complejo cotangente

En matemáticas , el complejo cotangente es una generalización común del haz cotangente , el fibrado normal y el fibrado tangente virtual de una aplicación de espacios geométricos como variedades o esquemas . $f:X\to Y$ es un morfismo de objetos geométricos o algebraicos, el complejo cotangente correspondiente $\mathbf {L} _ {X/Y}^{\bullet }$ puede pensarse como una "linealización" universal de la misma, que sirve para controlar la teoría de la deformación de $f$ . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Se construye como un objeto en una determinada categoría derivada de haces en $X$ utilizando los métodos del álgebra homotópica .

A principios de la década de 1960, varios autores definieron por primera vez versiones restringidas de complejos cotangentes en diversos casos. A finales de esa década, Michel André y Daniel Quillen propusieron de forma independiente la definición correcta de un morfismo de anillos conmutativos , utilizando métodos simpliciales para precisar la idea del complejo cotangente, tal como se define al tomar el functor derivado izquierdo (no abeliano) de diferenciales de Kähler . Posteriormente, Luc Illusie generalizó esta definición a la situación general de un morfismo de topoi anillados , incorporando así morfismos de espacios anillados , esquemas y espacios algebraicos a la teoría.

Motivación

Supongamos que $X$ y $Y$ son variedades algebraicas y que $f:X\to Y$ es un morfismo entre ellos. El complejo cotangente de $f$ es una versión más universal de los diferenciales de Kähler relativos $\Omega _{X/Y}$ . La motivación más básica para tal objeto es la secuencia exacta de diferenciales de Kähler asociadas a dos morfismos. Si $Z$ es otra variedad, y si $g:Y\to Z$ es otro morfismo, entonces hay una secuencia exacta

f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0.

En cierto sentido, por lo tanto, las diferenciales de Kähler relativas son un functor exacto por la derecha . (Literalmente esto no es cierto, sin embargo, porque la categoría de variedades algebraicas no es una categoría abeliana y, por lo tanto, la exactitud por la derecha no está definida). De hecho, antes de la definición del complejo cotangente, existían varias definiciones de functores que podían extender la secuencia aún más hacia la izquierda, como los functores de Lichtenbaum-Schlessinger. $T^{i}$ y módulos de imperfección . La mayoría de estos fueron motivados por la teoría de la deformación .

Esta secuencia es exacta por la izquierda si el morfismo $f$ es suave. Si Ω admitiera un primer functor derivado , entonces la exactitud por la izquierda implicaría que el homomorfismo de conexión se anulara, y esto ciertamente sería cierto si el primer functor derivado de f , cualquiera que fuera, se anulara. Por lo tanto, una especulación razonable es que el primer functor derivado de un morfismo suave se anula. Además, cuando cualquiera de los functores que extendían la secuencia de diferenciales de Kähler se aplicaba a un morfismo suave, también se anulaban, lo que sugería que el complejo cotangente de un morfismo suave podría ser equivalente a los diferenciales de Kähler.

Otra sucesión exacta natural relacionada con las diferenciales de Kähler es la sucesión exacta conormal . Si f es una inmersión cerrada con haz ideal I , entonces existe una sucesión exacta.

I/I^{2}\to f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to 0.

Esta es una extensión de la secuencia exacta anterior: Hay un nuevo término a la izquierda, el haz conormal de f , y los diferenciales relativos Ω _{X / Y} han desaparecido porque una inmersión cerrada es formalmente no ramificada . Si f es la inclusión de una subvariedad lisa, entonces esta secuencia es una secuencia exacta corta. ^{[ 3 ]} Esto sugiere que el complejo cotangente de la inclusión de una variedad lisa es equivalente al haz conormal desplazado por un término.

