso cuando esto no sucede, a menudo es posible obtener información útil de una secuencia espectral mediante diversos trucos.

Fije una categoría abeliana , como una categoría de módulos sobre un anillo , y un entero no negativo . Una secuencia espectral cohomológica es una secuencia de objetos y endomorfismos , tal que para cada$estilo de visualización r_{0}$${\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}}$$Estilo de visualización E_{r}$${\displaystyle d_{r}:E_{r}\to E_{r}}$${\displaystyle r\geq r_{0}}$

1. ${\displaystyle d_{r}\circ d_{r}=0}$,
2. ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})}$, la homología de con respecto a .$Estilo de visualización E_{r}$$estilo de visualización d_{r}}$

Generalmente se suprimen los isomorfismos y en su lugar se escribe. Un objeto se llama hoja (como en una hoja de papel ), o a veces página o término ; un endomorfismo se llama mapa de límites o diferencial . A veces se llama objeto derivado de . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})}$$Estilo de visualización E_{r}$$estilo de visualización d_{r}}$$Estilo de visualización E_{r+1}}$$Estilo de visualización E_{r}$

En realidad, las secuencias espectrales ocurren principalmente en la categoría de módulos doblemente graduados sobre un anillo R (o haces doblemente graduados de módulos sobre un haz de anillos), es decir, cada hoja es un módulo R bigrado. Por lo tanto, en este caso, una secuencia espectral cohomológica es una secuencia de módulos R bigrados y para cada módulo la suma directa de endomorfismos de bigrado , tal que para cada se cumple que: ${\textstyle E_{r}=\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}E_{r}^{p,q}.}$${\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}}$${\displaystyle \{E_{r}^{p,q}\}_{p,q}}$${\displaystyle d_{r}=(d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1})_{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}}$${\estilo de visualización (r,1-r)}$${\displaystyle r\geq r_{0}}$

1. ${\displaystyle d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0}$,
2. ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})}$.

La notación utilizada aquí se llama grado complementario . Algunos autores escriben en cambio, donde es el grado total . Dependiendo de la secuencia espectral, el mapa de límites en la primera hoja puede tener un grado que corresponde a r = 0, r = 1 o r = 2. Por ejemplo, para la secuencia espectral de un complejo filtrado, descrito a continuación, r ₀ = 0, pero para la secuencia espectral de Grothendieck , r ₀ = 2. Por lo general, r ₀ es cero, uno o dos. En la situación sin gradación descrita anteriormente, r ₀ es irrelevante. ${\displaystyle E_{r}^{d,q}}$${\displaystyle d=p+q}$

En la mayoría de los casos, los objetos de los que hablamos son complejos de cadenas que se presentan en orden descendente (como el anterior) o ascendente. En el último caso, al reemplazar con y con (bigrado ), se obtiene la definición de una secuencia espectral homológica de manera análoga al caso cohomológico. ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$$Estilo de visualización E_{p,q}^{r}}$${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}}$${\displaystyle d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{pr,q+r-1}^{r}}$${\estilo de visualización (-r,r-1)}$

El ejemplo más elemental en la situación no graduada es un complejo de cadena C _• . Un objeto C _• en una categoría abeliana de complejos de cadena viene naturalmente con un diferencial d . Sea r ₀ = 0, y sea E 0 _C • _. Esto obliga a E ₁ a ser el complejo H ( C _• ): En la ubicación i 'ésima este es el grupo de homología i 'ésimo de C • _. El único diferencial natural en este nuevo complejo es la función cero, por lo que dejamos d ₁ = 0. Esto obliga a ser igual a , y nuevamente nuestro único diferencial natural es la función cero. Poner el diferencial cero en todas las demás hojas da una secuencia espectral cuyos términos son: $Estilo de visualización E_{2}$$Estilo de visualización E_{1}$

• E0 = C _•​
• E _r = H ( C _• ) para todo r ≥ 1.

Los términos de esta secuencia espectral se estabilizan en la primera hoja porque su único diferencial no trivial estaba en la hoja cero. En consecuencia, no podemos obtener más información en pasos posteriores. Por lo general, para obtener información útil de hojas posteriores, necesitamos una estructura adicional en la . $Estilo de visualización E_{r}$

Una secuencia espectral doblemente graduada tiene una enorme cantidad de datos que seguir, pero hay una técnica de visualización común que hace que la estructura de la secuencia espectral sea más clara. Tenemos tres índices, r , p y q . Un objeto puede verse como la página cuadriculada de un libro. En estas hojas, tomaremos p como la dirección horizontal y q como la dirección vertical. En cada punto de la red tenemos el objeto . Ahora, pasar a la siguiente página significa tomar homología, es decir, la página es un subcociente de la página. El grado total n = p + q corre diagonalmente, de noroeste a sureste, a través de cada hoja. En el caso homológico, los diferenciales tienen bigrado (− r ,  r  − 1), por lo que disminuyen n en uno. En el caso cohomológico, n aumenta en uno. Los diferenciales cambian su dirección con cada giro con respecto a r. $Estilo de visualización E_{r}$${\displaystyle r^{ésimo}}$${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle (r+1)^{ésimo}}$${\displaystyle r^{ésimo}}$

Las flechas rojas muestran el caso de una secuencia del primer cuadrante (ver ejemplo a continuación), donde solo los objetos del primer cuadrante son distintos de cero. Al pasar las páginas, el dominio o el codominio de todos los diferenciales se vuelven cero.

