Esquema suave

En geometría algebraica , un esquema suave sobre un cuerpo es un esquema que se aproxima bien mediante un espacio afín cerca de cualquier punto. La suavidad es una forma de hacer precisa la noción de un esquema sin puntos singulares . Un caso especial es la noción de variedad suave sobre un cuerpo. Los esquemas suaves desempeñan el papel de variedades en la geometría algebraica en topología.

Primero, sea X un esquema afín de tipo finito sobre un cuerpo k . Equivalentemente, X tiene una inmersión cerrada en el espacio afín A ⁿ sobre k para algún número natural n . Entonces X es el subesquema cerrado definido por algunas ecuaciones g ₁ = 0, ..., g _r = 0, donde cada g _i está en el anillo polinomial k [ x ₁ ,..., x _n ]. El esquema afín X es suave de dimensión m sobre k si X tiene dimensión al menos m en un entorno de cada punto, y la matriz de derivadas (∂ g _i /∂ x _j ) tiene rango al menos n − m en todas partes en X . ^[1] (De ello se deduce que X tiene dimensión igual a m en un entorno de cada punto). La suavidad es independiente de la elección de la inmersión de X en el espacio afín.

La condición sobre la matriz de derivadas se entiende como que el subconjunto cerrado de X donde todos los ( n − m ) × ( n − m ) menores de la matriz de derivadas son cero es el conjunto vacío. De manera equivalente, el ideal en el anillo polinómico generado por todos los g _i y todos esos menores es el anillo polinómico completo.

En términos geométricos, la matriz de derivadas (∂ g _i /∂ x _j ) en un punto p en X da una función lineal F ⁿ → F ^r , donde F es el cuerpo de residuos de p . El núcleo de esta función se llama espacio tangente de Zariski de X en p . La suavidad de X significa que la dimensión del espacio tangente de Zariski es igual a la dimensión de X cerca de cada punto; en un punto singular , el espacio tangente de Zariski sería más grande.

En términos más generales, un esquema X sobre un cuerpo k es suave sobre k si cada punto de X tiene un entorno abierto que es un esquema afín suave de alguna dimensión sobre k . En particular, un esquema suave sobre k es localmente de tipo finito .

Existe una noción más general de morfismo suave de esquemas, que es aproximadamente un morfismo con fibras suaves. En particular, un esquema X es suave sobre un cuerpo k si y solo si el morfismo X → Spec k es suave.

Un esquema suave sobre un cuerpo es regular y, por lo tanto, normal . En particular, un esquema suave sobre un cuerpo es reducido .

Definamos una variedad sobre un cuerpo k como un esquema separado integral de tipo finito sobre k . Entonces, cualquier esquema separado uniforme de tipo finito sobre k es una unión disjunta finita de variedades uniformes sobre k .

Para una variedad suave X sobre los números complejos , el espacio X ( C ) de puntos complejos de X es una variedad compleja , utilizando la topología clásica (euclidiana). Asimismo, para una variedad suave X sobre los números reales, el espacio X ( R ) de puntos reales es una variedad real , posiblemente vacía.

Para cualquier esquema X que sea localmente de tipo finito sobre un cuerpo k , existe un haz coherente Ω ¹ de diferenciales sobre X . El esquema X es suave sobre k si y solo si Ω ¹ es un fibrado vectorial de rango igual a la dimensión de X cerca de cada punto. ^[2] En ese caso, Ω ¹ se denomina fibrado cotangente de X . El fibrado tangente de un esquema suave sobre k puede definirse como el fibrado dual, TX = (Ω ¹ ) ^* .

La suavidad es una propiedad geométrica , lo que significa que para cualquier extensión de campo E de k , un esquema X es suave sobre k si y solo si el esquema X _E  := X × _{Spec k} Spec E es suave sobre E. Para un campo perfecto k , un esquema X es suave sobre k si y solo si X es localmente de tipo finito sobre k y X es regular .

Se dice que un esquema X es genéricamente suave de dimensión n sobre k si X contiene un subconjunto denso abierto que es suave de dimensión n sobre k . Toda variedad sobre un cuerpo perfecto (en particular un cuerpo algebraicamente cerrado) es genéricamente suave. ^[3]

• El espacio afín y el espacio proyectivo son esquemas suaves sobre un cuerpo k .
• Un ejemplo de una hipersuperficie suave en el espacio proyectivo P ⁿ sobre k es la hipersuperficie de Fermat x ₀ ^d + ... + x _n ^d = 0, para cualquier entero positivo d que sea invertible en k .
• Un ejemplo de un esquema singular (no suave) sobre un cuerpo k es el subesquema cerrado x ² = 0 en la línea afín A ¹ sobre k .
• Un ejemplo de una variedad singular (no suave) sobre k es la curva cúspide cúspide x ² = y ³ en el plano afín A ² , que es suave fuera del origen ( x , y ) = (0,0).
• Una variedad 0-dimensional X sobre un cuerpo k tiene la forma X = Spec E , donde E es un cuerpo de extensión finito de k . La variedad X es suave sobre k si y solo si E es una extensión separable de k . Por lo tanto, si E no es separable sobre k , entonces X es un esquema regular pero no es suave sobre k . Por ejemplo, sea k el cuerpo de funciones racionales F _p ( t ) para un número primo p , y sea E = F _p ( t ^{1/ p} ); entonces Spec E es una variedad de dimensión 0 sobre k que es un esquema regular, pero no suave sobre k .
• Las variedades de Schubert en general no son suaves.

• Notas de D. Gaitsgory sobre planitud y suavidad en http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, Sr.  1011461

• Morfismo de Étale
• Dimensión de una variedad algebraica
• Glosario de teoría de esquemas
• Finalización suave