Primeros trabajos sobre complejos cotangentes

Los complejos cotangentes aparecieron en múltiples versiones, parcialmente incompatibles y de creciente generalidad, a principios de la década de 1960. La primera instancia de los functores de homología relacionados en el contexto restringido de extensiones de cuerpos apareció en Cartier (1956). Alexander Grothendieck desarrolló entonces una versión temprana de los complejos cotangentes en 1961 para su teorema general de Riemann-Roch en geometría algebraica con el fin de tener una teoría de haces tangentes virtuales . Esta es la versión descrita por Pierre Berthelot en SGA 6, Exposé VIII. ^{[ 4 ]} Solo se aplica cuando f es un morfismo suavizable (uno que se factoriza en una inmersión cerrada seguida de un morfismo suave). ^{[ 5 ]} En este caso, el complejo cotangente de f como un objeto en la categoría derivada de haces coherentes en X se da de la siguiente manera:

$L_{0}^{X/Y}=i^{*}\Omega _{V/Y}.$
Si J es el ideal de X en V , entonces $L_{1}^{X/Y}=J/J^{2}=i^{*}J.$
$L_{i}^{X/Y}=0$ para todos los demás i.
El diferencial $L_{1}^{X/Y}\to L_{0}^{X/Y}$ es el retroceso a lo largo de i de la inclusión de J en el haz de estructura ${\mathcal {O}}_{V}$ de V seguido de la derivación universal $d:{\mathcal {O}}_{V}\to \Omega _{V/Y}.$
Todos los demás diferenciales son cero.

Esta definición es independiente de la elección de V, ^{[ 6 ]} y para un morfismo de intersección completa suavizable, este complejo es perfecto. ^{[ 7 ]} Además, si g : Y → Z es otro morfismo de intersección completa suavizable y si se satisface una condición técnica adicional, entonces existe un triángulo exacto

\mathbf {L} f^{*}L_{\bullet }^{Y/Z}\to L_{\bullet }^{X/Z}\to L_{\bullet }^{X/Y}\to \mathbf {L} f^{*}L_{\bullet }^{Y/Z}[1].

En 1963, Grothendieck desarrolló una construcción más general que elimina la restricción a morfismos suavizables (que también funciona en contextos distintos de la geometría algebraica). Sin embargo, al igual que la teoría de 1961, esto produjo un complejo cotangente de longitud 2 solamente, correspondiente a la truncación. $\tau _{\leq 1}\mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }$ del complejo completo que aún no se conocía en ese momento. Este enfoque fue publicado más tarde en Grothendieck (1968). Al mismo tiempo, a principios de la década de 1960, Gerstenhaber ^[⁸^] y Lichtenbaum y Schlessinger ^[⁹ ] introdujeron de forma independiente teorías en gran medida similares para anillos conmutativos (correspondientes al caso "local" de esquemas afines en geometría algebraica). ^Sus teorías se extendieron a complejos cotangentes de longitud 3, capturando así más información.

La definición del complejo cotangente

La definición correcta del complejo cotangente comienza en el contexto homotópico . Quillen y André trabajaron con anillos conmutativos simpliciales , mientras que Illusie trabajó de forma más general con topoi anillados simpliciales , cubriendo así la teoría "global" en varios tipos de espacios geométricos. Para simplificar, consideraremos solo el caso de anillos conmutativos simpliciales. Supongamos que $A$ y $B$ son anillos simpliciales y que $B$ es un $A$ -álgebra. Elija una resolución $r:P^{\bullet }\to B$ de $B$ por simplicial gratis $A$ -álgebras. Tal resolución de $B$ se puede construir utilizando la conmutativa libre $A$ -functor de álgebra que toma un conjunto $S$ y produce el gratis $A$ -álgebra $A[S]$ . Para un $A$ -álgebra $B$ Esto viene con un mapa de aumento natural. $\eta _{B}:A[B]\to B$ que mapea una suma formal de elementos de $B$ a un elemento de $B$ mediante la regla

$a_{1}[b_{1}]+\cdots +a_{n}[b_{n}]\mapsto a_{1}\cdot b_{1}+\cdots a_{n}\cdot b_{n}$

Al iterar esta construcción se obtiene un álgebra simplicial.

