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Articulo de referencia

homomorfismo de gysin

En el campo de las matemáticas conocido como topología algebraica , la sucesión de Gysin es una sucesión exacta larga que relaciona las clases de cohomología del espacio base , ...

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En el campo de las matemáticas conocido como topología algebraica , la sucesión de Gysin es una sucesión exacta larga que relaciona las clases de cohomología del espacio base , la fibra y el espacio total de un fibrado de esferas . La sucesión de Gysin es una herramienta útil para calcular los anillos de cohomología dada la clase de Euler del fibrado de esferas y viceversa. Fue introducida por Gysin ( 1942 ) y se generaliza mediante la sucesión espectral de Serre . 

Definición

Consideremos un haz de esferas orientado por fibras con espacio total E , espacio base M , fibra S k y mapa de proyecciónπ{\displaystyle \pi }: Sk↪mi⟶πMETRO.{\displaystyle S^{k}\hookrightarrow E{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}M.}

Cualquier fibrado de este tipo define una clase de cohomología de grado k  +  1 llamada clase de Euler del fibrado.

Cohomología de De Rham

La discusión de la secuencia es más clara con la cohomología de De Rham . Allí, las clases de cohomología están representadas por formas diferenciales , de modo que e puede representarse mediante una ( k  +  1)-forma.

El mapa de proyecciónπ{\displaystyle \pi }induce un mapa en cohomologíaH∗{\displaystyle H^{\ast }}llamó a su retrocesoπ∗{\displaystyle \pi ^{\ast }}

π∗:H∗(METRO)⟶H∗(mi).{\displaystyle \pi ^{*}:H^{*}(M)\longrightarrow H^{*}(E).\,}

En el caso de un haz de fibras, también se puede definir un mapa de avance .π∗{\displaystyle \pi _{\ast }}

π∗:H∗(mi)⟶H∗−k(METRO){\displaystyle \pi _{*}:H^{*}(E)\longrightarrow H^{*-k}(M)}

que actúa mediante la integración fibra por fibra de formas diferenciales en la esfera orientada; tenga en cuenta que este mapa va "en la dirección equivocada" : es un mapa covariante entre objetos asociados con un functor contravariante.

Gysin demostró que la siguiente es una secuencia exacta larga.

⋯⟶Hnorte(mi)⟶π∗Hnorte−k(METRO)⟶mi∧Hnorte+1(METRO)⟶π∗Hnorte+1(mi)⟶⋯{\displaystyle \cdots \longrightarrow H^{n}(E){\stackrel {\pi _{*}}{\longrightarrow }}H^{nk}(M){\stackrel {e_{\wedge }}{\longrightarrow }}H^{n+1}(M){\stackrel {\pi ^{*}}{\longrightarrow }}H^{n+1}(E)\longrightarrow \cdots }

dóndemi∧{\displaystyle e_{\wedge }}es el producto exterior de una forma diferencial con la clase de Euler e . 

cohomología integral

La sucesión de Gysin es una sucesión exacta larga no solo para la cohomología de De Rham de formas diferenciales, sino también para la cohomología con coeficientes enteros. En el caso integral, es necesario reemplazar el producto de cuñas con la clase de Euler con el producto de copas , y la aplicación de empuje hacia adelante ya no corresponde a la integración.

Homomorfismo de Gysin en geometría algebraica

Sea i : X → Y una incrustación regular (cerrada) de codimensión d , Y ' → Y un morfismo e i ' : X ' = X × Y Y ' → Y ' la aplicación inducida. Sea N el producto inverso del fibrado normal de i a X ' . Entonces el homomorfismo de Gysin refinado i ! se refiere a la composición

i¡:Ak(Y′)⟶σAk(norte)⟶GysinAk−d(incógnita′){\displaystyle i^{!}:A_{k}(Y'){\overset {\sigma }{\longrightarrow }}A_{k}(N){\overset {\text{Gysin}}{\longrightarrow }}A_{kd}(X')}

dónde

  • σ es el homomorfismo de especialización ; que envía una subvariedad k -dimensional V al cono normal a la intersección de V y X ' en V. El resultado se encuentra en N a través dedoincógnita′/Y′↪norte{\displaystyle C_{X'/Y'}\hookrightarrow N}.
  • El segundo mapa es el homomorfismo de Gysin (usual) inducido por la incrustación de sección cero.incógnita′↪norte{\displaystyle X'\hookrightarrow N}.

El homomorfismo i ! codifica el producto de intersección en la teoría de la intersección, ya que se muestra que el producto de intersección de X y V viene dado por la fórmulaincógnita⋅V=i¡[V],{\displaystyle X\cdot V=i^{!}[V],}o toma esta fórmula como definición. [ 1 ]

Ejemplo : Dado un fibrado vectorial E , sea s : X → E una sección de E. Entonces, cuando s es una sección regular ,s¡[incógnita]{\displaystyle s^{!}[X]}es la clase del lugar geométrico cero de s , donde [ X ] es la clase fundamental de X . [ 2 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Fulton 1998 , Ejemplo 6.2.1..
  2. ↑ Fulton 1998 , Proposición 14.1. (c).

Fuentes