El conjunto de secuencias espectrales cohomológicas forma una categoría: un morfismo de secuencias espectrales es por definición una colección de aplicaciones que son compatibles con las diferenciales, es decir , y con los isomorfismos dados entre la cohomología del paso r y las láminas (r+1) de E y E' , respectivamente: . En el caso bigradado, también deben respetar la graduación:${\displaystyle f:E\to E'}$${\displaystyle f_{r}:E_{r}\to E'_{r}}$${\displaystyle f_{r}\circ d_{r}=d'_{r}\circ f_{r}}$${\displaystyle f_{r+1}(E_{r+1})\,=\,f_{r+1}(H(E_{r}))\,=\,H(f_{r}(E_{r}))}$${\displaystyle f_{r}(E_{r}^{p,q})\subconjunto {E'_{r}}^{p,q}.}$

Un producto de copa da una estructura de anillo a un grupo de cohomología, convirtiéndolo en un anillo de cohomología . Por lo tanto, es natural considerar también una secuencia espectral con una estructura de anillo. Sea una secuencia espectral de tipo cohomológico. Decimos que tiene estructura multiplicativa si (i) son álgebras diferenciales graduadas (doblemente graduadas) y (ii) la multiplicación en es inducida por esa en a través del paso a la cohomología. ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$$Estilo de visualización E_{r}$$Estilo de visualización E_{r+1}}$$Estilo de visualización E_{r}$

Un ejemplo típico es la secuencia espectral cohomológica de Serre para una fibración , cuando el grupo de coeficientes es un anillo R. Tiene la estructura multiplicativa inducida por los productos de copa de la fibra y la base en la página -. ^[1] Sin embargo, en general, el término límite no es isomorfo como un álgebra graduada a H( E ; R ). ^[2] La estructura multiplicativa puede ser muy útil para calcular diferenciales en la secuencia. ^[3]${\displaystyle F\a E\a B}$$Estilo de visualización E_{2}$${\displaystyle E_{\infty}}$

Las secuencias espectrales se pueden construir de varias maneras. En topología algebraica, una pareja exacta es quizás la herramienta más común para la construcción. En geometría algebraica, las secuencias espectrales se construyen generalmente a partir de filtraciones de complejos de cocadenas.

Otra técnica para construir secuencias espectrales es el método de pares exactos de William Massey . Los pares exactos son particularmente comunes en topología algebraica. A pesar de esto, son impopulares en álgebra abstracta, donde la mayoría de las secuencias espectrales provienen de complejos filtrados.

Para definir pares exactos, comenzamos nuevamente con una categoría abeliana. Como antes, en la práctica, esta suele ser la categoría de módulos doblemente graduados sobre un anillo. Un par exacto es un par de objetos ( A , C ), junto con tres homomorfismos entre estos objetos: f  : A → A , g  : A → C y h  : C → A sujetos a ciertas condiciones de exactitud:

• Imagen f = Núcleo g
• Imagen g = Núcleo h
• Imagen h = Núcleo f

Abreviaremos estos datos como ( A , C , f , g , h ). Las parejas exactas se representan normalmente como triángulos _. Veremos que C corresponde al término E0 de la secuencia espectral y que A son algunos datos auxiliares.

Para pasar a la siguiente hoja de la secuencia espectral, formaremos la pareja derivada . Fijamos:

• d = goh ​ ​
• A' = f ( A )
• C' = Kerd / Imd
• f ' = f | _A' , la restricción de f a A'
• h'  : C' → A' es inducida por h . Es fácil ver que h induce dicha función.
• g'  : A' → C' se define en elementos de la siguiente manera: Para cada a en A' , escribe a como f ( b ) para algún b en A . g' ( a ) se define como la imagen de g ( b ) en C' . En general, g' se puede construir utilizando uno de los teoremas de incrustación para categorías abelianas.

A partir de aquí es sencillo comprobar que ( A' , C' , f ' , g' , h' ) es una pareja exacta. C' corresponde al término E ₁ de la secuencia espectral. Podemos iterar este procedimiento para obtener parejas exactas ( A ^{( n )} , C ^{( n )} , f ^{( n )} , g ^{( n )} , h ^{( n )} ).

Para construir una secuencia espectral ^, sea E _n C ^{( n )} y d _n g ^{( n )} o h ⁽ n ⁾ .