$\cdots \to A[A[A[B]]]\to A[A[B]]\to A[B]\to B$

donde los mapas horizontales provienen de la composición de los mapas de aumento para las distintas opciones. Por ejemplo, hay dos mapas de aumento. $A[A[B]]\to A[B]$ a través de las reglas

${\begin{aligned}a_{i}[a_{i,1}[b_{i,1}]+\cdots +a_{i,n_{i}}[b_{i,n_{i}}]]&\mapsto a_{i}a_{i,1}[b_{i,1}]+\cdots +a_{i}a_{i,n_{i}}[b_{i,n_{i}}]\\&\mapsto a_{i,1}[a_{i}\cdot b_{i,1}]+\cdots +a_{i,n_{i}}[a_{i}\cdot b_{i,n_{i}}]\end{aligned}}$

que se puede adaptar a cada uno de los gratuitos $A$ -álgebras $A[\cdots A[A[B]]$ .

Aplicando el functor diferencial de Kähler a $P^{\bullet }$ produce un simplicial $B$ -módulo. El complejo total de este objeto simplicial es el complejo cotangente L ^{B / A} . El morfismo r induce un morfismo del complejo cotangente a Ω _{B / A} llamado mapa de aumento . En la categoría de homotopía de las A -álgebras simpliciales (o de los topoi anillados simpliciales), esta construcción equivale a tomar el functor derivado izquierdo del functor diferencial de Kähler.

Dado un cuadrado conmutativo como el siguiente:

existe un morfismo de complejos cotangentes $L^{B/A}\otimes _{B}D\to L^{D/C}$ que respeta los mapas de aumento. Este mapa se construye eligiendo una resolución de C -álgebra libre de D , por ejemplo $s:Q^{\bullet }\to D.$ Porque $P^{\bullet }$ es un objeto libre , el compuesto hr puede elevarse a un morfismo $P^{\bullet }\to Q^{\bullet }.$ Aplicando la funtorialidad de los diferenciales de Kähler a este morfismo se obtiene el morfismo requerido de complejos cotangentes. En particular, dados los homomorfismos $A\to B\to C,$ Esto produce la secuencia

L^{B/A}\otimes _{B}C\to L^{C/A}\to L^{C/B}.

Hay un homomorfismo de conexión,

L^{C/B}\to \left(L^{B/A}\otimes _{B}C\right)[1],

lo que convierte esta secuencia en un triángulo exacto.

El complejo cotangente también puede definirse en cualquier categoría de modelo combinatorio M. Supongamos que $f:A\to B$ es un morfismo en M. El complejo cotangente $L^{f}$ (o $L^{B/A}$ ) es un objeto en la categoría de espectros en $M_{B//B}$ . Un par de morfismos componibles, $f:A\to B$ y $g:B\to C$ induce un triángulo exacto en la categoría de homotopía,

L^{B/A}\otimes _{B}C\to L^{C/A}\to L^{C/B}\to \left(L^{B/A}\otimes _{B}C\right)[1].

Complejos cotangentes en la teoría de la deformación

Configuración

Una de las primeras aplicaciones directas del complejo cotangente se encuentra en la teoría de la deformación. Por ejemplo, si tenemos un esquema $f:X\to S$ y un engrosamiento infinitesimal de cero cuadrado $S\to S'$ , es decir, un morfismo de esquemas donde el núcleo

${\mathcal {I}}={\text{ker}}\{{\mathcal {O}}_{S'}\to {\mathcal {O}}_{S}\}$

tiene la propiedad de que su cuadrado es el haz cero, por lo tanto

${\mathcal {I}}^{2}=0$

una de las preguntas fundamentales en la teoría de la deformación es construir el conjunto de $X'$ encajando en cuadrados cartesianos de la forma

$\left\{{\begin{matrix}X&\to &X'\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S'\end{matrix}}\right\}$

Un par de ejemplos a tener en cuenta son la extensión de esquemas definidos sobre $\mathbb {Z} /p$ a $\mathbb {Z} /p^{2}$ o esquemas definidos sobre un campo $k$ de característica $0$ al anillo $k[\varepsilon ]$ dónde $\varepsilon ^{2}=0$ El complejo cotangente $\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }$ Luego controla la información relacionada con este problema. Podemos reformularlo considerando el conjunto de extensiones del diagrama conmutativo.

