Morfismo suave

Dejar${\displaystyle f}$ser el morfismo de esquemas

${\displaystyle \operatorname {Spec} _{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$

Es suave debido a la condición jacobiana: la matriz jacobiana

${\displaystyle [3x^{2}-1,y]}$

desaparece en los puntos${\displaystyle (1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)}$que tiene una intersección vacía con el polinomio, ya que

${\displaystyle {\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}}$

que son ambos distintos de cero.

Dado un plan sin problemas${\displaystyle Y}$el morfismo de proyección

${\displaystyle Y\times X\to X}$

es suave.

Cada paquete vectorial${\displaystyle E\to X}$sobre un esquema es un morfismo suave. Por ejemplo, se puede demostrar que el fibrado vectorial asociado de${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$encima${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$es el espacio proyectivo ponderado menos un punto

${\displaystyle O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,k)-\{[0:\cdots :0:1]\}\to \mathbb {P} ^{n}}$

envío

${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]}$

Observe que los paquetes de suma directa${\displaystyle O(k)\oplus O(l)}$se puede construir utilizando el producto de fibra

${\displaystyle O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)}$

Recuerde que una extensión de campo${\displaystyle K\to L}$Se denomina separable si y solo si, dada una presentación,

${\displaystyle L={\frac {K[x]}{(f(x))}}}$

tenemos eso${\displaystyle gcd(f(x),f'(x))=1}$Podemos reinterpretar esta definición en términos de diferenciales de Kähler de la siguiente manera: la extensión de campo es separable si y solo si

${\displaystyle \Omega _{L/K}=0.}$

Nótese que esto incluye todo cuerpo perfecto : cuerpos finitos y cuerpos de característica 0.

Si consideramos${\displaystyle \operatorname {Spec} }$del álgebra subyacente${\displaystyle R}$para una variedad proyectiva${\displaystyle X}$, llamado el cono afín de${\displaystyle X}$, entonces el punto en el origen siempre es singular. Por ejemplo, consideremos el cono afín de un quíntico${\displaystyle 3}$-pliegue dado por

${\displaystyle x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$

Entonces, la matriz jacobiana viene dada por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}}$

que se desvanece en el origen, por lo tanto, el cono es singular. Las hipersuperficies afines como estas son populares en la teoría de singularidades debido a su álgebra relativamente simple pero a sus ricas estructuras subyacentes.

Otro ejemplo de variedad singular es el cono proyectivo de una variedad lisa: dada una variedad proyectiva lisa${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$su cono proyectivo es la unión de todas las líneas en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$intersección${\displaystyle X}$. Por ejemplo, el cono proyectivo de los puntos

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

es el plan

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

Si miramos en el${\displaystyle z\neq 0}$Este es el esquema

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4}+Y^{4})}}\right)}$

y proyectarlo hasta la línea afín.${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{1}}$Se trata de una familia de cuatro puntos que degeneran en el origen. La no singularidad de este esquema también puede comprobarse mediante la condición jacobiana.

Consideremos la familia plana

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)\to \mathbb {A} _{t}^{1}}$

Entonces, todas las fibras son lisas excepto el punto en el origen. Dado que la suavidad es estable bajo un cambio de base, esta familia no es lisa.

Por ejemplo, el campo${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)}$no es separable, por lo tanto el morfismo asociado de esquemas no es suave. Si observamos el polinomio mínimo de la extensión de campo,

${\displaystyle f(x)=x^{p}-t^{p}}$

entonces${\displaystyle df=0}$Por lo tanto, los diferenciales de Kähler serán distintos de cero.