• Secuencia espectral de Serre ^[4] : ​​se utiliza para calcular la (co)homología de una fibración.
• Secuencia espectral de Atiyah–Hirzebruch : se utiliza para calcular la (co)homología de teorías de cohomología extraordinarias, como la teoría K
• Secuencia espectral de Bockstein .
• Secuencias espectrales de complejos filtrados

Un tipo muy común de secuencia espectral proviene de un complejo de cocadena filtrado , ya que induce naturalmente un objeto bigrado. Consideremos un complejo de cocadena junto con una filtración descendente, . Requerimos que el mapa de límites sea compatible con la filtración, es decir , y que la filtración sea exhaustiva , es decir, la unión del conjunto de todos es el complejo de cadena completo . Entonces existe una secuencia espectral con y . ^[5] Más adelante, también asumiremos que la filtración es de Hausdorff o separada , es decir, la intersección del conjunto de todos es cero. ${\displaystyle (C^{\bullet },d)}$${\textstyle ...\supset \,F^{-2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{-1}C^{\bullet }\supset F^{0}C^{\bullet }\,\supset \,F^{1}C^{\bullet }\,\supset \,F^{2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{3}C^{\bullet }\,\supset ...\,}$${\textstyle d(F^{p}C^{n})\subconjunto F^{p}C^{n+1}}$${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$${\textstyle C^{\bullet}}$${\textstyle E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$${\textstyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(F^{p}C^{\bullet }/F^{p+1}C^{\bullet })}$${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$

La filtración es útil porque da una medida de proximidad a cero: a medida que p aumenta, se acerca cada vez más a cero. Construiremos una secuencia espectral a partir de esta filtración donde los colímites y cociclos en láminas posteriores se acercan cada vez más a los colímites y cociclos en el complejo original. Esta secuencia espectral está doblemente graduada por el grado de filtración p y el grado complementario q = n − p . ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$

${\displaystyle C^{\bullet}}$tiene una única clasificación y una filtración, por lo que primero construimos un objeto con clasificación doble para la primera página de la secuencia espectral. Para obtener la segunda clasificación, tomaremos el objeto clasificado asociado con respecto a la filtración. Lo escribiremos de una manera inusual que se justificará en el paso: $Estilo de visualización E_{1}$

${\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle B_{0}^{p,q}=0}$

${\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+1,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}}$

${\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q}}$

Dado que asumimos que el mapa de límites era compatible con la filtración, es un objeto doblemente graduado y hay un mapa de límites doblemente graduado natural en . Para obtener , tomamos la homología de . ${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{0}}$

${\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\rightarrow F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}/F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{{\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}}}}$

${\displaystyle E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}}$

Tenga en cuenta que y se pueden escribir como las imágenes en de ${\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}}$${\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}}$${\displaystyle E_{0}^{p,q}}$

${\displaystyle Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

y que entonces tenemos

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1,q-1}}}.}$

${\displaystyle Z_{1}^{p,q}}$son exactamente los elementos que el diferencial eleva un nivel en la filtración, y son exactamente la imagen de los elementos que el diferencial eleva niveles cero en la filtración. Esto sugiere que deberíamos elegir ser los elementos que el diferencial eleva r niveles en la filtración y ser la imagen de los elementos que el diferencial eleva r-1 niveles en la filtración. En otras palabras, la secuencia espectral debería satisfacer ${\displaystyle B_{1}^{p,q}}$${\displaystyle Z_{r}^{p,q}}$${\displaystyle B_{r}^{p,q}}$

${\displaystyle Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p+1,q-1}}}}$

y deberíamos tener la relación

${\displaystyle B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).}$

Para que esto tenga sentido, debemos encontrar un diferencial en cada uno y verificar que conduce a una homología isomorfa a . El diferencial ${\displaystyle d_{r}}$${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle E_{r+1}}$

${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}}$

se define restringiendo el diferencial original definido en al subobjeto . Es sencillo comprobar que la homología de con respecto a este diferencial es , por lo que esto da una secuencia espectral. Desafortunadamente, el diferencial no es muy explícito. Determinar diferenciales o encontrar formas de evitarlos es uno de los principales desafíos para aplicar con éxito una secuencia espectral. ${\displaystyle d}$${\displaystyle C^{p+q}}$${\displaystyle Z_{r}^{p,q}}$${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle E_{r+1}}$

• Secuencia espectral de Hodge-de Rham
• Secuencia espectral de un complejo doble
• Se puede utilizar para construir estructuras Hodge mixtas ^[6]

Otra secuencia espectral común es la secuencia espectral de un complejo doble. Un complejo doble es una colección de objetos C _i,j para todos los enteros i y j junto con dos diferenciales, d ^I y d ^II . Se supone que d ^I disminuye i , y se supone que d ^II disminuye j . Además, suponemos que los diferenciales anticonmutan , de modo que d ^I d ^II + d ^II d ^I = 0. Nuestro objetivo es comparar las homologías iteradas y . Haremos esto filtrando nuestro complejo doble de dos formas diferentes. Aquí están nuestras filtraciones: ${\displaystyle H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))}$${\displaystyle H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle (C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{if }}i\geq p\end{cases}}}$

