Campo perfecto

En álgebra , un campo k es perfecto si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

• Todo polinomio irreducible sobre k no tiene raíces múltiples en ninguna extensión de campo F/k .
• Todo polinomio irreducible sobre k tiene derivada formal distinta de cero .
• Todo polinomio irreducible sobre k es separable .
• Toda extensión finita de k es separable .
• Toda extensión algebraica de k es separable.
• O bien k tiene característica 0, o bien, cuando k tiene característica p > 0 , cada elemento de k es una potencia p .
• O bien k tiene característica 0, o bien, cuando k tiene característica p > 0 , el endomorfismo de Frobenius x ↦ x ^p es un automorfismo de k .
• El cierre separable de k es algebraicamente cerrado .
• Toda k -álgebra conmutativa reducida A es un álgebra separable ; es decir, se reduce para cada extensión de cuerpo F / k . (ver abajo) ${\displaystyle A\o veces _{k}F}$

De lo contrario, k se llama imperfecto .

En particular, todos los campos de característica cero y todos los campos finitos son perfectos.

Los campos perfectos son significativos porque la teoría de Galois sobre estos campos se vuelve más simple, ya que el supuesto general de Galois de que las extensiones de campo son separables se satisface automáticamente sobre estos campos (ver la tercera condición anterior).

Otra propiedad importante de los campos perfectos es que admiten vectores de Witt .

De manera más general, un anillo de característica p ( p un primo ) se llama perfecto si el endomorfismo de Frobenius es un automorfismo . ^[1] (Cuando se restringe a dominios integrales , esto es equivalente a la condición anterior "cada elemento de k es una p -ésima potencia").

Ejemplos de campos perfectos son:

• todo cuerpo de característica cero, por lo que y toda extensión finita, y ; ^[2]${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$
• todo campo finito ; ^[3]${\displaystyle \mathbb {F}_{q}}$
• todo campo algebraicamente cerrado ;
• la unión de un conjunto de campos perfectos totalmente ordenados por extensión;
• campos algebraicos sobre un campo perfecto.

La mayoría de los cuerpos que se encuentran en la práctica son perfectos. El caso imperfecto surge principalmente en geometría algebraica en la característica p > 0 . Todo cuerpo imperfecto es necesariamente trascendental sobre su subcuerpo primo (el subcuerpo mínimo), porque este último es perfecto. Un ejemplo de un cuerpo imperfecto es el cuerpo , ya que el endomorfismo de Frobenius envía y, por lo tanto, no es sobreyectivo. Este cuerpo se incrusta en el cuerpo perfecto ${\displaystyle \mathbf {F}_{q}(x)}$${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{q}(x,x^{1/p},x^{1/p^{2}},\ldots )}$

se denomina su perfección . Los campos imperfectos causan dificultades técnicas porque los polinomios irreducibles pueden volverse reducibles en el cierre algebraico del campo base. Por ejemplo, ^[4] considere un campo imperfecto de característica y a no una potencia p -ésima en k . Entonces, en su cierre algebraico , se cumple la siguiente igualdad: ${\displaystyle f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle k^{\operatorname {alg} }[x,y]}$

${\displaystyle f(x,y)=(x+by)^{p},}$

donde b ^p = a y tal b existe en este cierre algebraico. Geométricamente, esto significa que no define una curva plana afín en . ${\estilo de visualización f}$ ${\displaystyle k[x,y]}$

Cualquier extensión de campo finitamente generada K sobre un campo perfecto k se genera separablemente, es decir, admite una base de trascendencia separadora , es decir, una base de trascendencia Γ tal que K es separablemente algebraica sobre k (Γ). ^[5]

Una de las condiciones equivalentes dice que, en la característica p , un cuerpo adjunto con todas las raíces p ^r -ésimas ( r ≥ 1 ) es perfecto; se llama cierre perfecto de k y usualmente se denota por . ${\displaystyle k^{p^{-\infty }}}$

El cierre perfecto se puede utilizar en una prueba de separabilidad. Más precisamente, una k -álgebra conmutativa A es separable si y solo si se reduce. ^[6]${\displaystyle A\otimes _ {k}k^{p^{-\infty }}}$

En términos de propiedades universales , el cierre perfecto de un anillo A de característica p es un anillo perfecto A _p de característica p junto con un homomorfismo de anillo u  : A → A _p tal que para cualquier otro anillo perfecto B de característica p con un homomorfismo v  : A → B existe un homomorfismo único f  : A _p → B tal que v se factoriza a través de u (es decir, v = fu ). El cierre perfecto siempre existe; la prueba implica "adjuntar raíces p -ésimas de elementos de A ", similar al caso de los cuerpos. ^[7]

La perfección de un anillo A de característica p es la noción dual (aunque este término se utiliza a veces para el cierre perfecto). En otras palabras, la perfección R ( A ) de A es un anillo perfecto de característica p junto con una función θ  : R ( A ) → A tal que para cualquier anillo perfecto B de característica p equipado con una función φ  : B → A , existe una función única f  : B → R ( A ) tal que φ se factoriza a través de θ (es decir, φ = θf ). La perfección de A puede construirse de la siguiente manera. Considérese el sistema proyectivo

${\displaystyle \cdots \flecha derecha A\flecha derecha A\flecha derecha A\flecha derecha \cdots }$

donde las aplicaciones de transición son el endomorfismo de Frobenius. El límite inverso de este sistema es R ( A ) y consiste en secuencias ( x ₀ , x ₁ , ... ) de elementos de A tales que para todo i . La aplicación θ  : R ( A ) → A envía ( x _i ) a x ₀ . ^[8]${\displaystyle x_{i+1}^{p}=x_{i}}$

• anillo p
• Anillo perfecto
• Campo cuasi-finito

• "Campo perfecto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]