${\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to &{\mathcal {O}}_{X}&\to &0\\&&\uparrow &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {I}}&\to &{\mathcal {O}}_{S'}&\to &{\mathcal {O}}_{S}&\to &0\end{matrix}}$

que es un problema homológico. Entonces, el conjunto de tales diagramas cuyo núcleo es ${\mathcal {G}}$ es isomorfo al grupo abeliano

${\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})$

mostrando que el complejo cotangente controla el conjunto de deformaciones disponibles. ^{[ 1 ]} Además, desde la otra dirección, si hay una secuencia exacta corta

${\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to &{\mathcal {O}}_{X}&\to &0\end{matrix}}$

existe un elemento correspondiente

$\xi \in {\text{Ext}}^{2}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})$

cuya desaparición implica que es una solución al problema de deformación dado anteriormente. Además, el grupo

${\text{Ext}}^{0}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})$

controla el conjunto de automorfismos para cualquier solución fija al problema de deformación.

Algunas implicaciones importantes

Una de las propiedades geométricamente más importantes del complejo cotangente es el hecho de que, dado un morfismo de $S$ -esquemas

$f:X\to Y$

podemos formar el complejo cotangente relativo $\mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }$ como el cono de

$f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }$

encajando en un triángulo distinguido

$f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }\xrightarrow {+1}$

Este es uno de los pilares de los complejos cotangentes porque implica las deformaciones del morfismo. $f$ de $S$ -los esquemas están controlados por este complejo. En particular, $\mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }$ controla las deformaciones de $f$ como un morfismo fijo en ${\text{Hom}}_{S}(X,Y)$ , deformaciones de $X$ que puede extenderse $f$ , lo que significa que hay un morfismo $f':X'\to S$ que factores a través del mapa de proyección $X'\to X$ compuesto con $f$ y deformaciones de $Y$ definido de manera similar. Esta técnica es fundamental para la teoría de Gromov-Witten (véase más abajo), que estudia morfismos de curvas algebraicas de un género fijo y un número fijo de perforaciones a un esquema $X$ .

Propiedades del complejo cotangente

Cambio de base plana

Supongamos que B y C son A -álgebras tales que $\operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)=0$ para todo q > 0 . Entonces hay cuasi-isomorfismos ^{[ 10 ]}

{\begin{aligned}L^{B\otimes _{A}C/C}&\cong C\otimes _{A}L^{B/A}\\L^{B\otimes _{A}C/A}&\cong \left(L^{B/A}\otimes _{A}C\right)\oplus \left(B\otimes _{A}L^{C/A}\right)\end{aligned}}

Si C es un álgebra A plana , entonces la condición de que $\operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)$ que se anule para q > 0 es automático. La primera fórmula demuestra entonces que la construcción del complejo cotangente es local en la base en la topología plana .

Propiedades que desaparecen

Sea f : A → B . Entonces: ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

Si B es una localización de A , entonces $L_{B/A}\simeq 0$ .
Si f es un morfismo étale , entonces $L_{B/A}\simeq 0$ .
Si f es un morfismo liso , entonces $L_{B/A}$ es cuasi-isomorfo a $\Omega _{B/A}$ En particular, tiene dimensión proyectiva cero.
Si f es un morfismo de intersección completa local , entonces $L_{B/A}$ es un complejo perfecto con amplitud de Tor en [-1,0]. ^{[ 13 ]}
Si A es noetheriano, $B=A/I$ , y $I$ se genera mediante una secuencia regular, entonces $I/I^{2}$ es un módulo proyectivo y $L_{B/A}$ es cuasi-isomorfo a $I/I^{2}[1].$
Si f es un morfismo de k -álgebras perfectas sobre un cuerpo perfecto k de característica p > 0 , entonces $L_{B/A}\simeq 0$ . ^{[ 14 ]}

Caracterización de intersecciones completas locales

La teoría del complejo cotangente permite dar una caracterización homológica de los morfismos de intersección completa local (lci), al menos bajo supuestos noetherianos. Sea f : A → B un morfismo de anillos noetherianos tal que B es un álgebra A finitamente generada . Como reinterpretó Quillen, el trabajo de Lichtenbaum-Schlessinger muestra que el segundo grupo de homología de André-Quillen ${\textstyle D_{2}(B/A,M)}$ se anula para todos los B -módulos M si y solo si f es lci. ^{[ 15 ]} Por lo tanto, combinado con el resultado de anulación anterior, deducimos:

El morfismo f : A → B es lci si y solo si

L_{B/A}

es un complejo perfecto con amplitud de Tor en [-1,0].