${\displaystyle (C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{if }}j\geq p\end{cases}}}$

Para obtener una secuencia espectral, nos limitaremos al ejemplo anterior. Definimos el complejo total T ( C _•,• ) como el complejo cuyo término n es y cuya diferencial es d ^I + d ^II . Este es un complejo porque d ^I y d ^II son diferenciales anticonmutantes. Las dos filtraciones sobre C _i,j dan dos filtraciones sobre el complejo total: ${\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}}$

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}}$

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j}}$

Para demostrar que estas secuencias espectrales dan información sobre las homologías iteradas, calcularemos los términos E ⁰ , E ¹ y E ² de la filtración I en T ( C _•,• ). El término E ^{0 es claro:}

${\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},}$

donde n = p + q .

Para encontrar el término E ¹ , necesitamos determinar d ^I + d ^II en E ⁰ . Observe que la diferencial debe tener grado −1 con respecto a n , por lo que obtenemos una función

${\displaystyle d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}}$

En consecuencia, la diferencial en E ⁰ es la función C _{p , q} → C _{p , q −1} inducida por d ^I + d ^II . Pero d ^I tiene el grado incorrecto para inducir dicha función, por lo que d ^I debe ser cero en E ⁰ . Eso significa que la diferencial es exactamente d ^II , por lo que obtenemos

${\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }).}$

Para encontrar E ² , necesitamos determinar

${\displaystyle d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{II}(C_{p+1,\bullet })}$

Como E ¹ era exactamente la homología con respecto a d ^II , d ^II es cero en E ¹ . En consecuencia, obtenemos

${\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

El uso de la otra filtración nos da una secuencia espectral diferente con un término E ² similar :

${\displaystyle {}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

Lo que queda por hacer es encontrar una relación entre estas dos secuencias espectrales. Resultará que, a medida que r aumenta, las dos secuencias serán lo suficientemente similares como para permitir comparaciones útiles.

Sea E _r una secuencia espectral, comenzando, digamos, con r = 1. Entonces hay una secuencia de subobjetos

${\displaystyle 0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{1}}$

de tal manera que ; de ​​hecho, recursivamente dejamos y dejamos ser de modo que sean el núcleo y la imagen de${\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1}}$${\displaystyle Z_{0}=E_{1},B_{0}=0}$${\displaystyle Z_{r},B_{r}}$${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1}}$${\displaystyle E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.}$

Luego dejamos y ${\displaystyle Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}}$

${\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }}$;

se llama término límite . (Por supuesto, no es necesario que exista en la categoría, pero esto no suele ser un problema ya que, por ejemplo, en la categoría de módulos existen dichos límites o ya que en la práctica una secuencia espectral con la que se trabaja tiende a degenerar; solo hay un número finito de inclusiones en la secuencia anterior). ${\displaystyle E_{\infty }}$

Decimos que una secuencia espectral converge débilmente si hay un objeto graduado con una filtración para cada , y para cada existe un isomorfismo . Converge a si la filtración es de Hausdorff, es decir . Escribimos ${\displaystyle H^{\bullet }}$${\displaystyle F^{\bullet }H^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}}$${\displaystyle H^{\bullet }}$${\displaystyle F^{\bullet }H^{n}}$${\displaystyle \cap _{p}F^{p}H^{\bullet }=0}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n}}$

para significar que siempre que p + q = n , converge a . Decimos que una secuencia espectral linda con si para cada existe tal que para todos , . Entonces es el término límite. La secuencia espectral es regular o degenera en si las diferenciales son cero para todos . Si en particular existe , tal que la hoja está concentrada en una sola fila o una sola columna, entonces decimos que colapsa . En símbolos, escribimos: ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$${\displaystyle p,q}$${\displaystyle r(p,q)}$${\displaystyle r\geq r(p,q)}$${\displaystyle E_{r}^{p,q}=E_{r(p,q)}^{p,q}}$${\displaystyle E_{r(p,q)}^{p,q}=E_{\infty }^{p,q}}$${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle d_{r}^{p,q}}$${\displaystyle r\geq r_{0}}$${\displaystyle r_{0}\geq 2}$${\displaystyle r_{0}^{th}}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}}$

La p indica el índice de filtración. Es muy común escribir el término en el lado izquierdo del pilar, porque es el término más útil de la mayoría de las secuencias espectrales. La secuencia espectral de un complejo de cadena sin filtrar se degenera en la primera lámina (ver el primer ejemplo): como no ocurre nada después de la lámina cero, la lámina límite es la misma que . ${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$${\displaystyle E_{\infty }}$${\displaystyle E_{1}}$

La secuencia exacta de cinco términos de una secuencia espectral relaciona ciertos términos de bajo grado y términos E _∞ .

