Álgebra separable

En matemáticas , un álgebra separable es un tipo de álgebra semisimple . Es una generalización a las álgebras asociativas de la noción de extensión de cuerpo separable .

Un homomorfismo de anillos (unitarios, pero no necesariamente conmutativos )

${\displaystyle K\to A}$

Se denomina separable si el mapa de multiplicación

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}\mu$ :&A\otimes _{K}A&\to &A\\&a\otimes b&\mapsto &ab\end{array}}}

admite una sección

${\displaystyle \sigma :A\to A\otimes _{K}A}$

que es un homomorfismo de A - A - bimodulos .

Si el anillo${\displaystyle K}$es conmutativa y${\displaystyle K\to A}$mapas${\displaystyle K}$en el centro de${\displaystyle A}$, llamamos${\displaystyle A}$un álgebra separable sobre${\displaystyle K}$.

Es útil describir la separabilidad en términos del elemento.

${\displaystyle p:=\sigma (1)=\sum a_{i}\otimes b_{i}\in A\otimes _{K}A}$

La razón es que una sección σ está determinada por este elemento. La condición de que σ sea una sección de μ es equivalente a

${\displaystyle \sum a_{i}b_{i}=1}$

y la condición de que σ sea un homomorfismo de A - A -bimódulos es equivalente al siguiente requisito para cualquier a en A :

${\displaystyle \sum aa_{i}\otimes b_{i}=\sum a_{i}\otimes b_{i}a.}$

Dicho elemento p se denomina idempotente de separabilidad , puesto que se considera un elemento del álgebra.${\displaystyle A\otimes A^{\rm {op}}}$Satisface${\displaystyle p^{2}=p}$.

Para cualquier anillo conmutativo R , el anillo ( no conmutativo ) de matrices n -por -n${\displaystyle M_{n}(R)}$es un álgebra R separable . Para cualquier${\displaystyle 1\leq j\leq n}$, una separabilidad idempotente viene dada por${\textstyle \sum _ {i=1}^{n}e_ {ij} \otimes e_ {ji}}$, dónde${\displaystyle e_{ij}}$denota la matriz elemental que es 0 excepto por la entrada en el conjunto ( i , j ) , que es 1. En particular, esto muestra que los idempotentes de separabilidad no tienen por qué ser únicos. De hecho, ni siquiera son únicos salvo automorfismo.

Existen varias definiciones equivalentes de álgebras separables. Un álgebra K A es separable si y solo si es proyectiva cuando se considera como un módulo izquierdo de${\displaystyle A^{e}}$de la forma habitual. ^{[ 2 ]} Además, un álgebra A es separable si y solo si es plana cuando se considera como un módulo derecho de${\displaystyle A^{e}}$De la forma habitual.

Las álgebras separables también pueden caracterizarse mediante extensiones escindidas: A es separable sobre K si y solo si todas las secuencias exactas cortas de A - A -bimódulos que se escinden como A - K -bimódulos también se escinden como A - A -bimódulos. De hecho, esta condición es necesaria ya que la aplicación de multiplicación${\textstyle \mu :A\otimes _ {K}A\rightarrow A}$En la definición anterior surge un epimorfismo de bimódulo A - A , que se divide como un mapa de bimódulo A - K mediante la aplicación inversa derecha.${\textstyle A\rightarrow A\otimes _{K}A}$dado por${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$. Lo contrario puede demostrarse mediante un uso juicioso del idempotente de separabilidad (de forma similar a la demostración del teorema de Maschke , aplicando sus componentes dentro y fuera de las aplicaciones de separación). ^{[ 3 ]}

De forma equivalente, los grupos de cohomología de Hochschild relativos${\displaystyle H^{n}(R,S;M)}$de ( R , S ) en cualquier bimódulo de coeficientes M es cero para n > 0 . Hay muchos ejemplos de extensiones separables, incluidas las primeras álgebras separables donde R es un álgebra separable y S = 1 veces el cuerpo base. Cualquier anillo R con elementos a y b que satisfacen ab = 1 , pero ba distinto de 1, es una extensión separable sobre el subanillo S generado por 1 y bRa .

Se dice que un álgebra separable es fuertemente separable si existe un idempotente de separabilidad que es simétrico , lo que significa

${\displaystyle e=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\otimes x_{i}}$

Un álgebra es fuertemente separable si y solo si su forma traza no es degenerada, lo que convierte al álgebra en un tipo particular de álgebra de Frobenius llamada álgebra simétrica (que no debe confundirse con el álgebra simétrica que surge como cociente del álgebra tensorial ).

Si K es conmutativo, A es un K -módulo separable proyectivo finitamente generado , entonces A es un álgebra de Frobenius simétrica. ^{[ 4 ]}

Cualquier extensión separable A / K de anillos conmutativos es formalmente no ramificada . Lo contrario se cumple si A es un álgebra K finitamente generada . ^{[ 5 ]} Un álgebra K (conmutativa) plana separable A es formalmente étale . ^{[ 6 ]}

Un teorema en esta área es el de J.  Cuadra que afirma que una extensión separable de Hopf-Galois R | S tiene un S -módulo natural finitamente generado R. Un hecho fundamental sobre una extensión separable R | S es que es una extensión semisimple izquierda o derecha: una sucesión exacta corta de R -módulos izquierdos o derechos que se descompone como S -módulos , se descompone como R -módulos . En términos del álgebra homológica  relativa de G. Hochschild , se dice que todos los R- módulos son relativos ( R , S ) -proyectivos. Generalmente, las propiedades relativas de subanillos o extensiones de anillos, como la noción de extensión separable, sirven para promover teoremas que afirman que el sobreanillo comparte una propiedad del subanillo. Por ejemplo, una extensión separable R de un álgebra semisimple S tiene R semisimple, lo cual se deduce de la discusión anterior.

Existe el célebre teorema de Jans que establece que un álgebra de grupo finita A sobre un cuerpo de característica p es de tipo de representación finita si y solo si su p- subgrupo de Sylow es cíclico : la prueba más clara consiste en observar este hecho para p -grupos y luego notar que el álgebra de grupo es una extensión separable de su álgebra de p -subgrupo de Sylow B, ya que el índice es coprimo con la característica. La condición de separabilidad anterior implicará que todo A -módulo M finitamente generado es isomorfo a un sumando directo en su módulo restringido e inducido. Pero si B tiene tipo de representación finita, el módulo restringido es únicamente una suma directa de múltiplos de un número finito de indescomponibles , que inducen a un número finito de módulos indescomponibles constituyentes de los cuales M es una suma directa. Por lo tanto, A es de tipo de representación finita si B lo es. El recíproco se demuestra mediante un argumento similar, observando que todo álgebra de subgrupo B es un B -bimódulo sumando directo de un álgebra de grupo A.

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