Quillen conjeturó además que si el complejo cotangente $L_{B/A}$ tiene dimensión proyectiva finita y B es de dimensión Tor finita como un A -módulo, entonces f es lci. ^{[ 16 ]} Esto fue demostrado por Luchezar Avramov en un artículo de Annals de 1999. ^{[ 17 ]} Avramov también extendió la noción de morfismo lci al entorno de tipo no finito, asumiendo solo que el morfismo f es localmente de dimensión plana finita, y demostró que la misma caracterización homológica de los morfismos lci se cumple allí (aparte de $L_{B/A}$ ya no es perfecto). El resultado de Avramov fue mejorado recientemente por Briggs-Iyengar, quien demostró que la propiedad lci se cumple una vez que se establece que ${\textstyle D_{n}(B/A,-)}$ desaparece para cualquier uno $n\geq 2$ . ^{[ 18 ]}

En todo esto, es necesario suponer que los anillos en cuestión son noetherianos. Por ejemplo, sea k un cuerpo perfecto de característica p > 0. Entonces, como se indicó anteriormente, $L_{B/A}$ se anula para cualquier morfismo A → B de k- álgebras perfectas. Pero no todo morfismo de k -álgebras perfectas es lci. ^{[ 19 ]}

Descenso llano

Bhargav Bhatt demostró que el complejo cotangente satisface el descenso fielmente plano (derivado) . ^{[ 20 ]} En otras palabras, para cualquier morfismo fielmente plano f : A → B de R -álgebras, se tiene una equivalencia

L_{A/R}\simeq \mathrm {Tot} (L_{\mathrm {Cech} (A\to B)/R})

en la categoría derivada de R , donde el lado derecho denota el límite de homotopía del objeto cosimplicial dado por tomar ${\textstyle L_{-/R}}$ de la conserva de Čech de f . (La conserva de Čech es el objeto cosimplicial que determina el complejo de Amitsur ). De manera más general, todas las potencias exteriores del complejo cotangente satisfacen un descenso plano fiel.

Ejemplos

Esquemas fluidos

Dejar $X\in \operatorname {Sch} /S$ ser suave. Entonces el complejo cotangente es $\Omega _{X/S}$ En el marco de Berthelot, esto queda claro al tomar $V=X$ . En general, étale localmente en $S,X$ es un espacio afín de dimensión finita y el morfismo $X\to S$ es una proyección, por lo que podemos reducirnos a la situación en la que $S=\operatorname {Spec} (A)$ y $X=\operatorname {Spec} (A[x_{1},\ldots ,x_{n}]).$ Podemos tomar la resolución de $\operatorname {Spec} (A[x_{1},\ldots ,x_{n}])$ para ser el mapa identidad, y entonces está claro que el complejo cotangente es el mismo que los diferenciales de Kähler.

Incrustaciones cerradas en esquemas suaves

Dejar $i:X\to Y$ ser una incrustación cerrada de esquemas suaves en ${\text{Sch}}/S$ . Utilizando el triángulo exacto correspondiente a los morfismos $X\to Y\to S$ , podemos determinar el complejo cotangente $\mathbf {L} _{X/Y}$ Para ello, tenga en cuenta que, según el ejemplo anterior, los complejos cotangentes $\mathbf {L} _{X/S}$ y $\mathbf {L} _{Y/S}$ consisten en los diferenciales de Kähler $\Omega _{X/S}$ y $\Omega _{Y/S}$ en el grado cero, respectivamente, y son cero en todos los demás grados. El triángulo exacto implica que $\mathbf {L} _{X/Y}$ es distinto de cero solo en el primer grado, y en ese grado, es el núcleo del mapa. $i^{*}\mathbf {L} _{Y/S}\to \mathbf {L} _{X/S}.$ Este núcleo es el fibrado conormal, y la sucesión exacta es la sucesión exacta conormal, por lo que en el primer grado, $\mathbf {L} _{X/Y}$ es el fibrado conormal $C_{X/Y}$ .