Observe que tenemos una cadena de inclusiones:

${\displaystyle Z_{0}^{p,q}\supseteq Z_{1}^{p,q}\supseteq Z_{2}^{p,q}\supseteq \cdots \supseteq B_{2}^{p,q}\supseteq B_{1}^{p,q}\supseteq B_{0}^{p,q}}$

Podemos preguntarnos qué sucede si definimos

${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q},}$

${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q},}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {Z_{\infty }^{p,q}}{B_{\infty }^{p,q}+Z_{\infty }^{p+1,q-1}}}.}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$es un candidato natural para el estribo de esta secuencia espectral. La convergencia no es automática, pero ocurre en muchos casos. En particular, si la filtración es finita y consta de exactamente r pasos no triviales, entonces la secuencia espectral degenera después de la r- ésima hoja. La convergencia también ocurre si el complejo y la filtración están acotados por debajo o por encima.

Para describir el apoyo de nuestra secuencia espectral con más detalle, observe que tenemos las fórmulas:

${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1})}$

${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }({\mbox{im }}d^{p,q-r}:F^{p-r}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

Para ver lo que esto implica, recordemos que asumimos que la filtración fue separada. Esto implica que a medida que r aumenta, los núcleos se reducen, hasta que nos quedamos con . Para , recordemos que asumimos que la filtración fue exhaustiva. Esto implica que a medida que r aumenta, las imágenes crecen hasta llegar a . Concluimos ${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}}$${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1})}$${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}}$${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}={\text{im }}(C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}$,

es decir, el punto de unión de la secuencia espectral es la parte graduada p de la homología (p+q) de C. Si nuestra secuencia espectral converge, entonces concluimos que:

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}$

Usando la secuencia espectral de un complejo filtrado, podemos derivar la existencia de secuencias largas y exactas . Elija una secuencia corta y exacta de complejos de cocadena 0 → A ^• → B ^• → C ^• → 0, y llamemos al primer mapa f ^•  : A ^• → B ^• . Obtenemos mapas naturales de objetos de homología H ⁿ ( A ^• ) → H ⁿ ( B ^• ) → H ⁿ ( C ^• ), y sabemos que esto es exacto en el medio. Usaremos la secuencia espectral de un complejo filtrado para encontrar el homomorfismo de conexión y para probar que la secuencia resultante es exacta. Para comenzar, filtramos B ^• :

${\displaystyle F^{0}B^{n}=B^{n}}$

${\displaystyle F^{1}B^{n}=A^{n}}$

${\displaystyle F^{2}B^{n}=0}$

Esto da como resultado:

${\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {F^{p}B^{p+q}}{F^{p+1}B^{p+q}}}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\C^{q}&{\text{if }}p=0\\A^{q+1}&{\text{if }}p=1\end{cases}}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(C^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\H^{q+1}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}}$

La diferencial tiene bigrado (1, 0), por lo que d _0,q  : H ^q ( C ^• ) → H ^{q +1} ( A ^• ). Estos son los homomorfismos de conexión del lema de la serpiente y, junto con las funciones A ^• → B ^• → C ^• , dan una secuencia:

${\displaystyle \cdots \rightarrow H^{q}(B^{\bullet })\rightarrow H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\rightarrow \cdots }$

Queda por demostrar que esta secuencia es exacta en los puntos A y C. Nótese que esta secuencia espectral degenera en el término E ₂ porque las diferenciales tienen bigrado (2, −1). En consecuencia, el término E ₂ es el mismo que el término E _∞ :

${\displaystyle E_{2}^{p,q}\cong {\text{gr}}_{p}H^{p+q}(B^{\bullet })={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\{\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}}$

Pero también tenemos una descripción directa del término E ₂ como homología del término E _1. Estas dos descripciones deben ser isomorfas:

${\displaystyle H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })\cong \ker d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })}$

${\displaystyle {\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\cong H^{q+1}(A^{\bullet })/({\mbox{im }}d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet }))}$

El primero da exactitud en el punto C y el segundo da exactitud en el punto A.

Utilizando el pilar para un complejo filtrado, encontramos que:

${\displaystyle H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

En general, las dos gradaciones de H ^p+q (T(C _•,• )) son distintas . A pesar de ello, todavía es posible obtener información útil de estas dos secuencias espectrales.

