Incrustaciones regulares

En geometría algebraica , una inmersión cerrada${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$de esquemas es una incrustación regular de codimensión r si cada punto x en X tiene un entorno afín abierto U en Y tal que el ideal de${\displaystyle X\cap U}$se genera mediante una secuencia regular de longitud r . Una incrustación regular de codimensión uno es precisamente un divisor de Cartier efectivo .

Por ejemplo, si X e Y son suaves sobre un esquema S y si i es un S -morfismo, entonces i es una incrustación regular. En particular, cada sección de un morfismo suave es una incrustación regular. ^{[ 1 ]} Si${\displaystyle \operatorname {Spec} B}$Si está incrustado regularmente en un esquema regular , entonces B es un anillo de intersección completo . ^{[ 2 ]}

La noción se utiliza, por ejemplo, de manera esencial en el enfoque de Fulton a la teoría de la intersección . El hecho importante es que cuando i es una incrustación regular, si I es el haz ideal de X en Y , entonces el haz normal , el dual de${\displaystyle I/I^{2}}$, es localmente libre (por lo tanto, un fibrado vectorial) y el mapa natural${\displaystyle \operatorname {Sym} (I/I^{2})\to \oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$es un isomorfismo: el cono normal${\displaystyle \operatorname {Spec} (\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$coincide con el paquete normal.

Un morfismo de tipo finito${\displaystyle f:X\to Y}$Se denomina morfismo de intersección completa (local) si cada punto x en X tiene un entorno afín abierto U tal que f | _U se factoriza como${\displaystyle U{\overset {j}{\to }}V{\overset {g}{\to }}Y}$donde j es una incrustación regular y g es suave . ^{[ 3 ]} Por ejemplo, si f es un morfismo entre variedades suaves , entonces f se factoriza como${\displaystyle X\to X\times Y\to Y}$donde el primer mapa es el morfismo de grafos y, por lo tanto, es un morfismo de intersección completo. Nótese que esta definición es compatible con la de EGA IV para el caso especial de morfismos planos . ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle f:X\to Y}$sea ​​un morfismo de intersección completa local que admita una factorización global: es una composición${\displaystyle X{\overset {i}{\hookrightarrow }}P{\overset {p}{\to }}Y}$dónde${\displaystyle i}$es una incrustación regular y${\displaystyle p}$un morfismo suave. Entonces el fibrado tangente virtual es un elemento del grupo de Grothendieck de fibrados vectoriales en X dado como: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle T_{f}=[i^{*}T_{P/Y}]-[N_{X/P}]}$,

dónde${\displaystyle T_{P/Y}=\Omega _{P/Y}^{\vee }}$es el haz tangente relativo de${\displaystyle p}$ (que es localmente gratuito desde${\displaystyle p}$es suave) y${\displaystyle N}$es el haz normal${\displaystyle ({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee }}$ (dónde${\displaystyle {\mathcal {I}}}$es el haz ideal de${\displaystyle X}$en${\displaystyle P}$), que es localmente libre ya que ${\displaystyle i}$es una incrustación regular.

En términos más generales, si${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$es cualquier morfismo de intersección completa local de esquemas, su complejo cotangente${\displaystyle L_{X/Y}}$es perfecto de amplitud Tor [-1,0]. Si además${\displaystyle f}$es localmente de tipo finito y${\displaystyle Y}$Si es localmente noetheriano, entonces lo contrario también es cierto. ^{[ 6 ]}

Estas nociones se utilizan, por ejemplo, en el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch .

SGA 6 Exposé VII utiliza la siguiente forma ligeramente más débil de la noción de incrustación regular, que coincide con la presentada anteriormente para los esquemas noetherianos:

Primero, dado un módulo proyectivo E sobre un anillo conmutativo A , se define una aplicación A -lineal.${\displaystyle u:E\to A}$Se denomina Koszul-regular si el complejo de Koszul determinado por él es acíclico en dimensión > 0 (en consecuencia, es una resolución del conúcleo de u ). ^{[ 7 ]} Entonces una inmersión cerrada${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$Se denomina Koszul-regular si el haz ideal determinado por él es tal que, localmente, existe un A- módulo libre finito E y una sobreyección Koszul-regular de E al haz ideal. ^{[ 8 ]}

Es esta regularidad de Koszul la que se utilizó en SGA 6 ^{[ 9 ]} para la definición de morfismos de intersección completa local; allí se indica que la regularidad de Koszul tenía como objetivo reemplazar la definición dada anteriormente en este artículo y que había aparecido originalmente en el EGA IV ya publicado. ^{[ 10 ]}

(Esta cuestión surge porque el análisis de los divisores de cero resulta complicado para los anillos no noetherianos, ya que no se puede utilizar la teoría de los números primos asociados).

• subcolector regular

• Berthelot, Pierre ; Alejandro Grothendieck ; Luc Illusie , eds. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de clases de matemáticas 225 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . xii+700. doi : 10.1007/BFb0066283 . ISBN 978-3-540-05647-8MR 0354655 .​ 
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas afines. 3ª Serie. Una serie de estudios modernos en matemáticas], vol.  2, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323 , sección B.7
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5– 361. doi : 10.1007/bf02732123 . SEÑOR 0238860 . , sección 16.9, pág. 46
• Illusie, Luc (1971), Complexe Cotangent et Déformations I , Lecture Notes in Mathematics 239 (en francés), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-05686-7
• Sernesi, Edoardo (2006). Deformaciones de esquemas algebraicos . Editorial Física. ISBN 9783540306153.