Intersección completa local

De forma más general, un morfismo de intersección completa local $X\to Y$ con un objetivo suave tiene una cotangente compleja perfecta en amplitud $[-1,0].$ Esto viene dado por el complejo

$I/I^{2}\to \Omega _{Y}|_{X}.$

Por ejemplo, el complejo cotangente de la cúbica retorcida $X$ en $\mathbb {P} ^{3}$ está dado por el complejo

${\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {s}}\Omega _{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}.$

Complejos cotangentes en la teoría de Gromov-Witten

En la teoría de Gromov-Witten, los matemáticos estudian los invariantes geométricos enumerativos de curvas de n puntos en espacios. En general, existen pilas algebraicas.

${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )$

que son los espacios de módulos de mapas

$\pi :C\to X$

del género $g$ curvas con $n$ perforaciones hacia un objetivo fijo. Dado que la geometría enumerativa estudia el comportamiento genérico de tales mapas, la teoría de deformación que controla este tipo de problemas requiere la deformación de la curva. $C$ , el mapa $\pi$ y el espacio objetivo $X$ Afortunadamente, toda esta información teórica sobre la deformación puede ser rastreada por el complejo cotangente. $\mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }$ . Utilizando el triángulo distinguido

$\pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }\to$

asociado a la composición de morfismos

$C\xrightarrow {\pi } X\rightarrow {\text{Spec}}(\mathbb {C} )$

El complejo cotangente se puede calcular en muchas situaciones. De hecho, para una variedad compleja $X$ , su complejo cotangente viene dado por $\Omega _{X}^{1}$ y una suave $n$ -curva perforada $C$ , esto viene dado por $\Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n})$ . De la teoría general de categorías trianguladas , el complejo cotangente $\mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }$ es cuasi-isomorfo al cono

${\text{Cone}}(\pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet })\simeq {\text{Cone}}(\pi ^{*}\Omega _{X}^{1}\to \Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n}))$

Véase también

Notas

1 2 "Sección 91.21 (08UX): Deformaciones de espacios anillados y el complejo cotangente—El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 2 de diciembre de 2021 .
↑ "Sección 91.23 (08V3): Deformaciones de topoi anillados y el complejo cotangente—El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 2 de diciembre de 2021 .
↑ Grothendieck 1967 , Proposición 17.2.5
↑ Berthelot 1966 , VIII Proposición 2.2
↑ (Grothendieck 1968 , p. 4)
↑ Berthelot 1966 , VIII Proposición 2.2
↑ Berthelot 1966 , VIII Proposición 2.4
↑ (Gerstenhaber 1964 )
↑ (Lichenbaum; Schlessinger 1967 )
↑ Quillen 1970 , Teorema 5.3
↑ Quillen 1970 , Teorema 5.4
↑ Quillen 1970 , Corolario 6.14
↑ "Sección 91.14 (08SH): El complejo cotangente de una intersección completa local—El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 21 de septiembre de 2022 .
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Referencias

Aplicaciones

https://mathoverflow.net/questions/372128/what-is-the-cotangent-complex-good-for

Generalizaciones

El complejo cotangente logarítmico
El complejo cotangente y los espectros de Thom

Referencias

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Quillen, Daniel (1970), Sobre la (co)homología de anillos conmutativos , Actas del Simposio de Matemáticas Puras, vol. XVII, Sociedad Matemática Americana

[:0-1] 1 2 "Sección 91.21 (08UX): Deformaciones de espacios anillados y el complejo cotangente—El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 2 de diciembre de 2021 .

[2] "Sección 91.23 (08V3): Deformaciones de topoi anillados y el complejo cotangente—El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 2 de diciembre de 2021 .

[3] Grothendieck 1967 , Proposición 17.2.5

[4] Berthelot 1966 , VIII Proposición 2.2

[5] (Grothendieck 1968 , p. 4)

[6] Berthelot 1966 , VIII Proposición 2.2

[7] Berthelot 1966 , VIII Proposición 2.4

[8] (Gerstenhaber 1964 )

[9] (Lichenbaum; Schlessinger 1967 )

[10] Quillen 1970 , Teorema 5.3

[11] Quillen 1970 , Teorema 5.4

[12] Quillen 1970 , Corolario 6.14

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