Sea R un anillo, sea M un módulo R derecho y N un módulo R izquierdo . Recordemos que los funtores derivados del producto tensorial se denotan Tor . Tor se define utilizando una resolución proyectiva de su primer argumento. Sin embargo, resulta que . Si bien esto se puede verificar sin una secuencia espectral, es muy fácil con secuencias espectrales. ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)}$

Elijamos resoluciones proyectivas y de M y N , respectivamente. Considérelo como complejos que se anulan en grado negativo y que tienen diferenciales d y e , respectivamente. Podemos construir un complejo doble cuyos términos sean y cuyos diferenciales sean y . (El factor de −1 es tal que los diferenciales se anticonmutan). Como los módulos proyectivos son planos, tomar el producto tensorial con un módulo proyectivo conmuta con tomar homología, por lo que obtenemos: ${\displaystyle P_{\bullet }}$${\displaystyle Q_{\bullet }}$${\displaystyle C_{i,j}=P_{i}\otimes Q_{j}}$${\displaystyle d\otimes 1}$${\displaystyle (-1)^{i}(1\otimes e)}$

${\displaystyle H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{II}(Q_{\bullet }))}$

${\displaystyle H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet })\otimes Q_{\bullet })}$

Como los dos complejos son resoluciones, su homología desaparece fuera del grado cero. En el grado cero, nos quedamos con

${\displaystyle H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes N)=\operatorname {Tor} _{p}(M,N)}$

${\displaystyle H_{q}^{II}(M\otimes Q_{\bullet })=\operatorname {Tor} _{q}(N,M)}$

En particular, los términos se anulan excepto a lo largo de las líneas q = 0 (para la secuencia espectral I ) y p = 0 (para la secuencia espectral II ). Esto implica que la secuencia espectral se degenera en la segunda lámina, por lo que los términos E ^∞ son isomorfos a los términos E ² : ${\displaystyle E_{p,q}^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}(M,N)\cong E_{p}^{\infty }=H_{p}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}(N,M)\cong E_{q}^{\infty }=H_{q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

Finalmente, cuando p y q son iguales, los dos lados derechos son iguales y se sigue la conmutatividad de Tor.

Considere una secuencia espectral donde se anula para todos menores que algunos y para todos menores que algunos . Si y pueden elegirse para que sean cero, esto se llama una secuencia espectral del primer cuadrante . La secuencia colinda porque se cumple para todos si y . Para ver esto, note que el dominio o el codominio del diferencial es cero para los casos considerados. En términos visuales, las láminas se estabilizan en un rectángulo creciente (vea la imagen de arriba). Sin embargo, la secuencia espectral no necesita degenerar, porque las aplicaciones diferenciales podrían no ser todas cero a la vez. De manera similar, la secuencia espectral también converge si se anula para todos mayores que algunos y para todos mayores que algunos . ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle i\geq 0}$${\displaystyle r>p}$${\displaystyle r>q+1}$${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q_{0}}$

Sea una secuencia espectral homológica tal que para todo p distinto de 0, 1. Visualmente, esta es la secuencia espectral con -page ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$${\displaystyle E_{p,q}^{2}=0}$${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&E_{1,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&E_{1,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&E_{1,0}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,-1}^{2}&E_{1,-1}^{2}&0&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\end{matrix}}}$

Los diferenciales en la segunda página tienen grado (-2, 1), por lo que tienen la forma

${\displaystyle d_{p,q}^{2}:E_{p,q}^{2}\to E_{p-2,q+1}^{2}}$

Estos mapas son todos cero ya que son

${\displaystyle d_{0,q}^{2}:E_{0,q}^{2}\to 0}$,${\displaystyle d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0}$

Por lo tanto, la secuencia espectral se degenera: . Digamos que converge a con una filtración ${\displaystyle E^{\infty }=E^{2}}$${\displaystyle H_{*}}$

${\displaystyle 0=F_{-1}H_{n}\subset F_{0}H_{n}\subset \dots \subset F_{n}H_{n}=H_{n}}$

tal que . Entonces , , , , etc. Por lo tanto, existe la secuencia exacta: ^[7]${\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}}$${\displaystyle F_{0}H_{n}=E_{0,n}^{2}}$${\displaystyle F_{1}H_{n}/F_{0}H_{n}=E_{1,n-1}^{2}}$${\displaystyle F_{2}H_{n}/F_{1}H_{n}=0}$${\displaystyle F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0}$

${\displaystyle 0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0}$.

A continuación, sea una secuencia espectral cuya segunda página consta únicamente de dos líneas q = 0, 1. No es necesario que degenere en la segunda página, pero sí lo hace en la tercera, ya que las diferenciales allí tienen grado (-3, 2). Nótese que , ya que el denominador es cero. De manera similar, . Por lo tanto, ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$${\displaystyle E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})}$${\displaystyle E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})}$

${\displaystyle 0\to E_{p,0}^{\infty }\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to E_{p-2,1}^{\infty }\to 0}$.

