Extensión regular

En teoría de campos , una rama del álgebra, una extensión de campo${\displaystyle L/k}$Se dice que es regular si k es algebraicamente cerrado en L (es decir,${\displaystyle k={\hat {k}}}$dónde${\displaystyle {\hat {k}}}$es el conjunto de elementos en L algebraico sobre k ) y L es separable sobre k , o equivalentemente,${\displaystyle L\otimes _{k}{\overline {k}}}$es un dominio integral cuando${\displaystyle {\overline {k}}}$es el cierre algebraico de${\displaystyle k}$(es decir,${\displaystyle L,{\overline {k}}}$son linealmente disjuntos sobre k ). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• La regularidad es transitiva: si F / E y E / K son regulares, entonces también lo ^es F / K. ^{[ 3} ]
• Si F / K es regular, entonces también lo es ^E / K para cualquier E entre F y K. ^{[ 3} ]
• La extensión L / k es regular si y solo si todo subcampo de L finitamente generado sobre k es regular sobre k . ^{[ 2 ]}
• Cualquier extensión de un cuerpo algebraicamente cerrado es regular. ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• Una extensión es regular si y solo si es separable y primaria . ^{[ 5 ]}
• Una extensión puramente trascendental de un campo es regular.

También existe una noción similar: una extensión de campo.${\displaystyle L/k}$Se dice que es autorregulado si${\displaystyle L\otimes _ {k}L}$es un dominio integral. Una extensión autorregular es relativamente algebraicamente cerrada en k . ^{[ 6 ]} Sin embargo, una extensión autorregular no es necesariamente regular.

• Frito, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol.  11 (3ª  edición revisada). Springer-Verlag . págs. 38 a 41. ISBN  978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 . 
• M. Nagata (1985). Teoría de campos conmutativos: nueva edición, Shokado. (Japonés)
• Cohn, PM (2003). Álgebra básica. Grupos, anillos y cuerpos . Springer-Verlag . ISBN 1-85233-587-4. Zbl 1003.00001 . 
• A. Weil, Fundamentos de geometría algebraica .