Extensión trascendental

En matemáticas , una extensión trascendental${\displaystyle L/K}$es una extensión de campo tal que existe un elemento en el campo${\displaystyle L}$que es trascendental sobre el campo${\displaystyle K}$; es decir, un elemento que no es raíz de ningún polinomio univariado con coeficientes en${\displaystyle K}$. En otras palabras, una extensión trascendental es una extensión de cuerpo que no es algebraica . Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {C} }$y${\displaystyle \mathbb {R} }$son ambas extensiones trascendentales de${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Una base de trascendencia de una extensión de campo${\displaystyle L/K}$(o una base de trascendencia de${\displaystyle L}$encima${\displaystyle K}$) es un subconjunto algebraicamente independiente maximal de${\displaystyle L}$encima${\displaystyle K.}$Las bases de trascendencia comparten muchas propiedades con las bases de espacios vectoriales . En particular, todas las bases de trascendencia de una extensión de cuerpo tienen la misma cardinalidad , denominada grado de trascendencia de la extensión. Por lo tanto, una extensión de cuerpo es una extensión trascendental si y solo si su grado de trascendencia es distinto de cero.

Las extensiones trascendentales se utilizan ampliamente en geometría algebraica . Por ejemplo, la dimensión de una variedad algebraica es el grado de trascendencia de su cuerpo de funciones . Asimismo, los cuerpos de funciones globales son extensiones trascendentales de grado uno de un cuerpo finito y desempeñan en la teoría de números de característica positiva un papel muy similar al de los cuerpos de números algebraicos de característica cero.

El lema de Zorn muestra que existe un subconjunto linealmente independiente maximal de un espacio vectorial (es decir, una base). Un argumento similar con el lema de Zorn muestra que, dada una extensión de cuerpo L / K , existe un subconjunto algebraicamente independiente maximal de L sobre K. ^{[ 1} ] Se le llama entonces base de trascendencia . Por maximalidad, un subconjunto algebraicamente independiente S de L sobre K es una base de trascendencia si y solo si ^L es una extensión algebraica de K ( S ), el cuerpo obtenido al adjuntar los elementos de S a K .

El lema de intercambio (una versión para conjuntos algebraicamente independientes ^{[ 2 ]} ) implica que si S y S ' son bases de trascendencia, entonces S y S ' tienen la misma cardinalidad . Entonces la cardinalidad común de las bases de trascendencia se llama grado de trascendencia de L sobre K y se denota como${\displaystyle \operatorname {tr.grados} _ {K}L}$o${\displaystyle \operatorname {tr.grados} (L/K)}$Existe, pues, una analogía: una base de trascendencia y un grado de trascendencia, por un lado, y una base y una dimensión, por otro. Esta analogía puede formalizarse observando que la independencia lineal en espacios vectoriales y la independencia algebraica en extensiones de cuerpos constituyen ejemplos de matroides finitos ( pregeometrías ). Todo matroide finito tiene una base, y todas las bases tienen la misma cardinalidad. ^{[ 3 ]}

Si G es un conjunto generador de L (es decir, L = K ( G )), entonces una base de trascendencia para L puede tomarse como un subconjunto de G . Por lo tanto,${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _ {K}L\leq }$la cardinalidad mínima de conjuntos generadores de L sobre K. En particular, una extensión de cuerpo finitamente generada admite una base de trascendencia finita.

Si no se especifica ningún campo K , el grado de trascendencia de un campo L es su grado relativo a algún campo base fijo; por ejemplo, el campo primo de la misma característica , o K , si L es un campo de funciones algebraicas sobre K.

La extensión de cuerpo L / K es puramente trascendental si existe un subconjunto S de L que es algebraicamente independiente sobre K y tal que L = K ( S ).

Una base de trascendencia separadora de L / K es una base de trascendencia S tal que L es una extensión algebraica separable sobre K ( S ). Se dice que una extensión de cuerpo L / K es separablemente generada si admite una base de trascendencia separadora. ^{[ 4 ]} Si una extensión de cuerpo es finitamente generada y también es separablemente generada, entonces cada conjunto generador de la extensión de cuerpo contiene una base de trascendencia separadora. ^{[ 5 ]} Sobre un cuerpo perfecto , toda extensión de cuerpo finitamente generada es separablemente generada; es decir, admite una base de trascendencia separadora finita. ^{[ 6 ]}

• Una extensión es algebraica si y solo si su grado de trascendencia es 0; el conjunto vacío sirve aquí como base de trascendencia.
• El campo de funciones racionales en n variables K ( x ₁ ,..., x _n ) (es decir, el campo de fracciones del anillo de polinomios K [ x ₁ ,..., x _n ]) es una extensión puramente trascendental con grado de trascendencia n sobre K ; podemos tomar, por ejemplo, { x ₁ ,..., x _n } como una base de trascendencia.
• De manera más general, el grado de trascendencia del cuerpo de funciones L de una variedad algebraica n -dimensional sobre un cuerpo base K es n .
• Q ( √2 , e ) tiene grado de trascendencia 1 sobre Q porque √2 es algebraico mientras que e es trascendental .
• El grado de trascendencia de C o R sobre Q es la cardinalidad del continuo . (Como Q es numerable, el cuerpo Q ( S ) tendrá la misma cardinalidad que S para cualquier conjunto infinito S , y cualquier extensión algebraica de Q ( S ) tendrá de nuevo la misma cardinalidad).
• El grado de trascendencia de Q ( e , π ) sobre Q es 1 o 2; la respuesta precisa es desconocida porque no se sabe si e y π son algebraicamente independientes (véase la conjetura de Schanuel ).
• Si S es una superficie de Riemann compacta , el campo C ( S ) de funciones meromorfas en S tiene grado de trascendencia 1 sobre C .