Ahora, digamos que la secuencia espectral converge a H con una filtración F como en el ejemplo anterior. Como , , etc., tenemos: . Juntando todo, se obtiene: ^[8]${\displaystyle F_{p-2}H_{p}/F_{p-3}H_{p}=E_{p-2,2}^{\infty }=0}$${\displaystyle F_{p-3}H_{p}/F_{p-4}H_{p}=0}$${\displaystyle 0\to E_{p-1,1}^{\infty }\to H_{p}\to E_{p,0}^{\infty }\to 0}$

${\displaystyle \cdots \to H_{p+1}\to E_{p+1,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-1,1}^{2}\to H_{p}\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to H_{p-1}\to \dots .}$

El cálculo de la sección anterior se generaliza de manera sencilla. Consideremos una fibración sobre una esfera:

${\displaystyle F{\overset {i}{\to }}E{\overset {p}{\to }}S^{n}}$

con n al menos 2. Existe la secuencia espectral de Serre :

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))\Rightarrow H_{p+q}(E)}$;

es decir, con cierta filtración . ${\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}(E)/F_{p-1}H_{p+q}(E)}$${\displaystyle F_{\bullet }}$

Dado que es distinto de cero solo cuando p es cero o n e igual a Z en ese caso, vemos que consta de solo dos líneas , por lo tanto, la -página está dada por ${\displaystyle H_{p}(S^{n})}$${\displaystyle E_{p,q}^{2}}$${\displaystyle p=0,n}$${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,0}^{2}&0&\cdots \\\end{matrix}}}$

Además, dado que

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))=H_{q}(F)}$

Por el teorema del coeficiente universal , la página se ve así ${\displaystyle p=0,n}$${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots \\\end{matrix}}}$

Dado que los únicos diferenciales distintos de cero están en la página, dado por ${\displaystyle E^{n}}$

${\displaystyle d_{n,q}^{n}:E_{n,q}^{n}\to E_{0,q+n-1}^{n}}$

cual es

${\displaystyle d_{n,q}^{n}:H_{q}(F)\to H_{q+n-1}(F)}$

La secuencia espectral converge en . Calculando obtenemos una secuencia exacta ${\displaystyle E^{n+1}=E^{\infty }}$${\displaystyle E^{n+1}}$

${\displaystyle 0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to E_{n,q-n}^{n}{\overset {d}{\to }}E_{0,q-1}^{n}\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.}$

y escrito usando los grupos de homología, esto es

${\displaystyle 0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F)\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.}$

Para establecer cuáles son los dos términos, escribimos , y como , etc., tenemos: y por lo tanto, como , ${\displaystyle E^{\infty }}$${\displaystyle H=H(E)}$${\displaystyle F_{1}H_{q}/F_{0}H_{q}=E_{1,q-1}^{\infty }=0}$${\displaystyle E_{n,q-n}^{\infty }=F_{n}H_{q}/F_{0}H_{q}}$${\displaystyle F_{n}H_{q}=H_{q}}$

${\displaystyle 0\to E_{0,q}^{\infty }\to H_{q}\to E_{n,q-n}^{\infty }\to 0.}$

Esta es la secuencia exacta

${\displaystyle 0\to H_{q}(F)\to H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to 0.}$

Juntando todos los cálculos se obtiene: ^[9]

${\displaystyle \dots \to H_{q}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q}(E)\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q-1}(E)\to H_{q-n-1}(F)\to \dots }$

(La secuencia de Gysin se obtiene de manera similar).

Con un cambio de notación obvio, el tipo de cálculos en los ejemplos anteriores también se puede realizar para una secuencia espectral cohomológica. Sea una secuencia espectral del primer cuadrante que converge a H con la filtración decreciente ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$

${\displaystyle 0=F^{n+1}H^{n}\subset F^{n}H^{n}\subset \dots \subset F^{0}H^{n}=H^{n}}$

de modo que como es cero si p o q es negativo, tenemos: ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}.}$${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$

${\displaystyle 0\to E_{\infty }^{0,1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to E_{\infty }^{2,0}\to 0.}$

Ya que por la misma razón y puesto que${\displaystyle E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}}$${\displaystyle F^{2}H^{1}=0,}$

${\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0}$.

Dado que , . Al apilar las secuencias, obtenemos la denominada secuencia exacta de cinco términos : ${\displaystyle F^{3}H^{2}=0}$${\displaystyle E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}}$

${\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to H^{2}.}$

Sea una sucesión espectral. Si para cada q < 0, entonces debe ser que: para r ≥ 2, ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$${\displaystyle E_{p,q}^{r}=0}$

${\displaystyle E_{p,0}^{r+1}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{r}\to E_{p-r,r-1}^{r})}$

Como el denominador es cero, por lo tanto, existe una sucesión de monomorfismos:

${\displaystyle E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}}$.

Se denominan mapas de aristas. De manera similar, si para cada p < 0, entonces existe una secuencia de epimorfismos (también denominados mapas de aristas): ${\displaystyle E_{p,q}^{r}=0}$

${\displaystyle E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}}$.

La transgresión es un mapa parcialmente definido (más precisamente, un mapa de un subobjeto a un cociente ).

${\displaystyle \tau :E_{p,0}^{2}\to E_{0,p-1}^{2}}$

dado como una composición , siendo los mapas primero y último los inversos de los mapas de aristas. ^[10]${\displaystyle E_{p,0}^{2}\to E_{p,0}^{p}{\overset {d}{\to }}E_{0,p-1}^{p}\to E_{0,p-1}^{2}}$

Para una secuencia espectral de tipo cohomológico, se cumplen los enunciados análogos. Si para cada q < 0, entonces existe una secuencia de epimorfismos. ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle E_{r}^{p,q}=0}$

${\displaystyle E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}}$.

Y si para cada p < 0, entonces existe una secuencia de monomorfismos: ${\displaystyle E_{r}^{p,q}=0}$

${\displaystyle E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}}$.

La transgresión es un mapa no necesariamente bien definido:

${\displaystyle \tau :E_{2}^{0,q-1}\to E_{2}^{q,0}}$

inducido por . ${\displaystyle d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}}$

La determinación de estos mapas es fundamental para calcular muchos diferenciales en la secuencia espectral de Serre . Por ejemplo, el mapa de transgresión determina el diferencial ^[11]

${\displaystyle d_{n}:E_{n,0}^{n}\to E_{0,n-1}^{n}}$

para la secuencia espectral homológica, por lo tanto, en la secuencia espectral de Serre para una fibración se obtiene el mapa ${\displaystyle F\to E\to B}$

${\displaystyle d_{n}:H_{n}(B)\to H_{n-1}(F)}$.

Algunas secuencias espectrales notables son:

• Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch de una extraordinaria teoría de cohomología
• Secuencia espectral de barras para la homología del espacio de clasificación de un grupo.
• Secuencia espectral de Bockstein que relaciona la homología con coeficientes mod p y la homología reducida mod p .
• Secuencia espectral de Cartan-Leray que converge a la homología de un espacio cociente.
• Secuencia espectral de Eilenberg-Moore para la cohomología singular del retroceso de una fibración
• Secuencia espectral de Serre de una fibración

• Secuencia espectral de Adams en la teoría de homotopía estable
• Secuencia espectral de Adams-Novikov , una generalización a teorías de cohomología extraordinarias .
• Secuencia espectral de Barratt que converge a la homotopía del espacio inicial de una cofibración.
• Secuencia espectral de Bousfield-Kan que converge al colimite de homotopía de un funtor.
• Secuencia espectral cromática para calcular los términos iniciales de la secuencia espectral de Adams-Novikov .
• Secuencia espectral de Cobar
• Secuencia espectral EHP que converge hacia grupos de homotopía estable de esferas
• Secuencia espectral de Federer que converge a grupos de homotopía de un espacio funcional.
• Secuencia espectral de punto fijo de homotopía ^[12]
• Secuencia espectral de Hurewicz para calcular la homología de un espacio a partir de su homotopía.
• Secuencia espectral de Miller que converge a la homología estable mod p de un espacio.
• La secuencia espectral de Milnor es otro nombre para la secuencia espectral de barras.
• La secuencia espectral de Moore es otro nombre para la secuencia espectral de barras.
• Secuencia espectral de Quillen para calcular la homotopía de un grupo simplicial.
• La secuencia espectral de Rothenberg-Steenrod es otro nombre para la secuencia espectral de barras.
• Secuencia espectral de van Kampen para calcular la homotopía de una cuña de espacios.

• Secuencia espectral de funtor derivado de Čech desde la cohomología de Čech a la cohomología de haces .
• Cambio de secuencias espectrales de anillos para el cálculo de grupos Tor y Ext de módulos.
• Secuencias espectrales de Connes que convergen a la homología cíclica de un álgebra.
• Secuencia espectral de Gersten-Witt
• Secuencia espectral de Green para la cohomología de Koszul
• Secuencia espectral de Grothendieck para la composición de funtores derivados
• Secuencia espectral de hiperhomología para el cálculo de la hiperhomología.
• Secuencia espectral de Künneth para calcular la homología de un producto tensorial de álgebras diferenciales.
• Secuencia espectral de Leray que converge a la cohomología de un haz.
• Secuencia espectral Ext de local a global
• Secuencia espectral de Lyndon–Hochschild–Serre en (co)homología de grupo
• Secuencia espectral de mayo para calcular los grupos Tor o Ext de un álgebra.
• Secuencia espectral de un grupo filtrado diferencial: descrita en este artículo.
• Secuencia espectral de un complejo doble: descrita en este artículo.
• Secuencia espectral de una pareja exacta: descrita en este artículo.
• Secuencia espectral de coeficiente universal
• Secuencia espectral de van Est que converge a la cohomología del álgebra de Lie relativa.

• Secuencia espectral de Arnold en la teoría de la singularidad .
• Secuencia espectral de Bloch-Lichtenbaum que converge a la teoría K algebraica de un campo.
• Secuencia espectral de Frölicher que parte de la cohomología de Dolbeault y converge a la cohomología algebraica de Rham de una variedad.
• Secuencia espectral de Hodge–de Rham que converge a la cohomología algebraica de Rham de una variedad.
• Secuencia espectral de la teoría motívica a la teoría K

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