Si M / L y L / K son extensiones de campo, entonces

trdeg( M / K ) = trdeg( M / L ) + trdeg( L / K )

Esto se demuestra mostrando que una base de trascendencia de M / K se puede obtener tomando la unión de una base de trascendencia de M / L y una de L / K.

Si el conjunto S es algebraicamente independiente sobre K, entonces el cuerpo K ( S ) es isomorfo al cuerpo de funciones racionales sobre K en un conjunto de variables de la misma cardinalidad que S. Cada una de estas funciones racionales es una fracción de dos polinomios en un número finito de esas variables, con coeficientes en K.

Dos cuerpos algebraicamente cerrados son isomorfos si y solo si tienen la misma característica y el mismo grado de trascendencia sobre su cuerpo primo. ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle A\subsetequ B}$sean dominios integrales . Si${\displaystyle Q(A)}$y${\displaystyle Q(B)}$Denotemos los campos de fracciones de A y B , entonces el grado de trascendencia de B sobre A se define como el grado de trascendencia de la extensión del campo.${\displaystyle Q(B)/Q(A).}$

El lema de normalización de Noether implica que si R es un dominio integral que es un álgebra finitamente generada sobre un cuerpo k , entonces la dimensión de Krull de R es el grado de trascendencia de R sobre k .

Esto tiene la siguiente interpretación geométrica: si X es una variedad algebraica afín sobre un cuerpo k , la dimensión de Krull de su anillo de coordenadas es igual al grado de trascendencia de su cuerpo de funciones , y esto define la dimensión de X. De ello se deduce que, si X no es una variedad afín, su dimensión (definida como el grado de trascendencia de su cuerpo de funciones) también puede definirse localmente como la dimensión de Krull del anillo de coordenadas de la restricción de la variedad a un subconjunto afín abierto.

Dejar${\displaystyle K/k}$sea ​​una extensión de campo finitamente generada. Entonces ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \dim _{K}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (K/k).}$

dónde${\displaystyle \Omega _{K/k}}$denota el módulo de diferenciales de Kähler . Además, en lo anterior, la igualdad se cumple si y solo si K es separablemente generado sobre k (lo que significa que admite una base de trascendencia separadora).

Las bases de trascendencia son útiles para extender homomorfismos de cuerpos, porque separan una extensión de cuerpo en una parte puramente trascendental y una parte algebraica. La parte algebraica se maneja mediante el siguiente teorema de extensión estándar: si E / F es algebraica y${\displaystyle \Omega }$es algebraicamente cerrado, entonces todo homomorfismo de cuerpos F →${\displaystyle \Omega }$se extiende a un homomorfismo de cuerpos E →${\displaystyle \Omega }$. En particular, todo isomorfismo de cuerpos se extiende a un isomorfismo de sus clausuras algebraicas. ^{[ 9 ]} Por ejemplo, sea L un cuerpo algebraicamente cerrado , K un subcuerpo de L y f un automorfismo de cuerpo de K. Elija una base de trascendencia S de L / K . Dado que S es algebraicamente independiente sobre K , al aplicar f a los coeficientes de las funciones racionales y fijar cada elemento de S se define un automorfismo de K ( S ). Por la propiedad definitoria de una base de trascendencia, L es algebraica sobre K ( S ); dado que L también es algebraicamente cerrado, es una clausura algebraica de K ( S ). Por lo tanto, el teorema de extensión extiende el automorfismo de K ( S ) a un automorfismo de L , cuya restricción a K es f .

Como otra aplicación, demostramos que existen (muchos) subcampos propios del cuerpo de números complejos C que son (como cuerpos) isomorfos a C. Para la demostración, tomemos una base de trascendencia S de C / Q. S es un conjunto infinito (incluso no numerable), por lo que existen (muchos) mapas f : S → S que son inyectivos pero no sobreyectivos . Cualquier mapa de este tipo puede extenderse a un homomorfismo de cuerpos Q ( S ) → Q ( S ) que no es sobreyectivo. Dicho homomorfismo de cuerpos puede a su vez extenderse a la clausura algebraica C , y los homomorfismos de cuerpos resultantes C → C no son sobreyectivos.

El grado de trascendencia puede dar una comprensión intuitiva del tamaño de un campo. Por ejemplo, un teorema debido a Siegel establece que si X es una variedad compacta, conexa y compleja de dimensión n y K ( X ) denota el campo de funciones meromorfas (definidas globalmente) en ella, entonces trdeg _C ( K ( X ))  ≤ n . 

• El teorema de Lüroth , un teorema sobre extensiones puramente trascendentales de grado uno.
• Extensión regular

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
• Milne, James, Teoría de campos (PDF)
• § 6.3. de Shimura, Goro (1971), Introducción a la teoría aritmética de las funciones automorfas , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, vol. 11, Tokio: Iwanami Shoten, Zbl 0221.10029